专题06 指数函数与对数函数（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06指数函数与对数函数 ☆9大高频考点概览 考点01指数 考点02指数函数的概念 考点03指数函数的图象与性质 考点04对数 考点05对数函数的概念 考点06对数函数的图象与性质 考点07函数零点与方程的根 考点08用二分法求方程近似解 考点09函数模型的应用 目目 考点01 指数 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江·期末)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称 做半衰期，记为T(单位：天)·铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T,工.开始记录 时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则工，工满足的关系式为() A.3+512_512 B.2+512_512 TT C.-2+lo8: 512 512 =1082T2 D.2+o8: 512 512 =log:T2 2.(24-25高一上浙江·期末)若m满足22”=44，则m的值为() A.1 B.2 C.-1 D.0 3.(24-25高一上浙江绍兴期末)若f(x),gx)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且 f(x)+gx)=2,则f(0+g1)=() A.1 B.2 c D. 二、多选题 4.(24-25高一上·浙江丽水期末)己知正数a,b满足ab=a+b+3,则() A.ab的最小值为3 B.a+b的最小值为6 +名的最小值为号 C. D.2+4的最小值为162 a b 三、填空题 1/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2425商一上满江丽水期末)求值：2+ 6.(24-25高一上浙江温州期末)计算：85= x2,x>0 7.(24-25高一上浙江杭州期末)设函数f(x)= 若foj-则a= 四、解答题 8.(24-25高一上浙江·期末)化简求值： (1)avav =(a>0); Va.a 得+ 1+2-e-1°-84x2. 目目 考点02 指数函数的概念 一、 单选题 9. 2425商-一上浙金华期末)已知函数八=02·若函数-2是奇蛋数，则实板口的值为 () A.0 B.1 C.3 D.5 10.(24-25高一上浙江·期末)若函数f(x)= 2-3,x>0 是奇函数，则g-2)=() g(x)x<0 A.1 B.-1 C._11 4 D 11.(24-25高一上浙江宁波期末)已知函数f(x)=x2+mx+n,则存在m,n∈R,对任意的x∈R有() A.f(x)<f(x+2022) B.2022f(f(x)≥2022 C.fx2-1<f(x-2022) D.fVx2+2022 ≥f 2022V2022 x2+2022 二、填空题 2,x<0 12.(24-25高一上浙江杭州期末)己知函数f(x)= 则ff(-)的值为 x2,x≥0 13。(2425高一上浙江期末)已知函数/=a-2的图象经过点2-3，则a=一 2/19 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (),x≤0 14.(24-25高一上浙江杭州·期末)己知函数f(x) ,则f几f(4)]= -Vx,x>0 15.(24-25高一上浙江杭州期末)已知f(2x+3)=e,且f()=1,则x= 16.(24-25高一上·浙江期末)若函数f(x) x2,x20, 2,x<0 则U=一，若f@=则 a= 17.(24-25高一上浙江·期末)己知f(x)=m2-m-5m是指数函数，则实数m的值是」 18、(2425商一上浙江杭州期未)若指数质数y=的图象经过点24，则了[付) 不等式 1-3x f(2x-1)≤ 2 的解集是 三、解答题 19.(24-25高一上浙江宁波·期末)定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=e. (1)求f(x),g(x)的解析式： (2)若[f(x)]2+[g(x)]+ag(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围 20.(2425高上浙江漏州期末)已知函数八x=x2+mmeR)是奇函数 (1)求m的值： (2)求不等式(2x<2f(x的解集 目目 考点03 指数函数的图象与性质 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江·期末)己知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数 g(x)=a+b的图象是() x) 3/19 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B 2.(24-25高一下·浙江杭州期末)设∫(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，∫(x=2.若对任意 xe[a,a+2],均有f(x+a)≥f2(x,则() A.a≥3 3 C.a≤ D.as-3 3.(24-25高一下·浙江衢州期末)“x>0”是 1 2 ≤1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 4.(24-25高一上浙江温州期末)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x的解析式() A.2r+2 B.2-2 1 D.2-2 5.(2425高一上浙江杭州期末)若函数f=-a6>a>0)的定义域为a,1,值域为 则a+b等于() A B. 5-2 C.5 D.6 a+1x,x≤1 6.(24-25高一上浙江湖州期末)已知函数f(x)= 22-m,x>1 在R上单调递增，则实数a的取值范围 是() 4/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(0,1 B.(02 C.-1,0 D.（-1,2 7.(24-25高一上浙江衢州期末)“x>0”是“e>1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高一上浙江绍兴期末)已知函数f(x)=2-2r1,则f(x)（) A.在-o,1上单调递增且值域为[1，+0】 B.在(-o,1上单调递减且值域为[1，+o) C.在(-0，上单调递增且值域为0， D.在(-o,上单调递减且值域为0， 9.(24-25高三上·浙江杭州期末)已知函数∫(x)=2+m·2(m∈R)是奇函数，则下列关系中正确的是() A.f<f(2)B.f(1>f2 C.f(2)=2f(1 D.2) 10.（24-25高一上·浙江衢州期末)己知函数y=∫(x的图象关于点P(α，b)中心对称的充要条件是函数 y=(x+)-b为奇函数，则函数f()=2一图象的对称中心是() A.(1,1 c.(o- 山，(2425商一上浙江宁被期米)已知是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，八到（月-x+加 ,则f(x)在[1,2]上的最大值为() A.-5 B.-2 C.5 D.6 2.2425布-上浙江温州期中)已知a>0,设扇数)=2测y:ea小的限大值为，最水 值为N,那么M+N=() A.2025 B.2022 C.2020 D.2019 13.(24-25高一上浙江杭州期末)已知f(x)= +e一是偶函数，则a=(力 A.-2 B.-1 C.1 D.2 14.(24-25高一上·浙江衢州期末)若函数y=2+1+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是() A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≤-1 D.m≥-1 5/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 15.(24-25高一上浙江杭州期末)己知函数f(x)是定义在R上的以4为周期的函数，对任意整数k,区 间Ik=[4k-2,4k+2].当x∈1o时，f(x)=2-1.集合M={af(x)=ax在I上有两个不相等的实根}， 则() A.f3=1 B.（-2,0)是函数f(x的一个对称中心 C.f(x)=f(4-x) D.若>0，则M=0,3 4k+2 16.(24-25高一上浙江宁波期末)下列命题中正确的是() A.xe-0,0),2>3 B.3xe0,+0,2r>3 C.xe(0,,x2<x2 D.3x∈(1，+o,x<x2 17.（24-25高一上·浙江温州·期末)下列函数既是偶函数又在(0，+∞）上单调递增的是() A.f(x)=2 B.f(x)=x2 C.f(x)=x-1 D.f(x)=2+2 三、填空题 18.(24-25高一上·浙江杭州期末)若2>1，则x的取值范围为」 四、解答题 19.