第二十六章 概率初步（单元测试·提升卷）数学沪科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 概率·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A A B B A A C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11． 12． 13． 14． 三、解答题（共4小题，每小题8分,共32分） 15．（本题8分）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 【答案】(1)3种 (2)6种 【分析】本题考查了求事件的结果种数、树状图的画法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）列举出来所有情况即可； （2）根据树状图的画法即可解题． 【详解】（1）解：一共有3种，分别是：一白一灰、一白一黑和一灰一黑，3种情况； （2）解：所有可能的结果列树状图结果如下： 由树状图可知，两次摸到的小球颜色不相同的结果有6种．（8分） 16．（本题8分）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【答案】；；，在直线上表示见解析． 【分析】此题考查了求概率，根据随机事件可能性大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数，二者的比值就是其发生的可能性大小，故可分别求出其概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是；（2分） 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为是不可能事件，故概率为；（5分） 、投掷两枚普通硬币，一共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种等可能结果，出现两个正面的由一种， ∴出现两个正面的机会是， 故答案为：；；， 在直线上表示如下， （8分） 17．（本题8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； (2)请将图②补充完整； (3)图①中，“其它”部分所对应的圆心角为 °； (4)若在所有问卷调查中任意抽一张，则抽到“最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是 ； (5)如果全校有1960名学生，则全校学生中，最喜欢“跳绳”活动的学生约有多少人？ 【答案】(1)200 (2)见解析 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查统计图表，准确读取图表中的信息是解题的关键． （1）最喜欢“球类”活动的学生有80人，占样本总数的，故一共抽查了名学生； （2）最喜欢“跳绳”活动的学生有人，补全统计图即可； （3）喜欢“其他”活动的学生所占比例为，则所对应的圆心角度数为； （4）根据概率公式计算即可； （5）样本中，最喜欢“跳绳”活动的学生所占比例为，根据样本估计总体，用总人数乘以比例即可得到全校学生中最喜欢“跳绳”活动的学生人数． 【详解】（1）最喜欢“球类”活动的学生有80人，占样本总数的，故一共抽查了名学生；（1分） （2）最喜欢“跳绳”活动的学生有人；补全统计图如下， ；（2分） （3）喜欢“其他”活动的学生所占比例为，则所对应的圆心角度数为；（3分） （4）抽查总人数为名，喜欢踢毽的人数为名， “最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是；（5分） （5）最喜欢“跳绳”活动的学生所占比例为， (名)． 答：最喜欢“跳绳”活动的学生人数约有490名．（8分） 18．（本题8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 【答案】(1) (2) (3)8个 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式求数量，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可； （3）设还要争取甲类名额x个，根据抽到甲类的概率要达到，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是．（2分） （2）解：该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是．（4分） （3）解：设还要争取甲类名额x个， 根据题意，得， 解得， 答：还要争取甲类名额8个．（8分） 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：；（4分） （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： （10分） 20．（本题10分）体育中考前，张老师为了解全年级初三学生考试项目的选择情况，对全年级16个班共约900名初三学生．进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、50米跑；E、半场运球；其中，A、B、C必选，D和E选一项．请你解答下列问题 (1)张老师代课一、二、三班，张老师想选择60人进行调查，合理的抽样调查方式是________（填随机抽样或分层抽样） (2)张老师发现选择项目D的人数是24人，请估计全年级约有多少人选择半场运球． (3)甲、乙、丙三人在模拟报名时选择了一个项目，请列举所有的选择结果，并求出三个学生选择的项目不完全相同的项目的概率． 【答案】(1)分层抽样 (2)估计全年级约有人选择半场运球 (3)所有选择结果： ，选择的项目不完全相同的项目的概率 【分析】本题考查分层抽样，样本估计总体，列举法求概率． （1）根据随机抽样或分层抽样的区别结合题意即可解答； （2）利用样本估计总体列式计算即可； （3）先根据题意列举出所有结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：合理的抽样调查方式是分层抽样；（2分） （2）解：60人中选择项目D的人数是24人，则选择E、半场运球的人数为（人） 则（人） 答：估计全年级约有人选择半场运球；（6分） （3）解：每个学生独立选择一个项目（D、E 中的一项），且选择每个项目的概率均等（无偏好）， 总可能结果数：每个学生有2 种选择，因此三人选择的总可能结果为： 种， 列举所有选择结果： 等，共8种， 则三人都选择不完全相同（即不全相同）的概率为：．（10分） 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者．某数学兴趣小组对消费行为进行调查，按购物数量x（单位：件）分为以下4类：．根据调查结果制作了两幅统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为． 根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的总人数为______； (2)补全条形统计图； (3)小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自甲商城，3件电子产品购自乙商城．由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货．已知在甲商城购买的4件服装中仅1件支持退货，在乙商城购买的电子产品中仅2件支持退货．请用画树状图法求小张选出的2件商品均能退货的概率． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）由类的理性消费者人数除以它所占的百分比得到理性消费者人数的总人数为人，再由类理性消费者人数所占的百分比可计算出类理性消费者人数为人，利用购买件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为可计算出类消费者人数，然后把四类消费者人数相加即可得到本次调查的总人数即可； （2）补全条形统计图即可； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出件商品均能退货的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：理性消费者的总人数为（人）， 则类理性消费者人数为， ∴类消费者人数为（人）， 本次调查的总人数为（人）， 故答案为：；（4分） （2）解：补全条形统计图如图所示． （8分） （3）解：用1，2，3，4表示购自甲商城的4件服装，且4为支持退货的服装；用5，6，7表示购自乙商城的3件电子产品，且6，7为支持退货的电子产品，画树状图如图所示． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种， （小张选出的2件商品均能退货）．（12分） 【点睛】本题考查了概率和统计图，利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，并求出概率是解题的关键． 22．（本题12分）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位） 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1) ___________， ___________． (2)补全条形统计图． (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为多少？（结果保留小数点后三位） 【答案】(1)9；10 (2)图见解析 (3)八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有336人 (4)该植物种子发芽的概率约为 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数以及利用频率估计概率，熟练掌握并运用相关知识是解决本题的关键． （1）根据中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值进行解答即可； （2）根据条形统计图和七年级总人数求出C等级的人数进而补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以优秀的百分比即可； （4）用发芽种子频率的平均数估计概率即可． 【详解】（1）解：∵七年级成绩共抽取25名学生， ∴中位数是第13位学生， 由条形图可得A等级有6人，B等级有12人， ∵， ∴第13个数据在B等级，对应为9分， ∴， 由扇形图可得A级占比（最大）， 又∵A级对应分数10分， ∴， 故答案为：9，10；（2分） （2）解：∵七年级总人数为25人， 又∵A等级6人、B等级12人、D等级5人， ∴C等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下， （4分） （3）解：∵“优秀”为9分及以上含A、B两种等级， 由扇形图得A等级占，B等级占， ∴优秀总占比为：， ∵八年级共 700 名学生， ∴优秀人数为：（人）；（8分） （4）解：根据表中数据，该植物种子发芽的概率为， ∵结果保留小数点后三位， ∴， ∴该植物种子发芽的概率约为．（12分） 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；（6分） （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴．（14分） 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列事件中，是确定事件的有 个（   ） （1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上；   （2）小明在上学的路口遇到红灯； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，先判断每个事件是否为确定事件，再统计确定事件的个数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：（1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故不符合题意；   （2）小明在上学的路口遇到红灯，是随机事件，故不符合题意； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽，是不可能事件，是确定事件； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球，是必然事件，是确定事件； 综上所述，是确定事件的是（3）（4），共个， 故选：B． 2．（本题4分）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 3．（本题4分）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 4．（本题4分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、概率公式，首先利用十字相乘法解一元二次方程，可得方程的解为：，，因为个数字中只有是方程的解，所以摸出一个数字恰好是方程的解的概率是． 【详解】解：解方程， 分解因式得：， 方程的解为：，， 数字、、、、中只有是方程的解， 摸出的数字中恰好是方程的解的概率是． 故选：A． 5．（本题4分）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式， 根据概率公式，白球的数量除以总球数等于摸到白球的概率，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋子里白球的数量为个，摸到白球的概率为0.2，即： 解得： 因此，白球有4个，黑球的数量为总球数减去白球数： 故袋子里黑球的个数为16个， 故选：B． 6．（本题4分）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 故选：B． 7．（本题4分）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率等知识，准确求概率是解题的关键． 画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：，， ∴（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A 8．（本题4分）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．（本题4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，再计算四个选项的概率，约为的即符合题意． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意； D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意． 故选C． 10．（本题4分）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，先设黄色的球有个，列出方程求得黄色球的个数，再利用黄色球的个数除以球的总个数求得概率． 【详解】解：设黄色的球有个， 那么从中任取一球是黄球的概率是， 故答案为：． 12．（本题5分）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 ． 【答案】 【分析】本题结合非遗项目，考查概率问题．先列出所有情况，再求出选择漆器和蜀锦的概率． 【详解】解：列出所有可能的选择情况，设5种非遗项目为：漆器、蜀锦、其他3种分别为，从5种中选2种，所有可能的组合有：、、、、、、、、、，共10种等可能的情况．恰好选择漆器和蜀锦的情况只有1种：， 恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为符合条件的情况数总情况数 故答案为： 13．（本题5分）如图，在中，，以点B为圆心，1为半径画弧，分别交，于点F，E，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，现向内部投掷一石子，则石子恰好落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图、解直角三角形、扇形的面积、几何概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可得，平分，则，由得到，推出，利用三角形内角和定理得到，通过解求出、的长，进而求出，再利用扇形的面积公式求出阴影部分面积，再利用几何概率的计算公式即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵阴影部分面积， ∴石子恰好落在阴影部分的概率． 故答案为：． 14．（本题5分）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求解概率，分式方程的无解问题，先求出分式方程无解时的取值，再利用树状图法表示出洗匀后从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得， 整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解， ∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得， 若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解； 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为； 故答案为：． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 【答案】(1)3种 (2)6种 【分析】本题考查了求事件的结果种数、树状图的画法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）列举出来所有情况即可； （2）根据树状图的画法即可解题． 【详解】（1）解：一共有3种，分别是：一白一灰、一白一黑和一灰一黑，3种情况； （2）解：所有可能的结果列树状图结果如下： 由树状图可知，两次摸到的小球颜色不相同的结果有6种． 16．（本题8分）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【答案】；；，在直线上表示见解析． 【分析】此题考查了求概率，根据随机事件可能性大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数，二者的比值就是其发生的可能性大小，故可分别求出其概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为是不可能事件，故概率为； 、投掷两枚普通硬币，一共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种等可能结果，出现两个正面的由一种， ∴出现两个正面的机会是， 故答案为：；；， 在直线上表示如下， 17．（本题8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； (2)请将图②补充完整； (3)图①中，“其它”部分所对应的圆心角为 °； (4)若在所有问卷调查中任意抽一张，则抽到“最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是 ； (5)如果全校有1960名学生，则全校学生中，最喜欢“跳绳”活动的学生约有多少人？ 【答案】(1)200 (2)见解析 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查统计图表，准确读取图表中的信息是解题的关键． （1）最喜欢“球类”活动的学生有80人，占样本总数的，故一共抽查了名学生； （2）最喜欢“跳绳”活动的学生有人，补全统计图即可； （3）喜欢“其他”活动的学生所占比例为，则所对应的圆心角度数为； （4）根据概率公式计算即可； （5）样本中，最喜欢“跳绳”活动的学生所占比例为，根据样本估计总体，用总人数乘以比例即可得到全校学生中最喜欢“跳绳”活动的学生人数． 【详解】（1）最喜欢“球类”活动的学生有80人，占样本总数的，故一共抽查了名学生； （2）最喜欢“跳绳”活动的学生有人；补全统计图如下， ； （3）喜欢“其他”活动的学生所占比例为，则所对应的圆心角度数为； （4）抽查总人数为名，喜欢踢毽的人数为名， “最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是； （5）最喜欢“跳绳”活动的学生所占比例为， (名)． 答：最喜欢“跳绳”活动的学生人数约有490名． 18．（本题8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 【答案】(1) (2) (3)8个 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式求数量，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可； （3）设还要争取甲类名额x个，根据抽到甲类的概率要达到，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是． （2）解：该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是． （3）解：设还要争取甲类名额x个， 根据题意，得， 解得， 答：还要争取甲类名额8个． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 20．（本题10分）体育中考前，张老师为了解全年级初三学生考试项目的选择情况，对全年级16个班共约900名初三学生．进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、50米跑；E、半场运球；其中，A、B、C必选，D和E选一项．请你解答下列问题 (1)张老师代课一、二、三班，张老师想选择60人进行调查，合理的抽样调查方式是________（填随机抽样或分层抽样） (2)张老师发现选择项目D的人数是24人，请估计全年级约有多少人选择半场运球． (3)甲、乙、丙三人在模拟报名时选择了一个项目，请列举所有的选择结果，并求出三个学生选择的项目不完全相同的项目的概率． 【答案】(1)分层抽样 (2)估计全年级约有人选择半场运球 (3)所有选择结果： ，选择的项目不完全相同的项目的概率 【分析】本题考查分层抽样，样本估计总体，列举法求概率． （1）根据随机抽样或分层抽样的区别结合题意即可解答； （2）利用样本估计总体列式计算即可； （3）先根据题意列举出所有结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：合理的抽样调查方式是分层抽样； （2）解：60人中选择项目D的人数是24人，则选择E、半场运球的人数为（人） 则（人） 答：估计全年级约有人选择半场运球； （3）解：每个学生独立选择一个项目（D、E 中的一项），且选择每个项目的概率均等（无偏好）， 总可能结果数：每个学生有2 种选择，因此三人选择的总可能结果为： 种， 列举所有选择结果： 等，共8种， 则三人都选择不完全相同（即不全相同）的概率为：． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者．某数学兴趣小组对消费行为进行调查，按购物数量x（单位：件）分为以下4类：．根据调查结果制作了两幅统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为． 根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的总人数为______； (2)补全条形统计图； (3)小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自甲商城，3件电子产品购自乙商城．由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货．已知在甲商城购买的4件服装中仅1件支持退货，在乙商城购买的电子产品中仅2件支持退货．请用画树状图法求小张选出的2件商品均能退货的概率． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）由类的理性消费者人数除以它所占的百分比得到理性消费者人数的总人数为人，再由类理性消费者人数所占的百分比可计算出类理性消费者人数为人，利用购买件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为可计算出类消费者人数，然后把四类消费者人数相加即可得到本次调查的总人数即可； （2）补全条形统计图即可； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出件商品均能退货的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：理性消费者的总人数为（人）， 则类理性消费者人数为， ∴类消费者人数为（人）， 本次调查的总人数为（人）， 故答案为：； （2）解：补全条形统计图如图所示． （3）解：用1，2，3，4表示购自甲商城的4件服装，且4为支持退货的服装；用5，6，7表示购自乙商城的3件电子产品，且6，7为支持退货的电子产品，画树状图如图所示． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种， （小张选出的2件商品均能退货）． 【点睛】本题考查了概率和统计图，利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，并求出概率是解题的关键． 22．（本题12分）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位） 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1) ___________， ___________． (2)补全条形统计图． (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为多少？（结果保留小数点后三位） 【答案】(1)9；10 (2)图见解析 (3)八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有336人 (4)该植物种子发芽的概率约为 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数以及利用频率估计概率，熟练掌握并运用相关知识是解决本题的关键． （1）根据中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值进行解答即可； （2）根据条形统计图和七年级总人数求出C等级的人数进而补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以优秀的百分比即可； （4）用发芽种子频率的平均数估计概率即可． 【详解】（1）解：∵七年级成绩共抽取25名学生， ∴中位数是第13位学生， 由条形图可得A等级有6人，B等级有12人， ∵， ∴第13个数据在B等级，对应为9分， ∴， 由扇形图可得A级占比（最大）， 又∵A级对应分数10分， ∴， 故答案为：9，10； （2）解：∵七年级总人数为25人， 又∵A等级6人、B等级12人、D等级5人， ∴C等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下， （3）解：∵“优秀”为9分及以上含A、B两种等级， 由扇形图得A等级占，B等级占， ∴优秀总占比为：， ∵八年级共 700 名学生， ∴优秀人数为：（人）； （4）解：根据表中数据，该植物种子发芽的概率为， ∵结果保留小数点后三位， ∴， ∴该植物种子发芽的概率约为． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列事件中，是确定事件的有 个（   ） （1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上；   （2）小明在上学的路口遇到红灯； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题4分）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 3．（本题4分）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．（本题4分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（本题4分）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 6．（本题4分）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（本题4分）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 9．（本题4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 10．（本题4分）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 12．（本题5分）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 ． 13．（本题5分）如图，在中，，以点B为圆心，1为半径画弧，分别交，于点F，E，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，现向内部投掷一石子，则石子恰好落在阴影部分的概率是 ． 14．（本题5分）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 16．（本题8分）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 17．（本题8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； (2)请将图②补充完整； (3)图①中，“其它”部分所对应的圆心角为 °； (4)若在所有问卷调查中任意抽一张，则抽到“最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是 ； (5)如果全校有1960名学生，则全校学生中，最喜欢“跳绳”活动的学生约有多少人？ 18．（本题8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 20．（本题10分）体育中考前，张老师为了解全年级初三学生考试项目的选择情况，对全年级16个班共约900名初三学生．进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、50米跑；E、半场运球；其中，A、B、C必选，D和E选一项．请你解答下列问题 (1)张老师代课一、二、三班，张老师想选择60人进行调查，合理的抽样调查方式是________（填随机抽样或分层抽样） (2)张老师发现选择项目D的人数是24人，请估计全年级约有多少人选择半场运球． (3)甲、乙、丙三人在模拟报名时选择了一个项目，请列举所有的选择结果，并求出三个学生选择的项目不完全相同的项目的概率． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者．某数学兴趣小组对消费行为进行调查，按购物数量x（单位：件）分为以下4类：．根据调查结果制作了两幅统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为． 根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的总人数为______； (2)补全条形统计图； (3)小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自甲商城，3件电子产品购自乙商城．由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货．已知在甲商城购买的4件服装中仅1件支持退货，在乙商城购买的电子产品中仅2件支持退货．请用画树状图法求小张选出的2件商品均能退货的概率． 22．（本题12分）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位） 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1) ___________， ___________． (2)补全条形统计图． (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为多少？（结果保留小数点后三位） 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 概率初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列事件中，是确定事件的有 个（   ） （1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上；   （2）小明在上学的路口遇到红灯； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题4分）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 3．（本题4分）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．（本题4分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（本题4分）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 6．（本题4分）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（本题4分）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 9．（本题4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 10．（本题4分）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 12．（本题5分）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 ． 13．（本题5分）如图，在中，，以点B为圆心，1为半径画弧，分别交，于点F，E，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，现向内部投掷一石子，则石子恰好落在阴影部分的概率是 ． 14．（本题5分）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（本题8分）在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，它们只有颜色不同．那么： (1)如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ (2)如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题． 16．（本题8分）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 17．（本题8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； (2)请将图②补充完整； (3)图①中，“其它”部分所对应的圆心角为 °； (4)若在所有问卷调查中任意抽一张，则抽到“最喜欢的体育活动”是“踢毽”的概率是 ； (5)如果全校有1960名学生，则全校学生中，最喜欢“跳绳”活动的学生约有多少人？ 18．（本题8分）某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级（2）班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置，其余的为空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题： (1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是__________； (2)该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是__________； (3)后来，该班同学强烈呼吁名额太少，在总签数不变的情况下，要求抽到甲类的概率要达到，则还要争取甲类名额多少个？ 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（本题10分）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 20．（本题10分）体育中考前，张老师为了解全年级初三学生考试项目的选择情况，对全年级16个班共约900名初三学生．进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、50米跑；E、半场运球；其中，A、B、C必选，D和E选一项．请你解答下列问题 (1)张老师代课一、二、三班，张老师想选择60人进行调查，合理的抽样调查方式是________（填随机抽样或分层抽样） (2)张老师发现选择项目D的人数是24人，请估计全年级约有多少人选择半场运球． (3)甲、乙、丙三人在模拟报名时选择了一个项目，请列举所有的选择结果，并求出三个学生选择的项目不完全相同的项目的概率． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（本题12分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者．某数学兴趣小组对消费行为进行调查，按购物数量x（单位：件）分为以下4类：．根据调查结果制作了两幅统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性消费者人数所占比例为． 根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的总人数为______； (2)补全条形统计图； (3)小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自甲商城，3件电子产品购自乙商城．由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货．已知在甲商城购买的4件服装中仅1件支持退货，在乙商城购买的电子产品中仅2件支持退货．请用画树状图法求小张选出的2件商品均能退货的概率． 22．（本题12分）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位） 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1) ___________， ___________． (2)补全条形统计图． (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为多少？（结果保留小数点后三位） 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（本题14分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $