1.3.1 利用平方差公式进行因式分解-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(湘教版2024)

课题 第1章 1.3 公式法 第1课时 利用平方差公式进行因式分解 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 使学生掌握用平方差公式分解因式. 2.过程与方法目标 让学生在分解因式的过程中理解多项式中如果有公因式要先提公因式. 3.情感、态度和价值观目标 通过一定量的训练，深入理解因式分解的意义并能熟练化简代数式. 教学重难点 重点： 理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点. 难点： 掌握运用平方差公式分解因式的方法能正确运用平方差公式把多项式分解因式. 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 (一)类比探究： 1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 从左边到右边的这个过程叫___________. 2.反过来，a2-b2=(a+b)(a-b)， 从左边到右边的这个过程叫___________. 因此，a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式. （二）新知探索：如何把x2-25进行因式分解？ 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b). 因此 x2-25=x2-52=(x+5)(x-5). 像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法. 二、讲授新课 1．用平方差分解因式 （1）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为5x，字母b改为2y得到什么样的多项式？怎样把25x2-4y2分解因式？ 例1 把多项式25x2-4y2因式分解. 分析 由25x2=(5x)2，4y2=(2y)2可知，25x2-4y2=(5x)2-(2y)2，于是从右到左使用平方差公式，就可以把25x2-4y2因式分解. 解 25x2-4y2=(5x)2-(2y)2=(5x+2y)(5x-2y). （2）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x+y，字母b改为x-y得到什么样的多项式?怎样把多项式(x+y)2-(x-y)2分解因式？ 做一做：把多项式(x+y)2-(x-y)2因式分解. 由平方差公式得 [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=(x+y)2-(x-y)2. 于是(x+y)2-(x-y)2=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x·2y=4xy. 议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式因式分解. （3）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x2，字母b改为y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x4-y4？ 2.综合运用平方差公式和提公因式法分解因式 例2 把多项式x4-y4因式分解. 解 x4-y4=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). （4）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x5，字母b改为x3y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x5-x3y2？ 例3 把多项式x5-x3y2因式分解. 分析 多项式x5-x3y2的各项有公因式x3，故应先提出公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解 x5-x3y2=x3(x2-y2)=x3(x+y)(x-y). （5）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x4，字母b改为9得到什么样的多项式?怎样把多项式x4-9分解因式？ 3．有理数范围和实数范围内分解因式. 例4 把多项式x4-9因式分解. 估计学生会有两种想法： 一是：=， 二是：= 这两种解法有什么区别？ 前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数.我们把前面的因式分解叫在有理数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式. 如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行. 解 x4-9=(x2)2-32 =(x2+3)(x2-3) =(x2+3)[x+()2] =(x2+3)(x+)(x-). 注意：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 4．模仿练习 请你把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式.通过这样的训练，你会多用平方差公式分解因式更加熟练，一定要重视哟！ 做一做：用简便方法计算： (1)6.12-3.92; (2)0.122-0.882. 5．平方差公式的识别 下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？ （1）-a2+b2， （2）a2-(-b)2. （3）-a2+(-b)2 师：一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？ 6．应用迁移，巩固提高 例 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5 m，内圆半径r=24.5 m，求需要的塑胶总面积.（π取3.14，结果精确到0.1） 三、课堂小结 用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合，什么式子相当于公式中的字母a，什么式子相当于公式中的字母b. 四、板书设计 1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b). 2．能用平方差公式分解因式的多项式特点： 能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 教学设计反思 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底. 学科网（北京）股份有限公司 $$