1.4.2 充要条件 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．“1<x<2”是“x≤2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．“x2＋（y－2）2＝0”是“x（y－2）＝0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“x<2”是“<0”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是（ ） A．a，b都为1 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 二、多项选择题 6．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 7．设全集为R，则下列条件中，是B⊆A的充要条件的有（ ） A．A∩B＝A B．（∁RA）∩B＝R C．∁RA⊆∁RB D．A∪（∁RB）＝R 三、填空题 8．“m≤”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 9．已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充要条件，则实数m＝________. 四、解答题 10．指出下列各题中p是q的什么条件． （1）p：x＝1，q：x－1＝； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2； （4）p：a是自然数，q：a是正数． 11．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 个性拓展练 12．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 13．设U＝R，A＝{x|mx2＋4x＋2＝0}．若∁UA＝U，则m的取值范围为________，集合A中有两个元素的充要条件是________． 14．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 1.4.2 充要条件 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．“1<x<2”是“x≤2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：“1<x<2”⇒“x≤2”，“x≤2” “1<x<2”，所以“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2－2x＋1＝0，得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选A. 答案：A 3．“x2＋（y－2）2＝0”是“x（y－2）＝0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2＋（y－2）2＝0，得x＝0且y＝2，x（y－2）＝0.反之，x（y－2）＝0，即x＝0或y＝2，x2＋（y－2）2＝0不一定成立．故选B. 答案：B 4．“x<2”是“<0”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由<0，得x－2<0，x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件．故选A. 答案：A 5．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是（ ） A．a，b都为1 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 解析：由ab＋1＝a＋b，可得（a－1）（b－1）＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C. 答案：C 二、多项选择题 6．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，A错误．当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，B错误．由a<3⇒a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，C正确．显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．故选CD. 答案：CD 7．设全集为R，则下列条件中，是B⊆A的充要条件的有（ ） A．A∩B＝A B．（∁RA）∩B＝R C．∁RA⊆∁RB D．A∪（∁RB）＝R 解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B，不满足题意，故A错误；若（∁RA）∩B＝R，则∁RA＝R且B＝R，只有A＝∅且B＝R时成立，不满足题意，故B错误；若∁RA⊆∁RB，则B⊆A，同时若B⊆A，则∁RA⊆∁RB，满足题意，故C正确；若A∪（∁RB）＝R，则B⊆A，同时若B⊆A，则A∪（∁RB）＝R，满足题意，故D正确．故选CD. 答案：CD 三、填空题 8．“m≤”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 解析：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解⇔Δ＝1－4m≥0，即m≤.所以“m≤”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充要条件． 答案：充要 9．已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充要条件，则实数m＝________. 解析：集合A＝{－1，－2}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}＝{x|（x＋1）（x＋m）＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充要条件，则A＝B，∴－m＝－2，∴m＝2. 答案：2 四、解答题 10．指出下列各题中p是q的什么条件． （1）p：x＝1，q：x－1＝； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2； （4）p：a是自然数，q：a是正数． 解：（1）当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件． （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件． （3）由（x＋2）2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y， 故p是q的必要不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故pq；是正数，但不是自然数，故qp．故p是q的既不充分也不必要条件． 11．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解：若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根，则当a＝0时，x＝－，符合题意． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 当a＝1时，方程有且仅有一个负实数根x＝－1， 当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则<0，即a<0. 故当a≤0或a＝1时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根． 综上，“方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 个性拓展练 12．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 解析：由“a，b中至少有一个不为零”可知，a，b都不为0，或a，b中有一个为0.选项A中，由ab＝0，可得a＝0或b＝0或a，b均为0，不满足条件．选项B中，由ab>0，可得a，b都不为0，不满足条件．选项C中，由a2＋b2＝0，可得a＝b＝0，不满足条件．选项D中，a2＋b2>0⇔a，b中至少有一个不为零，满足条件．故选D. 答案：D 13．设U＝R，A＝{x|mx2＋4x＋2＝0}．若∁UA＝U，则m的取值范围为________，集合A中有两个元素的充要条件是________． 解析：由题意得A＝∅，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m<0，解得m>2.综上可知，m的取值范围为{m|m>2}．集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m>0，解得m<2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m<2且m≠0. 答案：{m|m>2} m<2且m≠0 14．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. [证明] ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况． 当xy＝0时，不妨设x＝0， 则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 同理，当y＝0，或x＝0且y＝0时，|x＋y|＝|x|＋|y|， ∴当xy＝0时，等式成立， 当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0， 又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－（x＋y）， |x|＋|y|＝－x－y， ∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝（|x|＋|y|）2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $