精品解析：贵州省六盘水市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

秘密★启用前 六盘水市2025-2026学年度第一学期期中考试试题卷 九年级 数学 （第一章至第四章第2节） 温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回； 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”； 3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各线段的长度成比例的是（ ） A 2、5、6、8 B. 1、2、3、4 C. 3、6、7、9 D. 3、6、9、18 3. 如图①是一封请柬，图②是其示意图，若在矩形中，对角线相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 7. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小亮获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者．此游戏中，获胜概率最大的是（　　） A. 小聪 B. 小明 C. 小亮 D. 一样大 10. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形． ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（ ） A ※可以代表 B. ◎可以代表 C. ▲可以代表 D. 可以代表 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是________．（写出一个即可） 14. 如图，，，，，，则线段长为____． 15. 学完《概率的进一步认识》后，圆圆和同桌做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有6个红球，4个黄球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 16. 如图，在矩形中，，点分别在边上，且，连接，将矩形分别沿折叠，点B的对应点为，点D的对应点为，连接，当与矩形的边平行时，的长为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求长． （2）如果，求的长． 19. 如图，在四边形中，，． （1）利用尺规作的平分线，交边于点E，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 21. 《声律启蒙·一东》中有这样一段话：“……晚照对晴空．来鸿对去燕，宿鸟对鸣虫．”小亮和小丽分别准备了3张不透明的卡片，小亮在自己的3张卡片正面分别写上“晚照”“来鸿”“宿鸟”，小丽在自己的3张卡片正面分别写上“晴空”“去燕”“鸣虫”．卡片除正面所写内容不同外，其余均相同，他们分别将自己的3张卡片背面朝上，洗匀后放到桌面上． （1）小亮从小丽的3张卡片中随机抽取一张，则抽中的卡片是“晴空”的概率为________； （2）小亮和小丽同时随机从对方卡片中抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两张卡片恰好可以组成题干中对子的概率． 22. 阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 23. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 24. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 25. 综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 六盘水市2025-2026学年度第一学期期中考试试题卷 九年级 数学 （第一章至第四章第2节） 温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回； 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”； 3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键． 2. 下列各线段的长度成比例的是（ ） A. 2、5、6、8 B. 1、2、3、4 C. 3、6、7、9 D. 3、6、9、18 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此进行判断即可． 【详解】解：A、2×8≠5×6，故本选项错误； B、1×4≠2×3，故本选项错误； C、3×9≠6×7，故本选项错误； D、3×18=6×9，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 3. 如图①是一封请柬，图②是其示意图，若在矩形中，对角线相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了“矩形的性质”“三角形外角的性质”，熟练掌握矩形对角线的关系是解题关键． 根据矩形的性质，得到，再通过三角形外角的性质和等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴． ∵是的外角， ∴． ∴．   故选： A． 4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，同时转动两个转盘一次，可能出现的结果为（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（白，黄），（白，蓝），（白，绿），共6种等可能的结果，其中配成紫色的结果只有（红，蓝）1种， ∴； 故选A． 5. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 6. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 7. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，，   故选：A ． 9. 小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小亮获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者．此游戏中，获胜概率最大的是（　　） A. 小聪 B. 小明 C. 小亮 D. 一样大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小亮获胜的结果数、小聪获胜的结果数、小明获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小亮获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小聪获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小明获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种，， ∴小亮获胜的概率为，小聪获胜的概率为，小明获胜的概率为． ∴小亮、小明、小聪获胜的概率一样大， 故选：D． 10. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形． ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（ ） A. ※可以代表 B. ◎可以代表 C. ▲可以代表 D. 可以代表 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键. 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意； 故选：D。 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 12. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案． 【详解】解，设与相交于点O，与相交于点． ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长需要缩短． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．根据非负数的性质可得当时，一元二次方程有实数根，于是只要使c的值为负数即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 如图，，，，，，则线段长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据可得，求出，再根据可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握一组平行线被两条直线所截的线段成比例． 15. 学完《概率的进一步认识》后，圆圆和同桌做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有6个红球，4个黄球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 【答案】绿球 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.17，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.17左右，所以抽到该球的概率为0.17， ∵抽到红球的概率为， 抽到黄球的概率为， 抽到绿球的概率为， ∴该种球的颜色最有可能是绿球． 故答案为：绿球． 16. 如图，在矩形中，，点分别在边上，且，连接，将矩形分别沿折叠，点B对应点为，点D的对应点为，连接，当与矩形的边平行时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：①当时，如图1，过点作于G，过点作于H，延长交于N，延长交于M， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 同理：，， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得：； ②当时，如图2，过点作于N，过点作于P，延长交于M， 由①知， ∴， 由折叠可得，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得：， 综上，长为或， 故答案：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法与因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式法，将对应的值代入求解即可； （2）先移项，再提取公因式，求解即可． 【小问1详解】 解：原方程移项得， 即， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ． 18. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求的长． （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在四边形中，，． （1）利用尺规作的平分线，交边于点E，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定， （1）根据尺规作图：角的平分线的基本作法作出图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论， 熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：在与中， , ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为菱形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）分：三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． 21. 《声律启蒙·一东》中有这样一段话：“……晚照对晴空．来鸿对去燕，宿鸟对鸣虫．”小亮和小丽分别准备了3张不透明的卡片，小亮在自己的3张卡片正面分别写上“晚照”“来鸿”“宿鸟”，小丽在自己的3张卡片正面分别写上“晴空”“去燕”“鸣虫”．卡片除正面所写内容不同外，其余均相同，他们分别将自己的3张卡片背面朝上，洗匀后放到桌面上． （1）小亮从小丽的3张卡片中随机抽取一张，则抽中的卡片是“晴空”的概率为________； （2）小亮和小丽同时随机从对方卡片中抽取一张，请用列表或画树状图方法求两张卡片恰好可以组成题干中对子的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据小丽在自己的3张卡片正面分别写上“晴空”“去燕”“鸣虫”，则利用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先运用列表法表示出所有的可能的结果，再分析得出共有9种等可能的结果，其中可以组成题干中对子的结果有3种，然后列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵小丽在自己的3张卡片正面分别写上“晴空”“去燕”“鸣虫”． ∴小亮从小丽的3张卡片中随机抽取一张，则抽中的卡片是“晴空”的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 小亮 小丽 晚照 来鸿 宿鸟 清空 （晚照，清空） （来鸿，清空） （宿鸟，清空） 去燕 （晚照，去燕） （来鸿，去燕） （宿鸟，去燕） 鸣虫 （晚照，鸣虫） （来鸿，鸣虫） （宿鸟，鸣虫） 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中可以组成题干中对子的结果有3种， ∴两张卡片恰好可以组成题干中对子的概率． 22. 阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程： （1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，即可求得答案； （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，即可求得答案． 【小问1详解】 设所求方程的根为，则，所以. 把代入已知方程，得，故所求方程为. 【小问2详解】 设所求方程的根为，则， 所以. 把代入方程． 得 去分母，得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 23. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【小问1详解】 证明：点D是的中点， ． 在和中， ， ， ， 同理可得． ． 在中， 点分别为边上的中点， ， ， ． ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ． ， ． ， ． 24. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 【答案】（1）降价8元，则每天销售智能摆件的利润为1152元；（2）希望每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件智能摆件的销售价应该定为75元；（3）每天不能获得1200元的利润，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件智能摆件降价元，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售智能摆件的利润为元； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠力度最大， ∴， ∴每件智能摆件的销售价应该定为元； （3）不能，理由如下： 设每件智能摆件降价元， ∵为了保证每件智能摆件的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件智能摆件的利润率不低于，小华每天不能获得1200元的利润． 25. 综合与实践 问题情境： 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 数学思考： （1）线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 猜想证明： （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，，进行边的运算，即可作答． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $