精品解析：河南省开封市杞县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度九年级综合素养评估（二） 数学 上册第21~23章 注意事项：共三大题，23小题.满分120分，答题时间100分钟. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 3. 若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是延长线上的一点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是_______． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 13. 建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比来增强美感．如图，窗户的宽度，为的黄金分割点，则的长为_____．（结果保留根号） 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是_____． 15. 如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 17. 已知，． （1）_____，_____． （2）求代数式的值． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 19. 如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 开封万岁山景区为吸引游客，推出“宋文化体验月”活动，四月份接待游客100万人次，六月份接待游客增至144万人次，假设每月游客量的增长率相同． （1）求该景区游客量的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计七月份接待游客将达到多少万人次？ 22. 龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 23. 问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级综合素养评估（二） 数学 上册第21~23章 注意事项：共三大题，23小题.满分120分，答题时间100分钟. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 3. 若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．据此解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故选：C． 4. 如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据，分别是边，上的中点，可得是的中位线，继而得到，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵在中，，分别是边，上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：B． 5. 如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，利用对应边成比例，求出放大后的宽即可求解． 【详解】解：设放大后的宽为， 放大前后的两个矩形相似， ， 解得：， 放大后的宽是， 放大后的矩形图片的面积为， 故选：A． 6. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理列出比例式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即的长为． 故选：A． 7. 如图，在中，是延长线上的一点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，，证明得，可得结论．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 即的长为． 故选：B． 8. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 9. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．利用线段的和差得出边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的性质，从而完成求解． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列方程求解． 【详解】解：一元二次方程中， ， 由于方程有两个相等的实数根， 因此，即， 解得， 所以， 故答案为：． 13. 建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比来增强美感．如图，窗户的宽度，为的黄金分割点，则的长为_____．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，读懂图表运算程序是解题的关键． 先把代入代数式得代数式的值为，再判断与的大小，判断不能输出后，重新进行输入，直到计算结果大于再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴不能输出， 当时，， ∵， ∴输出的结果是， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得相等边和角，证明，得出比例线段，可求出答案． 【详解】解：①如图所示，当点位于对角线上时， 由折叠的性质得，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点位于对角线上时， 设， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） 综上，的长度为4或， 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】（1），；（2），， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，比例的性质． （1）利用公式法解方程即可； （2）设，，，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1） ，，， ， ， ，； （2）， 设，，， ， ， 解得， ，，， 即三边的长为，，． 17. 已知，． （1）_____，_____． （2）求代数式的值． 【答案】（1）； （2）59 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值； （2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 19. 如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 开封万岁山景区为吸引游客，推出“宋文化体验月”活动，四月份接待游客100万人次，六月份接待游客增至144万人次，假设每月游客量的增长率相同． （1）求该景区游客量的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计七月份接待游客将达到多少万人次？ 【答案】（1）该景区游客量的月平均增长率为 （2）预计七月份接待游客将达到万人次． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解增长公式； （1）根据四月份游客量以及平均增长率，列方程求解即可； （2）求出增长率的基础上，根据增长公式计算即可． 【小问1详解】 解：设该景区游客量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该景区游客量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万人）， 答：预计七月份接待游客将达到万人次． 22. 龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 【答案】龙角塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段的和差计算，通过证明三角形相似建立比例关系是解题关键． 先由、均垂直地面且平行地面，判定四边形是矩形，得，再通过直角和公共角证，利用相似边成比例求出，最后由算出龙角塔高度． 【详解】解：与地面保持平行， 地面， 地面， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 即， 解得， ． 答：龙角塔的高度为． 23. 问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】 （1）证明：，， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2）证明：，， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $