1.3二次函数的性质 讲义 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

1.3二次函数的性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数的最值 4 【题型2】二次函数的增减性 5 【题型3】由一般式确定二次函数的解析式 6 【题型4】由顶点式确定二次函数的解析式 7 【题型5】由交点式确定二次函数的解析式 8 【题型6】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 9 【题型7】利用二次函数图象与性质求一元二次方程的解 10 【题型8】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 12 【题型9】二次函数与一次函数综合 13 【题型10】二次函数与反比例函数综合 16 【题型11】二次函数与几何综合中的存在性问题 20 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 2.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 【知识点2】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2024秋•岑溪市期末）二次函数y=（x-1）2-3的最小值是（　　） A．-3 B．3 C．0 D．1 【知识点3】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 1.（2024•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，顶点在（-2，1），则关系式为（　　） A．y=（x-2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x+2）2+1 D．y=-（x+2）2+1 【知识点4】二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；    ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；   ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋•蓬江区校级月考）把二次函数y=x2-2x+4化为y=a（x-h）2形式，下列变形正确的是（　　） A．y=（x-1）2+3 B．y=（x-2）2+3 C．y=（x-1）2+5 D．y=（x+1）2+3 2.（2024秋•海勃湾区期末）用配方法将y=x2+x-1写成y=a（x-h）2+k的形式是（　　） A．y=（x+1）2-1 B．y=（x-1）2-1 C．y=（x+1）2-3 D．y=（x+1）2- 【题型1】二次函数的最值 【典型例题】二次函数的最大值是10，那么a的值等于（　　） A. B.1 C.3 D.4 【举一反三1】已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A.函数有最小值1，有最大值3 B.函数有最小值，有最大值0 C.函数有最小值，有最大值3 D.函数有最小值，无最大值 【举一反三2】已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）      A.有最大值2，有最小值 B.有最大值2，有最小值1.5 C.有最大值1.5，有最小值 D.有最大值2，无最小值 【举一反三3】已知二次函数，当时，函数y的最大值为（    ） A.1 B.3 C.9 D.19 【举一反三4】关于二次函数的图象，下列说法不正确是（    ） A.经过原点 B.顶点在轴上 C.对称轴是直线 D.有最小值 【举一反三5】已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是     ． 【举一反三6】当二次函数取最小值时，的值为                ，最小值为                    ． 【举一反三7】当二次函数取最小值时，的值为                ，最小值为                    ． 【举一反三8】抛物线有最             （大、小）值． 【题型2】二次函数的增减性 【典型例题】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A.函数图象的对称轴是直线 B.函数的有最小值，最小值为 C.点在函数图象上，当时， D.函数值y随x的增大而增大 【举一反三1】对于二次函数，下列描述：①开口向上；②与y轴交于点；③当时，y随x的增大而增大；④当时，函数y有最小值．其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【举一反三2】如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A. B. C.点的坐标为 D.当时，的值随值的增大而增大 【举一反三3】由二次函数可知（    ） A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 C.其顶点坐标为 D.当时，随的增大而增大 【举一反三4】关于二次函数，下列说法正确的是 （    ） A.函数图象开口向下 B.函数图象的顶点坐标为 C.该函数有最大值，最大值为3 D.当，y随x的增大而增大 【举一反三5】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是        ． 【举一反三6】函数的图象，当时，y的值随x的值增大而      ．（填“增大”或“减小”） 【举一反三7】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为      ． 【举一反三8】当，函数的最小值为0，则的取值范围为      ． 【题型3】由一般式确定二次函数的解析式 【典型例题】抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点．已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为      ． 【举一反三3】已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 【题型4】由顶点式确定二次函数的解析式 【典型例题】已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（　　） A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.6 【举一反三1】一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： 下列结论正确的是（    ） A.此抛物线有最大值 B.当时，y随x的增大而增大 C.点A的坐标是，点B的坐标是 D.抛物线的对称轴是直线 【举一反三3】试写出一个开口方向向下，对称轴为，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式      ． 【举一反三4】已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 【举一反三5】如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当-5＜x＜0时，y的取值范围为________． 【题型5】由交点式确定二次函数的解析式 【典型例题】如图，函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知抛物线与坐标轴的交点分别为，，，现将该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，点A在轴上，，将线段绕点顺时针旋转120度至的位置，则经过A、、三点的抛物线的解析式为      ．    【举一反三4】已知二次函数过点，，． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【题型6】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 【典型例题】抛物线与轴交点的个数为（    ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无法判断 【举一反三1】二次函数的图象与坐标轴的交点情况为（    ） A.两个交点 B.一个交点 C.没有交点 D.无法确定 【举一反三2】已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A.无实数根 B.有两个同号不等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个相等实数根 【举一反三3】已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　） A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 【举一反三4】若函数（）的图象与坐标轴有2个公共点，则m的值为        ． 【举一反三5】抛物线与坐标轴的交点个数为      个． 【举一反三6】已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【举一反三7】已知二次函数的图象与坐标轴有且只有个公共点时，则的值为     ． 【题型7】利用二次函数图象与性质求一元二次方程的解 【典型例题】已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【举一反三1】二次函数的图象的对称轴是（    ） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【举一反三2】如图所示的抛物线是二次函数的图象，其对称轴为，过则下列结论：①；②；③方程的两根为，；④，其中正确的结论有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是      ． 【举一反三4】抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为__________（精确到0.1）． 【举一反三5】抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 【题型8】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 【典型例题】在二次函数图象上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（    ） A.或 B. C.或 D. 【举一反三2】二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（　　） A.x＜0或x＞2 B.0＜x＜2 C.x＜﹣1或x＞3 D.﹣1＜x＜3 【举一反三3】若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为      ． 【举一反三4】如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【举一反三5】阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 【题型9】二次函数与一次函数综合 【典型例题】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是(　　) A.或 B.或 C. D. 【举一反三1】下列图象中，当时，函数与的图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是（   ）    A.   B.   C.   D.   【举一反三3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】二次函数，若，则自变量的取值范围是（    ） A.或 B.或 C. D. 【举一反三5】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第_______象限． 【举一反三6】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是              【举一反三7】如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是      ． 【举一反三8】直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为      ． 【题型10】二次函数与反比例函数综合 【典型例题】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A.   B.   C.   D.   【举一反三2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A.   B.   C.   D.   【举一反三4】反比例函数与二次函数的图象的交点个数为       ． 【举一反三5】已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为       ；不等式的解集是        ． 【举一反三6】方程的实根的个数为        个． 【举一反三7】如图，双曲线与抛物线交于点P，P点的纵坐标为-1，则关于x的方程的解是     ． 【题型11】二次函数与几何综合中的存在性问题 【典型例题】已知二次函数，若存在，使得与时函数值相等，则当时，函数值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等点”．已知一个二次函数的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为         ． 【举一反三3】如图，顶点为的抛物线的图象与直线交于为，两点，，直线与轴交于点，点的纵坐标为3．    (1)求抛物线和直线解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在二次函数图象上是否存在点，使，若存在直接写出点的坐标，不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3二次函数的性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数的最值 5 【题型2】二次函数的增减性 8 【题型3】由一般式确定二次函数的解析式 12 【题型4】由顶点式确定二次函数的解析式 14 【题型5】由交点式确定二次函数的解析式 17 【题型6】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 21 【题型7】利用二次函数图象与性质求一元二次方程的解 24 【题型8】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 27 【题型9】二次函数与一次函数综合 31 【题型10】二次函数与反比例函数综合 37 【题型11】二次函数与几何综合中的存在性问题 43 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M（m-4，p），N（m,p），Q（6，q）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x=t.若p＜q＜c,则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=t.得出（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2，进而根据a＞0，p＜q＜c,得出2＜|6-t|＜t,即可求解． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x=t. ∴， 由条件可知距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵（0，c）到x=t的距离为|t|，M（m-4，p），N（m,p）到x=t的距离为2， ∴2＜|6-t|＜|t|， 解得：3＜t＜4或t＞8， 故选：B． 2.（2025•西安二模）已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=-2，再根据当x＜-3时，y随x的增大而减小，得a＞0，再根据抛物线的增减性得当x=-1时，y=-1，代入抛物线解析式求值即可． 【解答】解：y=ax2+4ax-a2+3=a（x+2）2-4a-a2+3， ∴二次函数y=ax2+4ax-a2+3的对称轴为直线x=-2， ∵当x＜-3时，y随x的增大而减小， ∴a＞0， ∵当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大， ∴当x=-1时，y=-1， ∴a-4a-a2+3=-1， 解得a=1或a=-4（舍去）， 即a的值为1． 故选：D． 【知识点2】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2024秋•岑溪市期末）二次函数y=（x-1）2-3的最小值是（　　） A．-3 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数y=（x-1）2-3， ∴其图象开口向上，其顶点为（1，-3）． ∴函数的最小值为-3． 故选：A． 【知识点3】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 1.（2024•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，顶点在（-2，1），则关系式为（　　） A．y=（x-2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x+2）2+1 D．y=-（x+2）2+1 【答案】C 【分析】抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h,k）．据此作答． 【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，所以a=． 顶点在（-2，1），所以是y=（x+2）2+1． 故选：C． 【知识点4】二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式：    ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；    ②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；   ③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋•蓬江区校级月考）把二次函数y=x2-2x+4化为y=a（x-h）2形式，下列变形正确的是（　　） A．y=（x-1）2+3 B．y=（x-2）2+3 C．y=（x-1）2+5 D．y=（x+1）2+3 【答案】A 【分析】把解析式化为顶点式即可． 【解答】解：y=x2-2x+4=（x-1）2+3， 故选：A． 2.（2024秋•海勃湾区期末）用配方法将y=x2+x-1写成y=a（x-h）2+k的形式是（　　） A．y=（x+1）2-1 B．y=（x-1）2-1 C．y=（x+1）2-3 D．y=（x+1）2- 【答案】D 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y=x2+x-1=（x2+2x+1）--1=（x+1）2- 故选：D． 【题型1】二次函数的最值 【典型例题】二次函数的最大值是10，那么a的值等于（　　） A. B.1 C.3 D.4 【答案】B 【解析】二次函数的开口向下， 则当时，取得最大值，最大值为， ∵二次函数的最大值是10， ， 解得， 故选：B． 【举一反三1】已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A.函数有最小值1，有最大值3 B.函数有最小值，有最大值0 C.函数有最小值，有最大值3 D.函数有最小值，无最大值 【答案】C 【解析】由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3． 故选C． 【举一反三2】已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）      A.有最大值2，有最小值 B.有最大值2，有最小值1.5 C.有最大值1.5，有最小值 D.有最大值2，无最小值 【答案】A 【解析】观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点， ∴函数有最大值2和最小值， 故选：A. 【举一反三3】已知二次函数，当时，函数y的最大值为（    ） A.1 B.3 C.9 D.19 【答案】D 【解析】由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，函数图象开口向上， 又， ∴当时，函数有最大值，此时， 故选：D. 【举一反三4】关于二次函数的图象，下列说法不正确是（    ） A.经过原点 B.顶点在轴上 C.对称轴是直线 D.有最小值 【答案】B 【解析】令，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项B不正确，符合题意； ∵函数图象开口向上， ∴最小值是，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三5】已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是     ． 【答案】向下 【解析】∵抛物线有最大值， ∴抛物线的其他值都是小于， ∴抛物线开口向下， 故答案为：向下． 【举一反三6】当二次函数取最小值时，的值为                ，最小值为                    ． 【答案】；5 【解析】∵，抛物线开口向上， ∴当时，抛物线有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【举一反三7】当二次函数取最小值时，的值为                ，最小值为                    ． 【答案】；5 【解析】∵，抛物线开口向上， ∴当时，抛物线有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【举一反三8】抛物线有最             （大、小）值． 【答案】大 【解析】抛物线中， ， 抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值． 故答案为：大． 【题型2】二次函数的增减性 【典型例题】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A.函数图象的对称轴是直线 B.函数的有最小值，最小值为 C.点在函数图象上，当时， D.函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确， 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 【举一反三1】对于二次函数，下列描述：①开口向上；②与y轴交于点；③当时，y随x的增大而增大；④当时，函数y有最小值．其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】二次函数， ， 抛物线开口向上，故①说法正确； ，代入，得：， 与y轴交于点，②说法正确； 对称轴：直线，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大，③说法错误； ，，抛物线开口向上， ④说法正确； 综上，①②④说法正确． 故答案选C． 【举一反三2】如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A. B. C.点的坐标为 D.当时，的值随值的增大而增大 【答案】B 【解析】图象开口向下， ， 故A项错误，不符合题意； 对称轴是直线，在轴右侧， ， 故B项正确，符合题意； 二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线， 由对称性可知，点的坐标为， 故C项错误，不符合题意； 由图象可知，当时，的值随值的增大而增大， 时，的值随值的增大而减小， 故D项错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三3】由二次函数可知（    ） A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 C.其顶点坐标为 D.当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】∵该二次函数解析式为， ∴，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴该二次函数图象的开口向上；当时，随的增大而减小． 故选项A、C、D错误，B正确． 故选B． 【举一反三4】关于二次函数，下列说法正确的是 （    ） A.函数图象开口向下 B.函数图象的顶点坐标为 C.该函数有最大值，最大值为3 D.当，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】A、由题知，因为二次函数的表达式为， ∴函数图象开口向上，故A不符合题意； B、函数图象的顶点坐标是，故 B不符合题意； C、∵函数图象开口向上， ∴函数有最小值，故C不符合题意； D、∵抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当，y随x的增大而增大，故D符合题意． 故选：． 【举一反三5】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是        ． 【答案】 【解析】二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 【举一反三6】函数的图象，当时，y的值随x的值增大而      ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】∵， ∴抛物线开口向下， ∴，即对称轴的右边，y随x的增大减小， 故答案为：减小． 【举一反三7】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】， 当时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大， ， 可取； 故答案：（答案不唯一）． 【举一反三8】当，函数的最小值为0，则的取值范围为      ． 【答案】m≥1 【解析】∵二次函数， ∴当时，y有最小值，且最小值为0， ∵当时，函数的最小值为0， ， 故答案为：m≥1． 【题型3】由一般式确定二次函数的解析式 【典型例题】抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】抛物线与轴的交点坐标为， 将代入，得， 抛物线的表达式为， 故选：． 【举一反三1】有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 【举一反三2】如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点．已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为      ． 【答案】 【解析】根据题意得：二次函数过点，， ， ， ， 又， ， 当时，最小，为， 当时，最大，为， ， 故答案为：． 【举一反三3】已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式． 【答案】解：由题意得， 解得． 所以这个抛物线的表达式为． 【题型4】由顶点式确定二次函数的解析式 【典型例题】已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（　　） A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.6 【答案】B 【解析】∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，c）， ∴c＝16+4b+c， ∴b＝-4． ∴， ∵最小值是﹣6， ∴-4+c=-6， ∴c=-2， 故选：B． 【举一反三1】一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 故选：B． 【举一反三2】已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： 下列结论正确的是（    ） A.此抛物线有最大值 B.当时，y随x的增大而增大 C.点A的坐标是，点B的坐标是 D.抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【解析】当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线， 故D选项错误，不符合题意； ， ∴， 把代入得， 解得：， 抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故A选项错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 【举一反三3】试写出一个开口方向向下，对称轴为，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵抛物线的开口方向向下，对称轴为， ∴设，把，代入，得：， 解得：， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三4】已知二次函数的图象以为顶点，且过点， (1)求该函数的关系式； (2)若点，点在该函数图象上，求和的值． 【答案】解：（1）设抛物线解析式为：，把的坐标代入得： ，解得：， 该函数的关系式为：. （2）点在函数的图象上， ； 点在函数的图象上， , 解得，，, ∴或． 【举一反三5】如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当-5＜x＜0时，y的取值范围为________． 【答案】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得， 解得：， ． （2）当时，；当时，； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， . 故答案为：. 【题型5】由交点式确定二次函数的解析式 【典型例题】如图，函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵抛物线与x轴交于点，， 设该抛物线的表达式为． ∵与y轴交于点，代入得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为， 故选：B． 【举一反三2】已知抛物线与坐标轴的交点分别为，，，现将该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵抛物线与坐标轴的交点分别为，， ， 将点（0，3）代入上式，得， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：， 将抛物线化为顶式：， 该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后为：，即：， 故选：D． 【举一反三3】如图，点A在轴上，，将线段绕点顺时针旋转120度至的位置，则经过A、、三点的抛物线的解析式为      ．    【答案】 【解析】如图所示，过点B作轴于D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴-， ∵， ∴， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：．    【举一反三4】已知二次函数过点，，． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）y=x2-x-2, ， 有最小值， 当时，的最小值为． 【题型6】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 【典型例题】抛物线与轴交点的个数为（    ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无法判断 【答案】C 【解析】∵， ∴抛物线与轴交点的个数为2个． 故选C． 【举一反三1】二次函数的图象与坐标轴的交点情况为（    ） A.两个交点 B.一个交点 C.没有交点 D.无法确定 【答案】A 【解析】， 图象与轴有1个交点， 当时，， 函数图象与轴有一个交点， 二次函数与坐标轴有2个交点． 故选：A． 【举一反三2】已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A.无实数根 B.有两个同号不等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个相等实数根 【答案】C 【解析】由图象可知， 关于x的方程的根的判别式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之和为，两根之积为， ∴两根异号， 故选：C． 【举一反三3】已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　） A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 【答案】D 【解析】由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0， 即， 解得， 综上，，且， 故选：D． 【举一反三4】若函数（）的图象与坐标轴有2个公共点，则m的值为        ． 【答案】或 【解析】∵函数的图象与坐标轴有2个公共点，且它与y轴交于点，∴它与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或, 故答案为：或. 【举一反三5】抛物线与坐标轴的交点个数为      个． 【答案】1 【解析】当时，，则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程无解，即抛物线与轴没有交点． 综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是1个． 故答案为：1． 【举一反三6】已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】 【解析】∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：， 故答案为：. 【举一反三7】已知二次函数的图象与坐标轴有且只有个公共点时，则的值为     ． 【答案】或或 【解析】()当二次函数与轴只有个交点(与轴交于另一点)时， ， 即， 解得或； ()当二次函数与轴只有个交点时， ∵二次函数与坐标轴有且只有个交点，其中一个交点是原点(即此点是与，轴共同的交点)， ∴， 综上，或或. 【题型7】利用二次函数图象与性质求一元二次方程的解 【典型例题】已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（   ） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】C 【解析】∵二次函数的图象上有两点A（，2023）和B（，2023）， ∴、是方程的两个根， ∴， ∴当时，有：， 故选C． 【举一反三1】二次函数的图象的对称轴是（    ） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【答案】C 【解析】， 令，即， 解得：, 函数图象与轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：C． 【举一反三2】如图所示的抛物线是二次函数的图象，其对称轴为，过则下列结论：①；②；③方程的两根为，；④，其中正确的结论有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，故①不符合题意，②符合题意； ∵二次函数过，对称轴为直线， ∴二次函数与x轴另一个交点的坐标为， ∴方程的两根为，；故③符合题意； 把代入函数解析式得：， ∴由函数图象可得：，即，故④符合题意； 综上所述：符合题意的有②③④三个； 故选：C． 【举一反三3】抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是      ． 【答案】 【解析】根据图象可知，抛物线与的交点是，对称轴为， 根据对称性，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 【举一反三4】抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为__________（精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【解析】∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为：或1.7. 【举一反三5】抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 【答案】解：（1）中， ， ，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ，， 解得：，， 抛物线的表达式为：； （2），，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， 当时，则， ， ， ， 解得：，； （3），，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， ， ， ． 【题型8】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 【典型例题】在二次函数图象上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将、代入二次函数， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三1】二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（    ） A.或 B. C.或 D. 【答案】A 【解析】∵函数， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线， ∵图象经过点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴在x轴上方部分，， ∴或． 故选A． 【举一反三2】二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（　　） A.x＜0或x＞2 B.0＜x＜2 C.x＜﹣1或x＞3 D.﹣1＜x＜3 【答案】D 【解析】从表格可以看出，当x=﹣1或3时，y=0； 因此当﹣1＜x＜3时，y＜0． 故选D． 【举一反三3】若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为      ． 【答案】或 【解析】由函数图象可知，二次函数与轴的交点坐标的横坐标为和, 函数的图象与轴的交点横坐标为，， 由函数图象可知，二次函数，当或时，函数图象在轴的下方， 二次函数，当或时，函数图象在轴的下方， 不等式的解集为或． 故答案为：或． 【举一反三4】如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】解：（1）把和代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （2）如图： 点关于对称轴直线的对称点，点关于对称轴直线的对称点， 由图象可得，当时，的范围是或. 【举一反三5】阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 【答案】解：（1）方程的两根为，， 画出的图象如图所示， ∴的解集为； （2）小丽的方法运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D． （3）, 解得：， 画出函数图象如图所示， ∴的解集为． 【题型9】二次函数与一次函数综合 【典型例题】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是(　　) A.或 B.或 C. D. 【答案】D 【解析】∵抛物线与直线交于， 图象如图所示，直线：，则, ∴当时，， ∴关于的不等式的解集为， 故选：D． 【举一反三1】下列图象中，当时，函数与的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A. 直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的； B. 抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的； C. 根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的； D. 根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的； 故选：D. 【举一反三2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是（   ）    A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】由二次函数图象可知，，，，则， 则的函数图象经过第一、三象限， 的函数图象经过第一、二、四象限， 即两个函数图象都要经过第一象限，而B选项只有一个经过，则B选项不可能是两个函数的图象， 故选：B． 【举一反三3】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， 又∵当时，， ∴二次函数的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在轴左侧． 故选：A． 【举一反三4】二次函数，若，则自变量的取值范围是（    ） A.或 B.或 C. D. 【答案】A 【解析】把代入得：， 解得：， ∵该二次函数的开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是或； 故选A． 【举一反三5】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第_______象限． 【答案】四 【解析】由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 【举一反三6】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是              【答案】 【解析】观察图象可知当，时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 【举一反三7】如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是      ． 【答案】且 【解析】当时，两直线和只有一个交点， 当时，， 由题意得，方程有两个不同的实数根， ， 解得：． 故答案为：且． 【举一反三8】直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为      ． 【答案】x=- 【解析】如图可知，当时，，得, 当时，, ①当时，,②当且, ②-①得, ∴, ∴, 由二次函数的性质可知，其对称轴为直线, 故答案为：直线. 【题型10】二次函数与反比例函数综合 【典型例题】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵二次函数图象开口方向向下， ∵对称轴为直线， ∵与轴的正半轴相交， ∴的图象经过第二三四象限， 当时，， ∴反比例函数的图象在第二四象限，只有C选项图象符合． 故选：C． 【举一反三1】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】∵二次函数的图象与轴的正半轴相交， ∴， ∵二次函数的对称轴在轴的右侧， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， 二次函数的图象经过原点，且开口向上，对称轴，在轴的左侧， 故选：． 【举一反三2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，开口向上，顶点在原点；经过一、三象限； 当时，开口向下，顶点在原点；经过二、四象限； 故在同一平面直角坐标系中的图象大致是D． 故选：D． 【举一反三3】已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】∵二次函数的图象与轴的正半轴相交， ∴， ∵二次函数的对称轴在轴的右侧， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， 二次函数的图象经过原点，且开口向上，对称轴，在轴的左侧， 故选：． 【举一反三4】反比例函数与二次函数的图象的交点个数为       ． 【答案】3个 【解析】，画出图象如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 【举一反三5】已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为       ；不等式的解集是        ． 【答案】；或 【解析】∵反比例函数的图象在过点（1，-2）, ∴k=1×（-2）=-2； ∵当或时，抛物线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故答案是：2；或． 【举一反三6】方程的实根的个数为        个． 【答案】 【解析】由图可知，函数y=与y=只有一个交点， 所以，的实根的个数为1个. 故答案为1. 【举一反三7】如图，双曲线与抛物线交于点P，P点的纵坐标为-1，则关于x的方程的解是     ． 【答案】 【解析】∵P的纵坐标为－1， ∴， ∴， ∵可化为关于x的方程的形式， ∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值， ∴． 故答案为． 【题型11】二次函数与几何综合中的存在性问题 【典型例题】已知二次函数，若存在，使得与时函数值相等，则当时，函数值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据与时函数值相等，得出， ， ， 将代入中，得， 故选D. 【举一反三1】新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图，    联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选：B． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等点”．已知一个二次函数的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为         ． 【答案】 【解析】设这两个“对等点”的坐标为和， 代入得， 两式相减得， 解得， 故答案为：． 【举一反三3】如图，顶点为的抛物线的图象与直线交于为，两点，，直线与轴交于点，点的纵坐标为3．    (1)求抛物线和直线解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在二次函数图象上是否存在点，使，若存在直接写出点的坐标，不存在请说明理由． 【答案】解：（1）∵顶点为的抛物线的图象与直线交于为，两点， ∴将代入，得， 解得， ∴； ∵点的纵坐标为3, ∴将代入，得, 解得, ∴, ∴将，，代入得， ，解得, ∴； （2）将代入得，, ∴, ∵，, ∴，，， ∴, ∴, ∴是直角三角形； （3）∵，，, ∴, ∵, ∴, ∴当点D和点B重合时，， ∴此时点D的坐标为； 过点B作交抛物线于点， ∴设直线得解析式为, 将代入得，, 解得, ∴, ∴联立直线和抛物线得，，整理得, 解得，, ∵, ∴将代入，得, ∴， 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $