精品解析：安徽省六安市独山中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

六安市独山中学2025-2026学年度第一学期 高三年级数学期中考试试卷 一、单选题（每题5分，总计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得集合B，再求集合B的补集，进而可得结果. 【详解】由，得或，即或，所以或 所以，故，如图： 故选：B. 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法运算再结合虚部定义判断. 【详解】，所以， 则复数的虚部为. 故选：B. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论. 【详解】函数定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意； 当，，所以，故D不符合题意，A符合题意. 故选：A. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性结合指数函数的单调性以及零点存在定理可得. 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简，结合指数函数的单调性，即可得解. 【详解】因为，， 则. 故选：D 6. 函数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】两边求导，代值计算即可. 【详解】由条件，得，令，得. 故选：D. 7. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示 所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D 8. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 二、多选题（每题6分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，则或 B. 命题的否定为“” C. 函数的最小值为4 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由补集的概念判断A；根据存在量词命题的否定判断B；根据特殊值法判断C；根据抽象函数的定义域求解判断D. 【详解】对于A，当时，或，故A错误； 对于B，命题，的否定为，，故B错误； 对于C，当，所以函数的最小值不是4，故C错误； 对于D，由，得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数可得到的单调性与极值，再结合零点存在定理可判断选项AB；对于C：验证，即可判断；对于D：验证，即可判断. 【详解】， 令，得或，所以在和上单调递减； 令，得，或，在和上单调递增， 列表如下： 0 0 0 极大值2 极小值 极大值2 因为，，所以在上有且只有一个零点， 又，，所以在上有且只有一个零点，又，故A正确； 由表格知，极大值和极小值同号，故B错误； 因为， 所以图象关于直线对称，故C正确； 因为， ， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件满足，且，则相互独立 B. 数据的第75百分位数为11 C. 已知随机变量，则 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，直接根据条件概率公式和独立事件的定义即可判断；对于B选项，根据百分位数的定义进行求解即可；对于C选项，根据二项分布的方差计算公式及方差的运算性质进行求解即可；对于D选项，根据决定系数及残差平方和的定义进行判断即可. 【详解】对于A选项，已知，由于， 可得：，即. 因此可得：事件与事件相互独立，故A选项正确； 对于B选项，将数据由小到大排列：，共个数据， 由，因此数据的第百分位数为，故B选项错误； 对于C选项，已知，则， 又，则，故C选项错误； 对于D选项，决定系数越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D选项正确. 故选：AD 三、填空题（每题5分总计15分） 12. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合同角关系式及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】，所以， 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知等比数列，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】为等比数列，， . 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，利用导数分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为， ，， 因为， 故函数在上为增函数， 由得，故， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，，函数 （1）求的单调递增区间； （2）在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，利用正弦定理，求得，得到，再由，求得，得到，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 可得函数， 令，解得， 所以函数单调递增区间为. 【小问2详解】 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 由（1）知， 因为，可得， 即，即，所以， 又因为，则 因为，则 . 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形． （1）若平面与平面相交于直线，证明：； （2）若平面，，，为棱的中点，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质定理即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面 所以平面 又平面，平面平面， 所以 【小问2详解】 平面，在平面内， 所以，又， 所以，，两两垂直，如图建系． 因为， 故，，． ， 设平面的法向量为， 则，即 取，得到， 又因为是平面的法向量， 所以． 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 因为， 所以点到平面的距离为． 17. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，进而可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设点，求得直线的方程，令，结合根与系数的关系计算可求得定点. 【小问1详解】 因为椭圆上任意一点到它两个焦点的距离之和为4， 所以，解得，又因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故，则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由①得， 代入②整理得， 所以直线与轴相交于定点． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1）单调区间见解析 （2）极值见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【小问1详解】 由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在  上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 19. 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. （1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 【答案】（1），75； （2），2. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，利用所有小矩形面积和为1，列出的等式，解出．在频率分布直方图中，利用平均数等于每个小矩形的中点值乘以这个小矩形的面积相加求和求出平均成绩； （2）求出内的频率和人数，求出内的人数，求出每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，又，利用二项分布求出和 【小问1详解】 由题意，得，解得．参加测试的职工的平均成绩估计为 【小问2详解】 在内的频率为，由题意得总人数为， 所以在内的人数为． 每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，因此， ，的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2025-2026学年度第一学期 高三年级数学期中考试试卷 一、单选题（每题5分，总计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A 120 B. 60 C. 24 D. 36 二、多选题（每题6分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，则或 B. 命题否定为“” C. 函数的最小值为4 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 11. 下列说法正确是（ ） A. 若事件满足，且，则相互独立 B. 数据的第75百分位数为11 C. 已知随机变量，则 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 三、填空题（每题5分总计15分） 12. 已知，，则_____． 13. 已知等比数列，，，则_____. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四、解答题 15. 已知向量，，函数 （1）求的单调递增区间； （2）在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形． （1）若平面与平面相交于直线，证明：； （2）若平面，，，为棱的中点，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 17. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 19. 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. （1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $