1.3.2用完全平方公式进行因式分解 教学设计2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦完全平方公式因式分解，通过图形拼接情境导入，引导学生用4个图形拼成正方形并计算面积，直观理解公式几何意义。衔接前序提公因式法、平方差公式，为后续分式、二次根式学习奠基，构建知识支架。 以几何直观（数学眼光）、推理归纳（数学思维）、分层应用（数学语言）为特色，情境导入助学生抽象公式结构，新知探究通过议一议归纳“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”特征，例题中整体代换（如x+y作整体）培养代数变形能力。星级自评与必做、提升、拓展分层作业，提升学生逆向思维，为教师提供清晰流程与评价工具，增强教学实效。

《用完全平方公式进行因式分解》教学设计 一、第1课时 二、教学内容分析 单元知识结构框架 《1.3.1 公式法——完全平方公式》是湘教版版八年级上册第1章《因式分解》的第三节第二课时的内容，是学习平方差公式因式分解的基础上进一步学习因式分解，运用完全平方公式因式分解不仅是现阶段的学习重点，也为以后学习分式的通分和约分, 二次根式的计算与化简，以及解方程都奠定了基础. 3、 学情分析 学生在学习本节内容之前，已经掌握了因式分解的基本概念、提公因式法以及平方差公式，对因式分解的基本步骤有一定的了解.然而，完全平方公式作为一种新的因式分解方法，学生可能会在以下方面遇到困难：一是对完全平方公式的结构特征理解不够深刻，无法准确识别哪些多项式可以使用完全平方公式进行因式分解；二是对公式中的字母x和y的含义理解不够透彻，容易在实际应用中混淆；三是部分学生可能对公式的推导过程缺乏兴趣，导致对公式记忆不牢固.此外，完全平方公式的形式相对复杂，学生在实际应用中容易出现符号错误或因式不完整的情况.因此，教师需要通过具体的实例和练习，引导学生逐步理解完全平方公式的结构特征和应用方法，帮助他们克服学习中的困难. 四、教学目标 1.会用完全平方公式对多项式进行因式分解； 2.经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想； 3.培养学生的逆向思维能力. 5、 教学重点、难点 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式.. 6、 教法与学法 教法：根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系. 学法：让学生经历观察、计算、比较、探讨等过程，增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高他们各方面的能力. 7、 评价设计 学生根据自己的学习情况，点亮属于自己的小星星. 能力对标 目标对照 具体评价 评价星级 学习理解 完全平方公式 定义 ☆☆☆☆☆ 特征 ☆☆☆☆☆ 辨析 ☆☆☆☆☆ 实践应用 识别平方差公式的结构特征 步骤 ☆☆☆☆☆ 正确率 ☆☆☆☆☆ 规范度 ☆☆☆☆☆ 实践应用 利用完全平方公式进行因式分解 基础题 ☆☆☆☆☆ 变式题 ☆☆☆☆☆ 综合题 ☆☆☆☆☆ 创新迁移 思维提升 本节课学习是否提升你的代数变形意识 ☆☆☆☆☆ 八、教学流程 九、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 情境导入 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 【预设】 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab＋b2 = (a+b)2 学生根据已学知识回答. 通过实际情境，帮助学生更好地理解完全平方公式. 5min 新知探究 【说一说】： 请说出完全平方公式. 完全平方公式1：（x + y）2 = x2 + 2xy + y2， 完全平方公式2：（x - y）2 = x2 - 2xy + y2. 上述公式中的 x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入. 例如，在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式 （x + 2）2 = x2 + 4x + 4. 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2 + 4x + 4因式分解： x2 + 4x + 4 =（x + 2）2. 【议一议】： 与同学交流，具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式？ 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两项是两数的平方和，一项为这两数乘积的2倍； 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 例5 把多项式9x2 - 6x + 1因式分解. 分析：由于9x2 =（3x）2，1 = 12，2⋅3x⋅1 = 6x，因此9x2 - 6x + 1符合完全平方公式 2右边的形式，于是把这个公式从右到左使用，就可把 9x2 - 6x +1因式分解. 解:9x2 - 6x + 1 =（3x）2 - 2⋅3x⋅1 + 12 =（3x - 1）2. 例6 把下列多项式因式分解： （1）-4x2 + 12xy - 9y2； （2） x5 + 2x3 y + xy2. 解：（1） -4x2 + 12xy - 9y2 =-（4x2 - 12xy + 9y2） =-［（2x）2 - 2⋅2x⋅3y +（3y）2］ =-（2x - 3y）2 （2） x5 + 2x3 y + xy2 = x（x4 + 2x2 y + y2） = x［（x2）2 + 2 ⋅x2 ⋅y + y2］ = x（x2 + y）2 例7 把多项式x4 - 2x2 + 1因式分解. 解:x4 - 2x2 + 1 =（x2）2 - 2⋅x2⋅1 + 12 =（x2 - 1）2 =［（x + 1）（x - 1）］2 =（x + 1）2（x - 1）2 【做一做】： 可以利用完全平方公式把多项式（x + y）2 - 4（x + y）+ 4因式分解吗？试一试. 解：将x + y看作一个整体，则 （x + y）2 - 4（x + y）+ 4 =（x + y）2 - 2 ⋅（x + y）⋅ 2 + 22 =（x + y - 2）2 【归纳】 1)利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式； ①先找某两数平方和 ②再验证两数积的2倍 ③利用完全平方公式分解因式 2)因式分解的步骤： 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 学生根据已学知识回答. 学生在教师的引导下总结. 学生根据完全平方公式的特点进行因式分解. 学生合作思考回答，说出先提公因式，再用公式计算. 学生讨论尝试解答. 通过问题，引导学生独立思考，引出新知识点. 培养学生的观察能力，总结归纳能力.学习运用完全平方公式进行因式分解的条件——完全平方式的特点. 通过例题，展示如何应用完全平方公式进行因式分解. 帮助学生综合掌握提公因式法和运用完全平方公式因式分解，提高学生的计算能力. 让学生用整体思维的方式解决问题. 20min 课堂练习 【练习】把下列多项式因式分解: （1）x2+14x+49； （2）25x2+20xy+4y2； 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由. （1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25； 解：(1)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点. (2)不能用， x2 与-25不同号. 2.把下列多项式因式分解： （1） -x2 + 14xy-49y2;（2） 3x4 + 6x3 y + 3x2 y2. 学生利用已学知识解答，小组交流讨论，派代表展示答案. 通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识. 10min 课堂小结 学生回顾总结本节知识点，教师系统归纳. 帮助学生归纳总结，巩固所学知识. 3min 课后作业 必做题：把下列多项式因式分解： (1) x2+14x+49;(2) 25x2+20xy+4y2； (3)－x2+14xy－49y2 ;(4) x4－2x3+x2. 提升题:1.(1) 已知a－b＝3，求 a(a－2b)+b2的值； (2) 已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值. 2.已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值. 拓展题:当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？ 2min 十、板书设计 十一、作业设计 必做题：把下列多项式因式分解： (1) x2+14x+49;(2) 25x2+20xy+4y2； (3)－x2+14xy－49y2 ;(4) x4－2x3+x2. 提升题:1.(1) 已知a－b＝3，求 a(a－2b)+b2的值； (2) 已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值. 2.已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值. 拓展题:当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？ 十二、教学反思和改进 反思：在练习中，部分学生仍然存在一些问题：一是对公式中字母x和y的含义理解不够透彻，导致在实际应用中混淆；二是对于一些需要先提取公因式再使用完全平方公式的情况，学生难以掌握正确的解题顺序；三是学生在因式分解过程中容易忽略中间项2xy的存在，导致因式分解错误. 改进：针对这些问题，我在后续教学中增加了更多的练习，特别是对于复杂多项式的因式分解，通过专项练习帮助学生逐步克服困难.同时，我还通过对比分析和总结，帮助学生理解完全平方公式与整式乘法的关系，进一步巩固他们的知识体系.通过本节课的学习，学生对完全平方公式有了更深入的理解，但在实际应用中仍然需要进一步巩固和练习，以提高他们的因式分解能力. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $