2024年广东省江门市台山市第一中学自主招生创新能力测试（创新班）数学试卷

绝密★启用前 自主招生创新能力测试 数学 2024年 本试卷共4页，17题．全卷满分150分．考试用时100分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的姓名和考生号． 2．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.下列计算正确的是 A． B． C． D． 2.已知点，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A. B. C. D. 3．不等式组的最大整数解是 A． B． C． D． 4.关于的方程的解是正数，则的取值范围是 A. B. C. 且 D. 且 5．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差为 A． B． C． D． 6．正方形，，，…按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，对应的正方形面积分别记为，，，…，则 参考公式：（）． A． B． C. D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分．） 7．甲、乙、丙位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者活动，则周六、周日都有同学参加志愿者活动的概率为________． 8.一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是 ． 9.若代数式、为常数的值与字母、的取值无关，则方程的解为 ． 10.如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是 ． 11．如图，在□中，，、的角平分线分别交于和，与交于点，若与面积之比是1:9，则 ． 12.在国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和，则第三名选手得分是 ． 13. 如图，个正方形无缝拼成一个大长方形，中间最小的正方形面积为，则大长方形的周长是________． 14.已知关于的方程有两个正整数根（是整数），△ABC的三边满足=，，则△ABC的面积是________． 三、解答题（本大题共3小题，依次为15分、17分、18分，共50分．要求写出解答或证明过程．） 15．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程．如图所示，当开机时间分钟时，水温第一次由降至． （1）当时，求水温与开机时间分钟的函数表达式． （2）求的值． （3）求开机分钟时热水器中水的温度． 16．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O,∠CDB= ，将△BCD沿BD折叠，点C落在E处，连接CE、AE,CE交AD、BD于点F、G,AC交BE于点M，且DF=2． (1)求证:AC⊥BE． (2)求AE的长． (3)在BC边上取一点H,使得OH+DH的值最小， 求此时的值． 17. 已知抛物线：经过点，与轴交于，两点． 求抛物线的解析式． (2) 如图，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值． (3) 如图，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点、，求证：直线经过一个定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年自主招生创新能力测试数学答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 1.【答案】D 2.【答案】D 3．【答案】B 4.【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】A 二、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分．） 7．【答案】 8.【答案】 9.【答案】2 10.【答案】  11．【答案】 12．【答案】5 13. 14.【答案】1 三、解答题（本大题共3小题，依次为15分、17分、18分，共50分．要求写出解答或证明过程．） 15．解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得，， …………4分 解得……………4分（每个结果1分） ∴函数表达式………………………5分 （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得，，∴，………7分 当时，，解得， ∴的值为． …………………………………………………………………………9分 （3）当时，由得，， ∴ 水温第二次加热到的开机时间为分钟， ∵ ， ∴ 当开机分钟时，热水器处于第二次加温过程． …………………………12分 法一：∵， ∴开机50分钟时水的温度等价于开机分钟时水的温度， 将代入可得． ………………14分 ∴开机分钟时热水器中水的温度为． …………………………………15分 法二：设热水器处于第二次加温过程的一次函数解析式为， 将点，代入可得， ，解得， …………………………13分（每个结果1分） ∴ 函数表达式为， ∴ 当时，， ………………………………………………14分 ∴ 开机分钟时热水器中水的温度为． …………………………15分 16．（1）（1）因为∠CDB=60o ∴∠DBC=30o 又折叠 ∴∠EBD=∠DBC=30o…………………1分 在矩形ABCD中，OD=OC…………………2分 ∴△OCD是等边三角形 ∠AOB=∠DOC=60o………4分 ∴∠BMO=90o ∴AC⊥BE………………5分 (2) 因为折叠 ∴BE=BC 易知∠EBC=60o ∴△BCE是等边三角形 …………6分 ∴BC=CE 又AC⊥BE ∴BM=EM …………7分 ∴AC是BE的垂直平分线 ∴AE=AB …………8分 DF=2 易知∠DCF=30o …………9分 ∴CD=2 ∴AE=2 …………10分 (3) 因为CD=2 则BC=2=6 …………11分 CN=3 …………12分 作点D关于直线BC的对称点D’,连接OD’交BC，则交点为H…………13分 则 …………14分 = CH=2 …………15分 DH=…………16分 则DH:AE=4:2…………17分 19.【答案】解：由题意得：，…………………………………2分 解得， …………………………4分 抛物线的表达式为：；…………………………………………5分 设直线交于点， 由点的坐标知，直线的表达式为：，…………………………………………6分 设，…………………………………………7分 则，则，…………………………………………8分 ，， ， ， ，……………………………10分 当时，有最大值，最大值为；…………………………………………11分 平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线， 则：，…………………………………………13分 设：， 联立得，，…………………………………………14分 ，， 同理可得， 联立得，…………………………………………12分 ，， ， ………………………………………13分 设直线：，联立得，……………………14分 ，， ， ， …………………………………16分 直线：，当时，， 直线过定点．  …………………………………………18分 1 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登求h1x.con扫二维向下载Ap ■ 《用户名和初始密码均为准考证号》 ■ 回回 自主招生创新能力测试 数学试卷2024 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [01 0] [o] 【0] 0] 答愿前请将处名、班城、考场、准考证号纳写清楚。 [1 [] 11 2。客赛题答，必级使用铅苍填涂，改时用像皮擦干净 [2] 【2] 21 3。主现题答题，必级使用黑色签字笔书写. [31 [31 4,必须在愿号对应的答匙区城内作答，超出答题区城书写无效。 [4l [4 4] 02005 5。保特答卷清清、完整。 [s] t 正确填涂 缺考标记 ▣ m 同间 同 [91 [9] 9] [9] 91 9 单选题 1[A][B][c][D] 3 [A](B](c][D] 5[】[B】[C]D] 2[A][B][C][D] 4[a[B][c][D] 6[A][B][C][D] 填空题 7 8 9. E 12 14. 解答题 ↑C) 0 15 80 20 15 x(分 I ■ ㄖ囚■ ㄖ囚■ ■ ■ ■ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 1 17. 1 图2 I I ■ ㄖ■囚 囚■回 ■