精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高三第三次质量检测数学试题

咸阳市实验中学2025-2026学年度高三第三次质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项正确） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A B. C. D. 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 4. 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正实数满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 该函数的解析式为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 10. 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在区间上的最大值和最小值之和为 C. 为的极小值点 D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底） 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C. 函数的曲率恒为1 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13 已知，则__________． 14. 设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知． （1）若，求函数的极值； （2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 16. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 17. 已知函数． （1）求在上的值域， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，当与轴垂直时，． （1）求椭圆的标准方程． （2）过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为． （ⅰ）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ⅱ）若的面积为，求直线的斜率． 19. 已知函数 （1）当时，求函数在点处切线方程； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围； （3）设，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2025-2026学年度高三第三次质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项正确） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解. 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即， 故选：D 3. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 4. 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由图象平移变换得到的解析式，再求其对称中心即可. 【详解】将函数图象上的每一个点都向左平移个单位， 可得， 由可得，，即得，， 故函数的对称中心为 故选：. 5. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先变形，再根据函数的单调性，比较大小. 【详解】因为函数是R上的偶函数，所以， 因为在上单调递增函数，所以，且， 所以， 因为函数是上单调递减， 所以，即. 故选：A 7. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意对参数范围分类讨论，先排除，在时利用导数推出恒成立，再得到恒成立，最后得到，求解的取值范围即可. 【详解】由题意得的定义域为，， 则，， 当时，恒成立，可得在上单调递增，可得在上为正数， 此时不满足恒成立，故排除， 当时，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得， 若恒成立，则恒成立即可，可得， 令，，即求恒成立即可， 而，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得，故恒成立， 得到恒成立，解得， 则的取值范围是，故A正确. 故选：A 8. 若存在正实数满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造同构函数利用的单调性求解参数的最大值. 【详解】正实数满足，则， 所以令，则， 设，，， 易知在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即，又因为， 故，所以， 所以，则，则，令，，， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以故的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 该函数的解析式为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求得，结合三角函数的值域、对称性、单调性求得正确答案. 【详解】由图知值域为，故A正确； 由，得， ，代入得， 又，故B错误； 由，得，，故C错误； 由， 得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在区间上的最大值和最小值之和为 C. 为的极小值点 D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底） 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据导数的几何意义列式求解即可；对于BC：求导，利用导数求极值点和最值，进而分析判断；对于D：整理可得，构建函数，结合函数单调性分析函数零点，即可判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且， 则，解得， 所以，故A错误； 对于选项C：因为，， 令，解得；令，解得； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则为的极小值点，故C正确； 对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可知的最小值，且，即的最大值， 所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确； 对于选项D：令，整理可得， 令， 因为函数与在区间内单调递增， 则在区间内单调递增，且， 所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误. 故选：BC． 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C. 函数的曲率恒为1 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义结合导函数二次求导可得A正确；根据新定义结合导函数二次求导以及偶函数的性质可得B错误；根据新定义结合导函数二次求导可得C正确；根据新定义结合导函数二次求导，再利用换元法结合基本不等式可得D正确. 【详解】对于A，已知，则，， 根据曲率函数，可得 当，时，，，此时， 所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确； 对于B，对于，，， 则，因为，所以为偶函数， 所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B错误； 对于C，，， 则函数的曲率，故C正确； 对于D，，， 则函数的曲率半径，， 依题意，，则，即， 设，，则， 则，则， 整理得， 而，则， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出与展开式中的系数，再求和即可. 【详解】因为为展开式中的系数， 展开式中的系数为， 展开式中的系数， 所以． 故答案为：. 14. 设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，，因为不等式在上恒成立，所以是函数的切线，分别利用切点坐标表示，再求出，构造函数求最小值即得的最小值. 【详解】令函数，， ， 则，故在上单调递增； 因为在上恒成立，即在上恒成立； 故在上图象恒在上方或者只有一个切点； 考虑临界情况，当直线与曲线相切时，可以求解的最值. 设切点为 ，则 ， 由，可得，解得， 故， 令 ，所以； 令则，， 当时， ，则在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 所以，所以的最小值是； 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知． （1）若，求函数极值； （2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值；无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，根据导函数分析函数的单调性确定极值点，即可求函数的极值； （2）问题转化为在上有解，通过参变分离求最值，进而得到的范围． 【小问1详解】 时，定义域为， ，， 令解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在时，函数取得极小值；无极大值. 【小问2详解】 因为存在单调递增区间，所以在上有解. 由，得， ∵，当且仅当时取等号. ∴，即， 所以实数的取值范围是. 16. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 17. 已知函数． （1）求在上的值域， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角公式和辅助角公式化简函数，由的取值范围得到函数在对应区间的值域； （2）由（1）知道函数的取值范围，通过讨论的范围，利用分离常数得到的不等式.通过函数的单调性，得到不等式另一边的范围，由不等式恒成立得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ∴ ∴. 【小问2详解】 由（1）可知，，令，则 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴，∴； 当时，不等式恒成立， 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴， ∴， 综上所诉. 18. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，当与轴垂直时，． （1）求椭圆标准方程． （2）过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为． （ⅰ）证明：点在定直线上，并求出定直线的方程； （ⅱ）若面积为，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上，即可求解， （2）（ⅰ）设出直线的方程，与的方程联立，得到根与系数的关系，根据点斜式写出直线和直线的方程，联立直线和直线的方程，可得，即可求解，（ⅱ）根据三角形面积公式写出面积的表达式，结合韦达定理代入，即可求解. 【小问1详解】 依题意，，点在椭圆上， 得，又，可得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 依题意知直线与坐标轴不垂直，不妨设直线的方程为， 设，，， 由得， 则，， 故． 依题意，的坐标分别为，， 易知直线的斜率均存在，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立与可得 ， 故点在定直线上，且直线的方程为． （ⅱ）依题意，不妨令，在轴上方， 则（的面积减去的面积即所求） ． 令，得，得．（注意前提条件） 根据椭圆的对称性可得， 故若的面积为，则直线的斜率为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程 (为定值),则直线过定点 19. 已知函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围； （3）设，求证． 【答案】（1） （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）将代入后确定切点，再对求导代入确定切线的斜率，设出点斜式后即可得到切线； （2）先把问题转化成在上恒成立，再分离参数，利用基本不等式求参数的取值范围； （3）构造函数，利用（2）的结论，比较函数值的大小即可. 【小问1详解】 当时，，，即切点为. ，. 因此可设点斜式：，整理得， 即函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， . 由题意可得对恒成立， 对恒成立，. 又，当且仅当时取等号， . 【小问3详解】 设，则证即证， 再将两边取对数得，即证. 由（2）可知：当时，在上单调递增， 且， 所以当时，，即成立， 所以原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $