1.4.2 充要条件 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2　充要条件（同步练习） 一、选择题 1.已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A.x<0，y<0　 B.x<0，y>0 C.x>0，y>0 D.x>0，y<0 3．《三国演义》第49回中提到“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1 5.已知实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.x2－x－2≠0的充要条件是(　　) A.x≠1 B.x≠2 C.x≠－1或x≠2 D.x≠－1且x≠2 7.(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∪B＝B B.(∁UA)∩B＝∅ C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∪(∁UB)＝U 8.(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有(　　) A.∠2＝∠4 B.∠1＋∠4＝180° C.∠5＝∠4 D.∠1＝∠3 二、填空题 9.已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)． 10.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________ 11.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 12.给出下列条件： ①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；②p：x2－1＝0，q：x－1＝0； ③p：x>4且y>3，q：x＋y>7． 其中p是q的必要不充分条件的为________(填序号) 三、解答题 13.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数，q：a是正数． 14.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 15.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A　解析：a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A． 2.B　解析：因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0．故选B． 3.B　解析：“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件． 4.C　解析：一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1}{a|a<0}，故C正确．故选C． 5.C 解析：由－＝，∵ab＞0，∴若＜成立，则b－a＜0，即a＞b成立，反之若a＞b，∵ab＞0，∴－＝＜0，即＜成立，∴“＜成立”是“a＞b 成立”的充要条件，故选C. 6.D 解析：由x2－x－2＝(x＋1)(x－2)≠0，得x≠－1且x≠2.当x≠－1且x≠2时，(x＋1)(x－2)≠0.则x2－x－2≠0的充要条件是x≠－1且x≠2.故选D. 7.BCD　解析：由Venn图可知，BCD都是充要条件．故选BCD． 8.ABC　解析：若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1＝∠3不能得到两直线平行，D选项错误．故选ABC． 二、填空题 9.答案：必要不充分　 解析：当p是q的充分条件时，p可以推出q，但q不一定能推出p，因此不一定有p是q的充要条件．当p是q的充要条件时，p和q可以相互推出，因此p是q的充分条件．故答案为：必要不充分． 10.答案：3或4 解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2. 11.答案：必要不充分 解析：由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1； 反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 12.答案：②　 解析：对于①，p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件；对于②，p：x2－1＝0，解得x＝±1，q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件；对于③，由p：x>4且y>3可得q：x＋y>7成立，但当x＋y>7时，可令x＝6，y＝2，不满足y>3．所以p是q的充分不必要条件． 三、解答题 13.解：(1)当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立； 当(x－1)(x－2)＝0时，x＝1或x＝2． ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又是正数，但不是自然数，故qp． 故p是q的既不充分也不必要条件． 14.证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0． 证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0． 证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 15.解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有，解得m≤3． 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$