1.2 二次函数的图像 教学设计2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.2二次函数的图像（1） 【教学目标】： 【知识目标】会用描点法画二次函数的图像；进一步理解二次函数与抛物线的有关知识；掌握型二次函数图像的特征。 【能力目标】学会观察、归纳、概括函数图像的特征，进一步培养用数形结合方法研究函数的性质的能力。 【情感目标】经历描点法画函数图像的过程；经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 【教学重难点】 教学重点： 型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学方法：演示法 【教学准备】：投影片 【设计思路】：通过画图类比引入，学生较易接受；再由有学生自己画图，并结合图像，运用对比的方法探究性质，让学生体会数形结合、类比思想在数学学习中的作用；通过例题的讲解，进一步理解二次函数图像的特征。 【教学过程】： 1、 回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。因此本节课要讨论二次函数（）的图像。 板书课题：二次函数（）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数 和图像 （1） 列表 x … -2 -1 0 1 2 … … 0 1 … … 0 -1 … 引导学生观察上表，思考一下问题： ①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？ ②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数（）的图像 观察二次函数和的图像 抛物线 顶点坐标 对称轴 位 置 开口方向 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。 （4） 当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 3、 课堂练习 1、 填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。 （2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0. 2、在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？ (抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画) 四、例题讲解 1、例题：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：1、课本第31页课内练习第2题。 2、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 3、已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式. (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值. 五、谈收获 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线. 2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点 3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点 六、作业：见作业本。 【板书设计】： 例1 解： 解： 练习 练习 【教学内容】1.2二次函数的图像（3） 【教学目标】： 【知识目标】掌握一般二次函数的图像与的图像之间的关系。掌握二次函数图像的顶点坐标、对称轴方程的求法。会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。 【能力目标】能用配方法将变形成的形式。 【情感目标】通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。 【教学重难点】： 教学重点：二次函数的图像特征 教学难点：例2的解题思路与解题技巧。 教学方法：类比 启发 【教学准备】：多媒体 【设计思路】：通过知识回顾中的第一题为已学的知识复习，第二题为新知识的学习做准备，起到承上启下的作用；由合作探索归纳结论，既温故又知新，培养学生的概括能力和口头表达能力；利用例题指导学生养成良好的解题习惯，提高学生的运用能力和公式的运用能力。 【教学过程】： 一、回顾知识 1、二次函数的图像和的图像之间的关系。 2、讲评上节课的选作题 对于函数，请回答下列问题： （1）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 思路：把化为的形式。 = 在中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？ 二、探索二次函数的图像特征 1、问题：对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式 ？ = 由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数的图像特征 （1）二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=，顶点坐标是为（，） (3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 三、巩固知识 1、例4、求抛物线的对称轴和顶点坐标。 有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。 2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题 3、例5、已知二次函数y= x²+4x–3,请回答下列问题： （1）、函数的图象能否由函数的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图； （2）、说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 练习：课本第37页课内练习第2题。 4、（补充例题）已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答) 分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？ 练习：课本第37页课内练习第3题。 5、探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？ 四、小结 1、函数的图像与函数的图像之间的关系。 2、函数的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 3、函数的解析式类型： 一般式： 顶点式： 五、布置作业 课本作业题 【板书设计】： 例4 例5 解： 解： 练习 练习 学科网（北京）股份有限公司 $