(24-25高一上浙江杭州期末)已知函数y=a（a>0且a≠1)在1,2]上的最大值与最小值之积等于 8,设函数f)= a+1 (1)求a的值，判断函数f(x)的单调性； (2)证明g()=f(9-为奇函数： (3)若不等式f(x)+f1-x)-m<1对HxeR恒成立，求实数m的取值范围. 20.(24-25高一上·浙江杭州·期末)为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设 立优惠政策现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资 金，同时提供贷款120万元（年利率为5%）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件 140元，该店月销售量Q(百件)与销售价格P（元)的关系如下图（每段图象为直线段，A140,22), B(200,10),C260,4)). 6/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q(百件) 20 15 10H B 5 O50100150200250P(元) (1)请写出月利润L关于P的函数关系式： (2)当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大？并求最大余额； (3)该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷 款至少需要几年？ (参考数据：1.058≈1.48,1.05≈1.55,1.050≈1.63,1.05≈1.71,1.0543≈8.15,1.054≈8.56) 21.（24-25高一上·浙江杭州期末)一般地，设A,B分别为函数y=∫x)的定义域和值域，如果由函数 y=f(x)可解得唯一x=py)也是一个函数（即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应），那么就称 函数x=py是函数y=f(x的反函数，记作x=f(y).在x=f(y)中，y是自变量，x是y的函数习惯 上改写成y=f(x)(x∈B,y∈A)的形式比如：函数y=x2(x≥0)的反函数求法为：第一步：反解： :y=x2(x之0)，“x=√；第二步：互换字母：y=√F；第三步：求定义域：易知原函数 y=x2(x≥0)值域为y≥0，故反函数定义域为x≥0，反函数为y=√(x≥0).记函数y=lnx+Vx2+1的反 函数为y=gx,且有函数y=h(x满足gx+h(x=e(其中e为自然对数的底数) (1)求函数gx),h(x; (2)若关于x的不等式2h(2x)+h(x)≥-g2(x)-22+1对x∈[-n2,ln2]恒成立，求实数2的取值范围； 同考关于x的方程+3=太有两根x,低>，求e++c-的最小值 (x+3)2 22.（24-25高二上浙江杭州期末)己知定义在R上的函数f(x)=2+a·2是偶函数 (1)求a的值； (2)当x∈[-1,1时，函数gx=f2x-1fx的最小值为-2，求1的值 23.(24-25高一上浙江湖州期末)已知函数f(x)=e-ae(a∈R)是奇函数，其中e为自然对数的底数. 7/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求实数a的值，判断函数f(x)的单调性（无需证明）； (2)当不等式fx2+2x+f(x-k)>0在x∈[-1,2恒成立时，求实数k的取值范围. 24。(2425高一上浙江温州期中)已知定义域为R的函数)=-3是奇函数 Γb+3 (1)求b的值； (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论； (3)若t∈[0,6]，使fk-t)+f22-61)>0成立，求实数k的取值范围. 25.(23-24高一上浙江杭州期末)已知函数f)=a +1为奇函数 e*+1 (1)求a的值，判断函数f(x)的函数单调性并加以证明； (2)求不等式f(4)+f(4-5×2)≤0的解集 目目 考点04 对数 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州期末)若xl10g,4=1,则4+4=() A.0 B.1 c. D. 10 3 二、多选题 2.(24-25高一上浙江杭州期末)下列运算正确的有() A.1g3+1g4=1g7 B.1og2100=10log210 C.4og5=5 D.log;4.l0g43=1 三、填空题 3.(24-25高二下浙江宁波期末)己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x=gx,则 f(5)-f(-2)= 4.(24-25高一上浙江期末)计算：275+43-1g5-1g2= 四、解答题 5.(24-25高一上浙江杭州期末)求值 3 .16、 (1)83+ 81 +(°： (2)log:18-log:2+log,2l0g4 3+l0g3 (log;27) 目目 考点05 对数函数的概念 8/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江杭州期末)已知函数f(x)= [1-x2,x≤0 ,则ff(0)=() log2x,x> A.0 B.1 C.2 D.-2 2.(24-25高一上浙江杭州期末)函数y=V1ogo5(4x-3)的定义域为() A.[1,+∞ c. D.0. 3.(24-25高二下·浙江温州期末)已知f(x)=log。x,a>1,记集合A={x∈Rf(x)≤1}， B={x∈Rf(f(x)+b)≤1，若A=B,则实数a的取值范围为() A.B.) 二、填空题 2 4.(24-25高一下·浙江杭州期末)已知函数f(x=a 1og2x+1,若f(2)=1,则a= 5.(24-25高一上浙江宁波期末)已知函数f(x)= 0人》片 -2+1,x≤0，则 目目 考点06 对数函数的图象与性质 ·、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州期末)已知a=10g20.3,b=10g67,c=0.34,则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 2.（24-25高一上·浙江丽水·期末)一种药在病人血液中的量保持1500mg及以上才有疗效，而低于500mg病 人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500g,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了保持疗 效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间（精确到0.1）为() (参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48) A.2.2 B.4.2 C.7.0 D.8.8 3.(24-25高一上浙江杭州期末)若正实数a,b满足e-e26=1nb,则() A.a>2b B.a<2b C.atb<2 D.a+b>2 4.(24-25高一上浙江温州期末)设x,y∈R,则“2>4”是“1og,x-l0g2y>1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 5.(24-25高一下浙江湖州期末)已知a=1og5,b=1og,5,则(） A.ab>0 B.49.9=1 1_1>1 C. a b D.log 12=2b-a b-a x+1,x≤0 6.(24-25高一上浙江杭州期末)已知函数f(x) 2 若存在不相等的实数a,b,c,d满足 Igx,x>0 a<b<c<d且If(a)曰f(b)曰f(c)=f(d)=k,则下列说法正确的是() 61 A.k∈(0,1] B.a+b=-2 C.ed=1 D.a+b+c+d的取值范围为 10 ax2-2x+1,x≤1 7.(24-25高一上浙江温州期末)若函数f(x)= 存在最小值，则实数a的值可以是() lgx,x >1 A.0 B.-1 C.1 D. 三、填空题 8.(24-25高一上·浙江杭州期末)设函数y=f(x)的图象既关于点(1,1)对称，又关于直线x+y=0轴对称. 当x∈(0,1时，f(x)=log2(x+1,则f(l0g,12)的值为 9.(24-25高一上浙江杭州期末)已知l0g.2>-1(a>0且a≠1)，则a的取值范围是 四、解答题 10.(24-25高一下浙江衢州期末)已知函数f(x)=log（3-x)+log（x+1. (1)当0<a<1时，求f(x)的单调递增区间； 3 (2)若fx≥2在x∈0， 2 上恒成立，求实数a的取值范围. 1,2425高一上浙江杭州期末)已知函数f)=08:女口为常数)是奇函数， (1)求a的值与函数f(x)的定义域. ②若对任意的x可时，都有)<2m-1恒成立。求实数m的取值范围。 12.(2425高一上浙江杭州期末)已知a,meR,函数=43+0和函数M0=m2-(2m+x+4. 3+1 (1)若函数f(x)图象的过点(0,3)，求满足不等式∫log,)>3的t的最小整数值： (2)当a=-4时，对任意的实数x∈R,若总存在实数t∈[0,4]使得∫(x)=h()成立，求正实数m的取值范围. 13.(24-25高一上浙江杭州·期末)已知函数f(x)=log2x2-ax+1. 10/19 专题06 指数函数与对数函数 9大高频考点概览 考点01指数 考点02 指数函数的概念 考点03 指数函数的图象与性质 考点04 对数 考点05 对数函数的概念 考点06 对数函数的图象与性质 考点07 函数零点与方程的根 考点08 用二分法求方程近似解 考点09 函数模型的应用 地 城 考点01 指数 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·期末）若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边底数化为同样，得到，对应相等，得出方程，解方程即可. 【详解】，得，得，得，解得. 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值． 【详解】（1），则， 又分别为定义在上的奇函数和偶函数， ∴（2）， （1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得， ∴，，∴， 故选：D． 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于C，根据条件得到，再结合选项A中结果及反比例函数的性质，即可求解；对于D，利用基本不等式及指数的运算性质，得到，再结合条件，利用基本不等式的性质得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍），所以，故选项A错误， 对于选项B，，且，所以，当且仅当时取等号， 所以，解得或（舍），所以选项B正确， 对于选项C，因为，由选项A知， 所以，得到，故选项C正确， 对于选项D，因为，当且仅当取等号， 由，且，得到， 所以，又， 则，当且仅当,时，取等号， 又，所以，又，所以选项D错误， 故选：BC. 【点晴】方法点晴：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、填空题 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）求值： . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】, 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江温州·期末）计算： . 【答案】/0.25 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】, 故答案为： 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数，若，则 . 【答案】/0.25 【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解. 【详解】当时，，， 当时，，(舍)． ． 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高一上·浙江·期末）化简求值: (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则得到答案； （2）利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】（1）； （2） = 地 城 考点02 指数函数的概念 一、单选题 9．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由函数 是奇函数可得: 对定义域内的任意x都成立, 故选：C． 10．（24-25高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故， 故选：B 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则存在，对任意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑到二次函数的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否. 【详解】对于A,当 时，有，故A错误； 对于B，为四次函数， 为指数函数，且是单调递增， 当x取很大的实数时，不存在，使得，故B错误； 对于C，要使 ，必须满足 ， 也即恒有，当时，就有，说明C错误； 对于D，，即 ， 此时，若 ，则 ，那么对任意的，恒成立，故D正确； 故选：D. 二、填空题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则的值为 . 【答案】 【分析】利用函数解析式代入计算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数的图象经过点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意代入点运算求解即可. 【详解】因为函数的图象经过点， 则，解得. 故答案为：． 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则 . 【答案】4 【分析】利用给定的分段函数，依次计算作答. 【详解】函数，则，所以. 故答案为：4 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知且，则= ． 【答案】3 【分析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解. 【详解】且，令，则，即，解得， 故答案为：3. 16．（24-25高一上·浙江·期末）若函数，则 ，若，则 ． 【答案】 或 【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知求时要分类讨论． 【详解】，所以， ，若，，符合题意，若，也符合题意． 故答案为：；或． 17．（24-25高一上·浙江·期末）已知是指数函数，则实数m的值是 ． 【答案】3 【解析】形如（，且）的函数称为指数函数. 【详解】是指数函数，，解得或， 不满足题意故舍去，. 故答案为：3 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若指数函数的图象经过点，则 ；不等式的解集是 . 【答案】 【解析】先求出函数的解析式，从而可得的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解. 【详解】设， 因为的图象经过点， 所以，所以，则， 等价于， 即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题. 三、解答题 19．（24-25高一上·浙江宁波·期末）定义在上的奇函数和偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合函数奇偶性得，两式相加和相减即可求解函数解析式. （2）由（1）结合题意且令得，恒成立，进而求出函数，，的最大值即可得解. 【详解】（1）因为，且是奇函数，是偶函数， 所以，即， 结合，解得，. （2）由（1）得， 所以不等式可以化为， 即，即， 令，则，当且仅当时，取“”， 所以原不等式转化为对任意的，都有恒成立， 设，，易知为上的减函数， 所以的最大值为，所以. 20．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数是奇函数. （1）求m的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用奇函数的性质可得，求得的值，并验证；（2）不等式等价于，再换元，化简，求不等式的解集. 【详解】（1）是奇函数，，得， 当时，，函数的定义域是 ，， ，满足函数是奇函数， 所以； （2） ， ， 设， 得， 整理为 ， 得 ，即， 所以 ， 所以不等式的解集是. 【点睛】易错点睛：本题考查指数型函数的性质，解不等式，第一问根据求后，需验证条件，第二问的关键是不等式的变形，整理. 地 城 考点03 指数函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 2．（24-25高一下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由，则，由，则， 由函数在上单调递增，则不等式显然不成立； 当，即时，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； ②当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则， 化简可得，解得； 当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立. 综上所述，. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江衢州·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题可先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为指数函数在上单调递减， 所以由，可得， 若，那么一定有，所以能推出，充分性成立， 若，即，不一定能推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象结合各选项具体解析式逐个分析，注意奇偶性和定义域的应用. 【详解】对A，因为，当且仅当时等号成立，与图象不符，故A不可能； 对B，因为，，则，故为奇函数，图象关于原点成中心对称，与所给图象不符，故B不可能； 对C，因为，，则，所以函数为偶函数，关于轴对称，由A选项知，所以，故C可能； 对D，因为的定义域为，当时函数无意义，故D不可能. 故选：C 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数的定义域为，值域为，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值. 【详解】，， ∴则函数为常数，且在单调递增， 又∵函数的定义域为， 函数的值域为， ， . 故选：A. 6．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】由于在上单调递增，所以， 由得即， 当时，，，显然成立； 当时，单调递增，且，故， 综上，， 所以a的取值范围是 故选：C 7．（24-25高一上·浙江衢州·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简指数不等式，结合四类条件的定义进行判断. 【详解】因为，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 9．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可得，即可求得m的值，从而得到，再通过计算函数值、，可判断各个选项. 【详解】因为是奇函数，定义域为R， 所以， 所以，所以， ，满足题意， ，，故A正确，B、C、D错误. 故选：A 10．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 12．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】由指数函数与反比例函数的单调性，根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】由，则在上单调递增， 所以，，. 故选：B. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 14．（24-25高一上·浙江衢州·期末）若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可； 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得， 故选：A. 二、多选题 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（   ） A． B．是函数的一个对称中心 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用函数周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，代入求出值为1；对于B：根据是否成立即可判断；对于C：运用周期性和奇偶性判断；对于D：时，，是由平移得到.找到直线过点时的值为，根据两图象有两个不同交点确定的范围. 【详解】已知函数的周期为，则. 当时，，所以，故，选项A正确. 当时，，，所以在上是偶函数， 结合周期性，易知函数图象关于轴对称，即在R上也是偶函数. 又函数的周期为，则，即不是对称中心，选项B错误. 因为函数的周期为，所以，由于是偶函数，所以，选项C正确. 当时，，则. 在上有两个不相等的实根，即与在上有两个不同交点. 当时，，的图象是由向右平移4k个单位得到的. 当直线过点时，，故要使与在上有两个不同交点， 则，即，选项D正确. 故选：ACD. 16．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中画出和的图象，即可判断AB；再由同一坐标系中和的图象，可判断CD. 【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 显然对于，图象在上方，即，，即A正确； 当时，图象在下方，即，因此B错误； 在同一坐标系中画出和的图象，如下图所示： 由图可知，时的图象在的下方，即，，可得C正确； 当时，的图象在的上方，所以，即D错误. 故选：AC 17．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数奇偶性的判定和指数函数单调性即可判断A，利用幂函数的单调性即可判断B，利用函数的奇偶性的判定即可判断C，利用函数奇偶性的判定和复合函数的单调性即可判断D. 【详解】A选项，的定义域为，，为偶函数. 当时，为增函数，符合题意. B选项，的定义域为，当时，为减函数，不符合题意. C选项，的定义域为，，为奇函数，不符合题意. D选项， 的定义域为，，为偶函数. 当时，根据复合函数单调性同增异减可知：为增函数，符合题意. 故选：AD 三、填空题 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】根据指数函数单调性求解即可. 【详解】由题意，即，根据指数函数单调性可得. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 20．（24-25高一上·浙江杭州·期末）为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）. (1)请写出月利润L关于P的函数关系式； (2)当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额； (3)该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 参考数据：，，， 【答案】(1) (2)当元时，月利润余额最大为20000元 (3)最早可望在11年后还清 【分析】（1）求出与的关系式，由题意可得，继而即可求解； （2）由（1）的解析式，分和时讨论，结合二次函数的最值即可求解； （3）设可在第n年还清，结合题意可得，代入参考数据计算继而可求解. 【详解】（1）设该店月利润余额为L， 则由题设得， 由图可得线段的方程为：，， 即； 线段的方程为：，， 即； 所以， 所以. 即. （2）当时，， 所以当元时，（元）， 当时，， 当元时，（元）， 故当元时，月利润余额最大为20000元； （3）设可在第年还清，依题意有， 即， 的图象与的图象至多有两个点， 又当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 可知函数有两个零点，， 当时，， 又，所以最早可望在11年后还清. 21．（24-25高一上·浙江杭州·期末）一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 (1)求函数， ； (2)若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. （2）由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 （3）由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 22．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求a的值； (2)当时，函数的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，由此求得的值. （2）利用换元法化简的表达式，对进行分类讨论，根据的最小值求得的值. 【详解】（1）是偶函数，， 即，即，； （2）由（1）可知，， ， 令，由，可得， 上述函数转化为， 当时，在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，在上单调递减， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，显然不合题意， 综上所述： 23．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数是奇函数，其中为自然对数的底数． (1)求实数的值，判断函数的单调性（无需证明）； (2)当不等式在恒成立时，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) 【分析】（1）根据奇函数的概念求的值，利用单调性的定义判断函数的单调性； （2）利用函数的单调性及二次函数的性质求解． 【详解】（1）函数是奇函数，且定义域为，所以， 所以，解得， 所以， 此时，是奇函数，符合题意. 设，且， 所以 ， 因为，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递增． （2）因为在上恒成立， 所以， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 所以， 所以的取值范围为． 24．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 25．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值，判断函数的函数单调性并加以证明； (2)求不等式的解集 【答案】(1)，函数在上是增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再利用函数单调性定义推理论证单调性. （2）利用已知及（1）的结论脱去法则“f”，再借助一元二次不等式求出解析. 【详解】（1）由函数是奇函数，定义域为， 得，则，， 此时，函数为奇函数， 函数在上是增函数，证明如下： 任取，则， 由，得，则，，，因此， 所以函数在上是增函数. （2）由（1）知，函数在上是单调递增的奇函数， 不等式， 于是，即，解得，即， 所以不等式的解集为. 地 城 考点04 对数 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由对数与指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为，所以， 故， 故选：D 二、多选题 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的运算性质判断ABC，利用换底公式判断D. 【详解】选项A，，说法错误； 选项B，，说法错误； 选项C，令，则，即，说法正确； 选项D，，说法正确； 故选：CD 三、填空题 3．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】1 【分析】根据函数是奇函数的定义结合对数运算化简求值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，，则. 故答案为：1. 4．（24-25高一上·浙江·期末）计算： . 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 四、解答题 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得. 【详解】（1）； （2） . 地 城 考点05 对数函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域. 【详解】解：函数的定义域满足，解得， 故函数定义域为. 故选：C. 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的简图，可得及，由并结合图象建立关系求解即得. 【详解】作出函数的简图，如图，    由，得，而，解得，即， 由，得，则， 由及函数图象，得，整理得，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 二、填空题 4．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】将代入解析式，建立关于的等式，利用对数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】且， ， ， 解得：， 故答案为：2． 5．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数则 ． 【答案】/ 【分析】由内往外直接代入计算即可. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 地 城 考点06 对数函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，由指数函数的图像及单调性确定的取值范围即可比较大小. 【详解】由对数函数在上单调递增，所以，所以， 对数函数在上单调递增，所以，所以， 因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减， 所以，所以， 所以： 故选：B 2．（24-25高一上·浙江丽水·期末）一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最长间隔时间为，根据条件得到，利用对数函数的单调性及对数的运算，得到，再利用换底公式，即可求解. 【详解】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为， 由题有，即， 所以， 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，然后利用函数单调性比较大小即可得， 【详解】因为正实数，满足 所以， 因为，所以， 即， 设，则， 又在单调递增， 所以，C，D中不等关系无法确定， 故选：B 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 二、多选题 5．（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出与的图象，数形结合可得，判断A；由对称性可得，判断B；可求得，判断C；可得，结合对勾函数可求得取值范围判断D. 【详解】对于A，作出与的图象如图所示：    要想满足，则，故A正确； 由对称性可知，故B错误； 令，解得，所以，由， 所以，所以，故C正确； ，其中， 令，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函零点问题：将函数零点问题或方程解的问题化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度. 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围即可得解. 【详解】当时，，此时函数无最小值； 当时，， 若时，则，此时函数有最小值； 若时，则的对称轴为， 在上先增后减，没有最小值； 若时，的对称轴为， 当时，要使函数有最小值， 则即可，解得. 当时，要使函数有最小值， 则，无解. 综上，，所以实数的值可以是. 故选：ACD 三、填空题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的对称性，结合对数的运算法则进行求解即可. 【详解】设函数的图象为， 对任意的，令，则在上， 因为的图象既关于点对称，又关于直线轴对称． 所以由在上，可得，，都在上，而， 所以取，此时， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的对称性. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知（且），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】把变形为，然后对 和讨论，得出结果 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解； （2）结合复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即可求解. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又，为减函数， 所以的单调递增区间为． （2）由题意得当，， 当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意， 当时，为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，解得，综上所述，． 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，函数和函数． (1)若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值； (2)当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据条件，解出的值，然后解出不等式即可； （2）首先求出的值域，然后由条件可得的值域是在上的值域的子集，然后分、两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数图象过点， 则，解得， 所以，即， 于是等价于，即， 又，解得， 故满足不等式的的最小整数为2. （2）当时，， 因为， 所以的值域是. 依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立， 则的值域是在上的值域的子集， 而且，所以在上不能单调递增， 且只需在上的最小值小于等于， 故， 或（舍去）， 即正实数m的取值范围为. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明； （3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数满足，解得， 即函数的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数； （3）即， 当时，在上单调递增，有，解得； 当时，在上单调递减，有，解得； 故当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为. 15．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用分数不等式的解法，即可求解； （2）根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】（1）由题知，又等价于，解得， 所以函数的定义域是. （2）由，得到，所以，解得. 16．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) 【分析】(1)利用函数奇偶性的定义即可判断； (2)将利用对数运算性质进行化简，再利用对数函数的单调性解对数不等式即可. 【详解】（1）是偶函数，理由如下： 根据题意，要使有意义，则有，， 的定义域为，关于原点对称，， 是偶函数； （2）， 当时，，，； 当时，，； 综上所述，实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解， （2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）若在上单调递增，则需满足，解得 （2）， 由于，，故， 由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立， 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取到等号， 故 18．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值; (2)若的值域为R，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上取遍，令，分和时求解； 【详解】（1）解：当时，令，得，满足； 当时，令， 所以，解得或，不符合，舍去. 故x的值为 （2）当时，因为， 所以要使值域为R，只需在上取遍， 当时，令， ①当时，当，即时， 在上取遍 ②当时，在上是增函数，则，不成立; 地 城 考点07 函数零点与方程的根 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知定义在上的偶函数满足，记，.当时，.记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及确定函数的周期性，再根据已知条件确定时的函数解析式，将问题转化为函数，在有两个交点，结合函数的图像性质、值域即可求解. 【详解】因为为定义在上的偶函数，所以， 又因为，将替换则有， 即，所以为周期为的周期函数， 根据题意，即时， ， ，当时，，即， 因为函数为周期为的周期函数， 所以，， 根据已知条件，，在上有两解， 令，则，方程变为，， 令，，根据题意两函数在有两个交点， ，，为对称轴为，值域为的抛物线， ，，为对数函数，，， 当时，函数在上单调递减，两个函数没有交点，不合题意； 当，，， 此时，两函数在上恰有两个交点，符合题意； 当时，单调递增，根据， 两图像最多有一个交点，不合题意； 当时，单调递增，根据， 两图像有两个交点，符合题意； 综上所述，的取值范围为，所以. 故选：D 2．（24-25高一上·浙江·期末）函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的零点即为与交点的横坐标，的零点即为与交点的横坐标，画出图象，数形结合可得答案. 【详解】令得 则的零点即为与交点的横坐标， 令得 则的零点即为与交点的横坐标， 画出的图象， 由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立， 可得选项D、B、C可能成立， 故选：A 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【详解】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数的零点个数转化为函数与函数交点个数的问题，画出对应图象可实现问题求解. 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若方程，则（   ） A．当或时，方程有个解 B．当时，方程有个解 C．当或时，方程有个解 D．当时，方程有个解 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的性质及函数单调性与最值情况，数形结合，转化为函数图像与直线交点情况. 【详解】由已知， 当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 当时，，函数在上单调递增，且此时， 做出函数图像如图所示，    方程的解可转化为函数与函数的交点横坐标， 当时，函数与函数有一个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有三个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解； 即A选项错误，BCD选项正确； 故选：BCD. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（    ） A．实数的取值范围为 B．函数在单调递增 C．的取值范围为 D．函数有个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图像，根据图像可判断A错误，B正确；根据图像确定出，再根据对数运算求解出，即可得的范围，则C正确；采用换元法令，确定出的值，结合的图像求解出的零点个数. 【详解】作出函数的图像如图所示： 对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误； 对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确； 对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，由，令，则，解得或，由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（   ） A．当时，可以有两个解 B．当时，可以有一个解 C．当时，可以有四个解 D．当时，可以有三个解 【答案】ABD 【分析】根据函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，即可作出的部分草图，分析方程的解的个数，即分析函数图像交点个数，然后数形结合，逐个选项判断即可. 【详解】因为当时，， 所以此区间的图像是开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 且，又是以为最小正周期的周期函数， 所以当时，，， 以此类推，则作的部分草图如下， 对于A，当时，， 显然当时，即可得到有两个解， ，A正确； 对于B，当时，， 显然时，有一个解， ，B正确； 对于C，当时，， 若，如图，有三个解， ， 所以随着直线平移，即， 则不可能有四个解，C错； 对于D，当时，， 如图当时，此时在内有两个解， 所以随着直线下移，可以有三个解， 且第三个解在内，所以D正确. 故选：ABD 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）关于函数的说法正确的是（   ） A．是奇函数. B．对于任意，均存在使得. C．存在，使得方程的根为有限个. D．对于任意，直线与的图象有无穷多个交点. 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义即可判断A，根据函数的余弦函数的有界性即可求解B，根据与的图象有无数个交点，即可判断C，根据，利用余弦函数的周期性以及时，函数，即可求解D. 【详解】对于A, 的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，A正确， 对于B，对任意的，存在，使得，此时,故B正确， 对于C，令，则， 由于函数与的图象有无数个交点，而因此有无数个实数根，故C错误， 对于D, 令，令， 当不同时为0时，当时，函数，且在连续，而函数为周期函数，因此两个函数图象有无数个交点， 当同时为0时，有无数个实数根，因此对于任意，直线与的图象有无穷多个交点，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据，分别考虑函数以及的图象特征，即可根据图象交点情况求解. 三、填空题 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解决二次函数型复合函数零点个数问题，可以通过换元将其转化为一元二次方程，结合实根分布的知识来解决． 【详解】令，则，作出函数的图象如答图13-7，函数有8个不同的零点， 等价于与的图象有8个交点，等价于函数在上有两个零点， 则，解得．    故答案为：. 9．（24-25高一下·浙江金华·期末）已知函数有唯一零点，则 ． 【答案】2 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为，， 所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点， 根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故答案为：2. 10．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数，其图象与直线有两个交点.若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】首先通过令，将绝对值方程转化为两个方程，进而得到与直线和的关系，根据与有两个交点确定的取值范围.接着对于，通过换元令，将其转化为，再结合前面得到的的范围，分析的根的情况，进一步研究和根的个数.根据不同取值范围下图象与直线，交点个数的不同情况，最终确定满足有三个不等实根时的值. 【详解】令， 显然时，等式不成立，故 则或，即或， 因为与有两个交点， 所以与直线与直线有两个交点， 因为，所以，解得 考虑，令，则方程可化为， 由前面的分析可知，当时，有两个不等正实根， 则，则只需研究和根的个数， 方程的判别式为， 当时，，则的图象有位于x轴下方的部分， 保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分作关于x轴的翻折，即得的图象， 此时的图象与直线，都至少有2个交点，故共至少有4个交点， 则至少4个根，不合题意. 当时，，恒成立， 所以，则， 要使得恰有3个根，需的图象与，都有3个交点， 因为，所以的图象与有一个交点，与有2个交点， 所以，由可得，， 所以， 则，即， 所以，所以， 整理得， 即，即， 化简得，解得或舍去 综上所述， 故答案为： 【点睛】思路点睛： 遇到此类函数与直线交点以及复合方程根的问题，先从函数与直线交点入手，通过方程转化和函数性质确定参数初步范围.再对复合方程进行换元，将其转化为简单方程，结合前面得到的参数范围，从函数图象角度分析根的个数情况，通过解方程最终确定参数的值. 四、解答题 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) (3) 【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解； （2）由，，三种情况分类讨论即可； （3）通过或，结合判别式及零点存在性定理求解； 【详解】（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 当时，，显然在区间上单调递增，符合； 当时，对称轴为：，且开口向上， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 当时，对称轴为：，且开口向下， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围； （3）若函数在区间上有且仅存一个零点， 当时，由，解得：，符合； 当，对于，若，即时，方程有一根，符合， 若，① ，因为对称轴为：，又， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，即，故：； ② ，对称轴为：，， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，且，即且，解得：； 综上实数的取值范围是 12．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，函数为偶函数，且当时，，. (1)若函数在上是增函数，求的最小值； (2)若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据函数在上是增函数求得，再由结合指数函数的性质求解即可； （2）方程有个不同的实数解转化为，当有两解，且当有两解，结合二次函数的性质可求的取值范围. 【详解】（1）函数图象开口向上，对称轴方程为， 因为函数在上单调递增，∴， 又∵为偶函数， ∴. ∴的最小值是5. （2）∵为偶函数，由， 所以时， ∴      ∴， ∵方程有个不同的实数解， ∴当有两解，且当有两解， 所以， 解得. 13．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由; (2)判断函数是否存在零点，若存在零点，请写出一个区间，满足，且若不存在零点，请说明理由. 【答案】(1)奇函数；理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由题意得：的定义域为，并根据，可得函数是奇函数； （2）由题意得：，，根据，即可得零点存在区间. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， 又， 所以为奇函数； （2），， 又，， 故由函数零点存在定理可知，函数在上存在零点， 此时，区间满足题意其中或，（答案不唯一）. 地 城 考点08 用二分法求方程近似解 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算求解. 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江金华·期末）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知为锐角的内角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设设，则在单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数的零点所在的区间，也即是方程的根所在的区间. 【详解】因为为锐角的内角，满足， 设，则在单调递增， ， 在取，得， ， 因为，所以的零点位于区间， 即满足的角， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令，根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间. 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】根据函数零点存在原理、二分法逐一判断即可. 【详解】由选项AC中函数图象可知这两个函数的函数值没有负实数，即在零点左右函数值不变号， 选项BD中的函数图象可知这两个函数的函数值有负实数，即在零点左右函数值变号， 因此不能用二分法求其零点的是AC， 故选：AC 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．与为同一函数 B．函数是幂函数，则 C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分法后精确度达到 D．函数有两个零点，且其中一个零点在区间内 【答案】ACD 【分析】利用函数相等的概念可判断A选项；利用幂函数的定义求出的值，可判断B选项；利用二分法的定义可判断C选项；利用数形结合思想判断出函数的零点个数，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，所以，函数的定义域为， 又因为函数的定义域为，且， 所以，函数与为同一函数，A对； 对于B选项，因为函数是幂函数，则， 解得或，B错； 对于C选项，用二分法求函数在区间内的零点近似值， 假设需要次二分法后精确度达到，则，可得， 因为，故至少经过次二分法后精确度达到，C对； 对于D选项，由可得， 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数与函数的图象由两个交点， 所以，函数有两个零点， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， 所以，函数的一个零点在区间内，D对. 故选：ACD. 7．（24-25高一上·浙江台州·期末）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下： x 0 1 2 3 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】可根据正负值确定方程根所在区间，根据区间长度小于，可找到符合精度的近似解. 【详解】，， 故方程的近似解在内 ，故任意数都可作为近似解 故选：BC 地 城 考点09 函数模型的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）著名数学家欧拉曾研究过素数分布问题，并得到不超过整数的素数个数可以近似地表示为的结论.根据该结论，估计10000以内的素数的个数约为（    ） （参考数据：，这里为自然对数的底数） A．1086 B．2172 C．4343 D．5756 【答案】A 【分析】根据所给函数代入，化简求值即可. 【详解】， 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 3．（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（    ） A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 【答案】C 【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟， 则，两边同时取对数得，， 所以，所以大约需要小时. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·浙江金华·期末）某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则 ℃，产生最佳口感所需时间是 min． 【答案】 【分析】由时，茶水室温为20℃，茶水初始温度为100℃，代入解析式可得，由时及a的值代入解析式可得产生最佳口感所需时间． 【详解】由题意，，当时，有，， 则，当时，即，所以， ，可得，． 故答案为：；． 6．（24-25高一上·浙江金华·期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ． 【答案】0.6/ 【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，解出后结合即可得. 【详解】设电价定为元，， 则由题意可得， 整理可得，又， 故，即，故最低的电价可定为. 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成面积为的十字形区域，且计划在正方形上建一座花坛，其造价为元/，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为元/，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为元/. (1)设的长为米，试写出总造价(单位：元)关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为元 【分析】（1）设，根据题设有，从而得，再结合条件，即可求解； （2）令，，可得，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以，由，可得， 所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为 . （2）令，则，且， 因为函数， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以总造价的最小值为元. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 【答案】(1)120 人 (2)存在，. 【分析】（1）根据题意，得到不等式，得出，再用已知条件得出结果； （2）由条件②得，由条件③得，假设存在满足上述条件，则上述两个不等式恒成立，求出即可. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元， 则 ， 整理得 ， 解得 ， 因为 且， 所以 ， 故， 所以调整后的研发人员的人数最少为 120 人； （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 ， 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少， 得 ， 解得 假设存在这样的实数， 使得技术人员在已知范围内调整后， 满足以上两个条件， 因为 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 所以 ，又因为（），所以. 所以. 9．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1) (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天实时空气污染指数与时刻（时）变化的函数关系为，其中为空气治理调节参数，且． (1)若，求该市一天中实时空气污染指数最低的时刻； (2)若规定以实时空气污染指数的最大值作为当天的空气污染指数，并记为，求的表达式；要使该市每天的空气污染指数不超过5，则调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）把代入，求出取最小值时的值. （2）令，构造新函数并分段求出最大值表达式，再分段解不等式即得. 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 由，得，解得， 所以该市一天中实时空气污染指数最低的时刻. （2）令，由，得，原函数化为， 而，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以； 由该市每天的空气污染指数不超过5，得，则或，解得， 所以调节参数应控制的范围是. 11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施肥量为时，单株年利润最大为390元 【分析】（1）由利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可求解； （2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时，的对称轴为，最大值为， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上施肥量为时，单株年利润最大为390元. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是． (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域； （2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值. 【详解】（1）依题意可得零件的面积， 故，由，即，解得． 故，. （2）如图所示：作交于，交于，连接． 故，又，设圆的半径为， 故 ，      当，即时等号成立． 故当时，面积最小值， 即的最小值为． 13．（24-25高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） (1)求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． (2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可． 【详解】（1）依题意， 当时，， 当时，， 故； （2）若，， 当时，， 若，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，又， 故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 14．（24-25高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【答案】(1)选， (2)车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为 【分析】（1）根据题意，得到，结合提供的数据，列出方程组，取得，即可求解； （2）设车速为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：对于，当时，它无意义，所以不符合题意； 对于，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选． 根据提供的数据，则有，解得， 当时，． （2）解：设车速为，所用时间为， 所耗电量， 要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即． 所以当测试员控制的车速为， 该电动汽车的电池所需的最小容量为． 15．（24-25高一上·浙江温州·期末）近年来，“无废城市”、“双碳”发展战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的密集出台对厨余垃圾处理市场需求释放起到积极作用某企业响应政策号召，引进了一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目已知该企业日加工处理厨余垃圾成本单位：元与日加工处理厨余垃圾量单位：吨之间的函数关系可表示为：. (1)政府为使该企业能可持续发展，决定给于每吨厨余垃圾以元的补助，当日处理厨余垃圾的量在什么范围时企业不亏损 (2)当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 【答案】(1) (2)吨 【分析】（1）利用题中所给解析式，分两段讨论； （2）当时，由函数单调性求得最值，当时，由基本不等式求得最值，得解． 【详解】（1）法一：当时，， ， 当时，， ， 解得， 综上：当时，该企业不亏损； 法二：由已知得， 由得，或， 综上：当时，该企业不亏损； （2）当时，， 当时， “”当且仅当“”成立 综上：当日加工处理厨余垃圾量为吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $