1.6利用三角函数测高（导学案）数学北师大版九年级下册

1.6 利用三角函数测高 导学案 1.能够设计活动方案、自制测倾器并运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告。 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正。 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。 学习重点：对测量数据进行整理、分析和矫正。 学习难点：将真实场景转化为可解的三角模型，并利用多次测量及方程求得目标高度。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用 等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2.情景引入 如果不告诉你这些建筑的高度，你能根据我们所学的数学知识测出它们的高度吗？ 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 新知自研：自研课本第22--23页的内容． 【学法指导】 自研课本P22-23页的内容，思考： ●探究一：测量倾斜角 ◆1.想一想 （1）在测塔的高度时，会用到了哪些仪器? 有何用途? 测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由 、铅锤和 组成. （2）使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？ 解：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： ①把支架竖直插入地面，使支架的中心线、 和度盘 刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. ②转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时 所指的度数. ◆2.想一想 根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由. 解：如图，目标M的仰角是 . 理由是： ●探究点二：测量底部可以到达的物体的高度 ◆1.想一想 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体 之间的距离. (1)如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 解：①在测点A安置测倾器，测得M的仰角 ； ②量出测点A到物体底部N的水平距离 ； ③量出测倾器的高度 （即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）. (2)根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. ◆2.练一练 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，≈1.732)． ●探究点三：测量底部不可以到达的物体的高度 ●1.想一想 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (1)如图，要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？为什么？ 【解答】解：底部不可到达，则只测出一个仰角，无法直接解三角形.因此需向测量物体方向移动测倾器一定距离后，再测出一个 .借助两个角和 即可解三角形，进而求出物体的高度. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: ①在测点A处安置测倾器,测得M的仰角 . ②在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角 . ③量出测倾器的高度AC=BD= ,以及测点A,B之间的距离AB= . (2)根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. 【解答】 ◆2.练一练 如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到1米）（ ） A.1 366米 B. 1 482米 C. 1 296米 D. 1 508米 ◆3.练一练 （1） 到目前位置，你有哪些测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离呢？ 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 【分析】(1)过E作EN⊥CD交DC于N,利用三角函数求出ED的长: 【解答】 例2 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.） 【分析】在Rt AABC中，根据 三角函数求出BC,即可求出BC 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论用三角函数测量直接到达或不能直角到达的物体的高度的方法； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为( ) (sin37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan37°≈0.75) A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米 2.如图，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为（ ） A.20 m B.30 m C.40 m D. 50 m 3.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB =______米. 4.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为_____米. 5. 某公园一塔的塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米。其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为_____米.(≈1.73，结果精确到 0.1) 6.如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树高是__________m. 7.目前我国最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）. 8.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB＝80米.为测量居民楼与这座大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．(结果保留整数)（参考数据 : ） 1．某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪CD，测得路灯杆顶部A的仰角为60°，求路灯杆AB的高度（结果保留根号）． 2．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9） 3．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） 4．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 5．图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度（CD的长）．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C处的仰角为34°，测完又走到教师楼三楼走廊B处，观测正对面铁围栏顶部D的仰角为31°．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离EF约为20m，请问小明同学测得铁围栏的高度CD约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.515，tan31°≈0.6，sin34°≈0.559，tan34°≈0.7） 6．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41，1.73） 7．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 8．如图，小明为测量宣传牌的高度AB，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度为i＝1：2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB．（结果精确到0.1米，，） 9．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 10．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） ▲1、 测量底部可以到达的物体的高度（ 次测量仰角） ▲2、 测量底部不可以到达的物体的高度（ 测量仰角） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 利用三角函数测高 导学案 1.能够设计活动方案、自制测倾器并运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告。 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正。 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。 学习重点：对测量数据进行整理、分析和矫正。 学习难点：将真实场景转化为可解的三角模型，并利用多次测量及方程求得目标高度。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2.情景引入 如果不告诉你这些建筑的高度，你能根据我们所学的数学知识测出它们的高度吗？ 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 新知自研：自研课本第22--23页的内容． 【学法指导】 自研课本P22-23页的内容，思考： ●探究一：测量倾斜角 ◆1.想一想 （1）在测塔的高度时，会用到了哪些仪器? 有何用途? 解：要用到测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具. 测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. （2）使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？ 解：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： ①把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. ②转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. ◆2.想一想 根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由. 解：如图，目标M的仰角是30°. 理由是：同角的余角相等. ●探究点二：测量底部可以到达的物体的高度 ◆1.想一想 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (1)如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 解：①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l ； ③量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）. (2)根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. 解：在Rt△MCE中，tanα=, ∴ME=CE∙tanα=AN∙tanα=l∙tanα, ∴MN=ME+EN=ME+AC=l∙tanα+a. ◆2.练一练 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，≈1.732)． 解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°， ∴AC＝CE·tan60°＝6×≈6×1.732≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)． 所以，旗杆AB的高度约为11.9米． ●探究点三：测量底部不可以到达的物体的高度 ●1.想一想 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (1)如图，要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？为什么？ 【解答】解：底部不可到达，则只测出一个仰角，无法直接解三角形.因此需向测量物体方向移动测倾器一定距离后，再测出一个仰角.借助两个角和测倾器移动距离即可解三角形，进而求出物体的高度. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: ①在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. ②在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β. ③量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b. (2)根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. 【解答】 解：在Rt△MDE中，ED=, 在Rt△MCE中，EC =, ∴EC－ED=−=b， ∴ME=, ∴MN=. ◆2.练一练 如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到1米）（ ） A.1 366米 B. 1 482米 C. 1 296米 D. 1 508米 解：A ◆3.练一练 （1）到目前位置，你有哪些测量物体高度的方法？ 解：测量物体高度的方法有：（1）全等法；（2）相似法；（3）三角函数法. （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离呢？ 解：可利用测倾器测量出该物体的仰角α（或俯角），利用物体高度和角α解三角形，即可求出某测点到该物体的水平距离. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 【分析】(1)过E作EN⊥CD交DC于N,利用三角函数求出ED的长: 【解答】解：如图，过点E作EN⊥CD，交CD于点N, 根据题意，可知∠DEN=30°,BC=EN=30m, CN=BE=1.4m. 在Rt△DEN中， DN=ENtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， ∴CD=DN+CN=17.32+1.4≈18.72(m). ∴学校主楼的高度约为18.72m. 例2 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.） 【分析】在Rt AABC中，根据正切三角函数求出BC,即可求出BC 【解答】解:如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， ∴ ∴BC=1000×tan25°≈466.3（m） ∴上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7≈468（m） 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论用三角函数测量直接到达或不能直角到达的物体的高度的方法； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为( ) (sin37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan37°≈0.75) A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米 解：D． 2.如图，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为（ ） A.20 m B.30 m C.40 m D. 50 m 解：C． 3.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB =______米. 解：80. 4.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为_____米. 解：7+． 5. 某公园一塔的塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米。其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为_____米.(≈1.73，结果精确到 0.1) 解：24.1. 6.如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树高是__________m. 解：+. 7.目前我国最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）. 解: （1）由题意，AC＝AB＝610（米）； （2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝, ∴BE＝DEtan39°， ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米） ∴大楼的高度CD约为116米. 8.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB＝80米.为测量居民楼与这座大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．(结果保留整数)（参考数据 : ） 解：设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan37°=，即=, ∴AD=x. 在Rt△BCD，tan48°= BD/CD，即=, ∴BD=x. ∵AD＋BD = AB，∴x+x=80, 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． 1．某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪CD，测得路灯杆顶部A的仰角为60°，求路灯杆AB的高度（结果保留根号）． 【分析】先在Rt△ADE中求出AE，再利用AB＝AE+EB即可求出路灯杆AB的高度． 【解答】解：由题意，知四边形BCDE是矩形， ∴DE＝BC＝10米，EB＝CD＝1米，∠AED＝90°， 在Rt△ADE中， ∵∠ADE＝60°，tan∠ADE， ∴AE＝DE•tan60°＝10（米）， ∴AB＝AE+EB（米）， 答：路灯杆AB的高度为（）米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 2．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9） 【分析】延长CE、DF交AB于H、G，在Rt△AGD中，由三角函数的定义用AG表示出即DG，在Rt△ACH中，由三角函数的定义用AG表示出即CH，根据DG﹣CH＝1得到关于AG的方程，解方程求出AG即可求出AB． 【解答】解：延长CE、DF交AB于H、G， 由题意知，∠AGD＝∠AHC＝90°， 在Rt△AGD中，∠ADG＝35°， ∴tan35°， 即DG， 在Rt△ACH中，∠ACH＝42°， ∴tan42°， 即CH， ∵AH＝AG+GH，GH＝0.3， ∴CH， ∵DG﹣CH＝1， ∴1， ∴1 解得：AG＝4.2， ∴AB＝AG+GH+BH＝4.2+0.3+0.6＝5.1． 答：银幕AB的高度约为5.1m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，以及三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键． 3．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌CD．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离（即DH的长度）．已知测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小张在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝10m，且图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，求DH的长．（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） 【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可． 【解答】解：如图所示：延长EF交CH于N， 则∠CNF＝90°， ∵∠CFN＝45°， ∴NF＝CN， 由题意可得，EF＝AB＝10m，CD＝6m， 设DN＝x m，则NF＝CN＝DN+CD＝（x+6）m， ∴EN＝EF+FN＝10+（x+6）＝（x+16）m， ∵， ∴EN•tan∠DEN＝DN， ∴x≈（x+16）×0.6， ∴x≈24， ∴DH＝DN+NH≈24+1.2＝25.2（m）， 答：点D到地面的距离DH的长约为25.2m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 4．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC； （2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝x m，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知：AB＝6.8×5＝34（m）， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 则BC＝AB＝34m， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m； （2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝34m， 设DE＝x m，则DF＝（34﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（34﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m， 在Rt△BFD中，∠FBD＝20°， ∵tan∠FBD， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36， 解得：x≈15， 答：四门塔DE的高度约为15m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度（CD的长）．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C处的仰角为34°，测完又走到教师楼三楼走廊B处，观测正对面铁围栏顶部D的仰角为31°．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离EF约为20m，请问小明同学测得铁围栏的高度CD约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.515，tan31°≈0.6，sin34°≈0.559，tan34°≈0.7） 【分析】分别过点A，B作AG⊥FC，BH⊥FC，则AG＝BH＝EF＝20m，解Rt△CAG求出CG≈14m，则每一层高度为14÷4＝3.5m，据此可得CH＝3.5×3＝10.5m；再解Rt△DBH中，得到DH≈12m，则DC＝DH﹣CH＝1.5m． 【解答】解：如图，分别过点A，B作AG⊥FC，BH⊥FC． 由题可知AG＝BH＝EF＝20m． 在Rt△CAG中，， ∴， ∴CG≈14m， ∴每一层高度为14÷4＝3.5m， ∴CH＝3.5×3＝10.5m． 在Rt△DBH中，， ∴， ∴DH≈12m， ∴DC＝DH﹣CH＝12﹣10.5＝1.5m． 答：小明同学测得铁围栏的高度CD约为1.5m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 6．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41，1.73） 【分析】延长AB交CD的延长线于点E，构建直角三角形，利用直角三角形的三角函数解答即可． 【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E， 则BE⊥CD， ∵∠BCD＝30°，∠BDE＝60°， ∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CBD＝∠BCD， ∴BD＝CD＝6， ∴在Rt△BDE中，DE＝BD×cos60°＝3，， ∴CE＝CD+DE＝6+3＝9． 在Rt△ACE中，AE＝CE×tan37°＝9×0.75≈6.75， ∴AB＝AE﹣BE≈6.75﹣5.19≈1.56≈1.6， ∴AB的长度为1.6米． 【点评】此题考查了解直角三角形问题，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 7．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论． 【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G， ∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米， ∴设DG＝x，则CG＝2.4x． 在Rt△CDG中， ∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20， ∴DG＝20米，CG＝48米， ∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米． ∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG， ∴四边形EGBM是矩形， ∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米． 在Rt△AEM中， ∵∠AEM＝27°， ∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米， ∴AB＝AM+BM＝51+20.8≈72（米）． 答：建筑物AB的高度约为72米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．如图，小明为测量宣传牌的高度AB，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度为i＝1：2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB．（结果精确到0.1米，，） 【分析】过点F作FG⊥EC于G，依题意知，得到四边形DEGF是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过点F作FG⊥EC于G，依题意知，FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°， ∴四边形DEGF是矩形， ∴FG＝DE， 在Rt△CDE中，（米）， ∵斜坡CF的坡度为i＝1：2.5． ∴Rt△CFG中，CG＝1，FG＝22.5＝5（米）， ∴（米）． 在Rt△BCE中，（米）， ∴（米）． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 【分析】（1）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可； （2）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可． 【解答】解：（1）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝120°﹣90°＝30°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝12×sin30°＝126（m）， ∴CF＝CG+GF＝6+3.5＝9.5（m）； （2）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝150°﹣90°＝60°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝20×sin60°＝2017.32（m）， ∴CF＝CG+GF＝17.32+3.5＝20.82（m）； ∴最高救援高度为20.82m， 故该消防车能实施有效救援． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 10．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA＝4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD＝53°，∠COD＝37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′＝27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H＝3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 【分析】（1）过点A作AE⊥BD，分别解直角三角形AOE和直角三角形ABE，进行求解即可； （2）易得GH＝CE，旋转得到OC′＝OC，解直角三角形得到GH＝CE＝0.6OC米，C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米，利用C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米，求出OC的长，再减去OA的长即可得出结果． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BD， 在Rt△AEO中，OA＝4米，∠COD＝37°， ∴（米）， 在Rt△AEB中，∠ABD＝53°， ∴（米）； （2）由题意，得：GH＝CE， 在Rt△COE中，∠COD＝37°， ∴米， ∴GH＝CE＝0.6OC米， ∵OC′＝OC，∠COC′＝27°， ∴∠C′OG＝37°+27°＝64°， 在Rt△C′OG中，∠C′OG＝64°， ∴C′G＝OC′•sin64°≈0.9OC′米， ∵C′H＝C′G﹣GH＝0.9OC′﹣0.6OC＝0.3OC＝3米， ∴OC＝10米， ∴AC＝OC﹣OA＝6米， 故：AC伸长到的最大长度为6米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． ▲1、 测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角） ▲2、 测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $