7.2认识证明(第2课时)课件2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“认识证明”，核心内容包括公理、定理及证明的概念，八条基本事实，常用定理的推理与应用。课堂导入通过问题链引发思考，从“如何证实真命题”出发，衔接旧知命题判断方法，引出公理体系必要性，搭建“概念-事实-推理”的学习支架。 其亮点在于以“推理意识”培养为核心，通过“试一试”“练一练”环节引导学生经历“已知-求证-证明”完整过程，如证明“同角余角相等”时规范书写步骤，结合几何直观深化理解。课堂小结结构化梳理证明步骤，随堂检测通过“等角对等边”等实例巩固，助力学生形成严谨思维，也为教师提供清晰教学范例。

第七章 证明 7.2 认识证明(2) 1.理解公理、定理以及证明等概念，了解八条基本事实； 2.掌握对顶角相等、三角形两边之和大于第三边等常用定理； 3.理解证明的一般思路，掌握基本的书写格式，能对推理论证有初步的 认识； 4.在学习证明的过程中，培养严谨的学习习惯和勇于探索、大胆尝试的 意志品质。 学习目标 哦……那可怎么办？ 用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法。 这些方法往往不可靠。 能不能根据已经知道的真命题证实呢？ 那已经知道的真命题又是如何证实的？ 情境引入 我们知道举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前3世纪)的著作《原本》： 你知道吗 原名：某些挑选出的数学名词称为原名。 公理：公认的真命题称为公理。 证明：除了公理外，其它真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实。 演绎推理的过程称为证明。 定理：经过证明的真命题称为定理。 注意：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (简述为：同位角相等，两直线平行) 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8.三边分别相等的两个三角形全等。 你知道吗 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是： 补充：9.平行线分线段成比例。 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a = b，b = c，那么a = c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。 你知道吗 又如，如果a ＞ b，b ＞ c，那么a ＞ c，这一性质同样可以作为证明的依据。 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。 怎样进行证明？ 1.根据命题的条件写出已知(往往需要结合图形)； 想一想 2.根据命题的结论写出求证； 3.证明：写出演绎推理的过程。 试一试 证明下面的定理： 定理：同角(或等角)的补角相等。 ①已知:∠1与∠2互补,∠1与∠3互补。 求证：∠2 = ∠3。 证明：∵∠1与∠2互补， ∴∠1＋∠2 = 180°， 即∠2 = 180°－∠1。 ∵∠1与∠3互补， ∴∠1＋∠3 = 180°， 即∠3 = 180°－∠1。 ∴∠2 = ∠3。 ②已知:∠1与∠2互补,∠3与∠4互补, ∠1 = ∠3。 求证：∠2 = ∠4。 证明：∵∠1与∠2互补， ∴∠1＋∠2 = 180°， 即∠2 = 180°－∠1。 ∵∠3与∠4互补， ∴∠3＋∠4 = 180°， 即∠4 = 180°－∠3。 ∵∠1 = ∠3， ∴∠2 = ∠4。 你能证明定理：同角(或等角)的余角相等吗？ 练一练 证明下面的定理： 定理2：同角(或等角)的余角相等。 证明：∵∠1与∠2互余， ∴∠1＋∠2 = 90°， 即∠2 = 90°－∠1。 ∵∠1与∠3互余， ∴∠1＋∠3 = 90°， 即∠3 = 90°－∠1。 ∴∠2 = ∠3。 证明：∵∠1与∠2互余， ∴∠1＋∠2 = 90°， 即∠2 = 90°－∠1。 ∵∠3与∠4互余， ∴∠3＋∠4 = 90°， 即∠4 = 90°－∠3。 ∵∠1 = ∠3， ∴∠2 = ∠4。 ①已知:∠1与∠2互余,∠1与∠3互余。 求证：∠2 = ∠3。 ②已知:∠1与∠2互余,∠3与∠4互余, ∠1 = ∠3。 求证：∠2 = ∠4。 试一试 证明下面的定理： 定理:三角形的任意两边之和大于第三边。 已知:如图△ABC。 求证：AB＋AC ＞ BC ，AB＋BC ＞ AC ，BC＋AC ＞ AB 。 A B C 证明：∵点B和点C之间的最短距离是线段BC的长， ∴AB＋AC ＞ BC。(两点之间线段最短) 同理：AB＋BC ＞ AC ， BC＋AC ＞ AB 。 例题学习 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC =∠BOD。 例 证明:∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)。 ∴∠AOC＋∠AOD = 180°， ∠BOD＋∠AOD = 180°(补角的定义)。 ∴∠AOC = ∠BOD。(同角的补角相等) 定理：对顶角相等。 公理是不需要推理证实的真命题；可以作为判断其他命题真假的根据。 1.对于公理： 2.对于定理： (1)定理都是真命题，但真命题不一定都是定理； (2)定理可以作为推理论证其他命题的依据。 课堂小结 (1)根据题意，画出图形； (2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 3.证明的一般步骤： 4.假命题的判断： 判断一个命题是假命题，只要举出反例来说明即可。 证明的意义： 演绎推理的过程称为证明，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 随堂检测 1.下列说法错误的是 （ ） A. 所有的命题都是定理； B. 定理是真命题； C. 公理是真命题； D. “画线段AB = CD”不是命题。 A 2.下列所学过的真命题中，不是公理的是 (　　) A．对顶角相等； B．同位角相等，两直线平行； C．两角及夹边分别相等的两个三角形全等； D．两点确定一条直线。 A　 3.在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做的根据是 (　　) A．两点确定一条直线； B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； C．两点之间线段最短； D．垂线段最短。 C　 4.写出下面命题的已知、求证，并完成证明过程。 命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 (简称：“等角对等边”)。 已知：如图，_ ____________________。求证：________ 。 在△ABC中，∠B =∠C AB = AC 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB =∠ADC = 90°(垂直的定义)。 ∵在△ABD和△ACD中， ∠ADB = ∠ADC, ∠B = ∠C, AD = AD, ∴△ABD≌△ACD（AAS）。 ∴AB = AC(全等三角形对应边相等)。 随堂检测 A B C 5. 已知：如图，若∠1 = ∠2，EB⊥NM，FD⊥MN。 求证：AB∥CD。 随堂检测 证明：∵EB⊥NM，FD⊥MN(已知)， ∴∠EBN = ∠FDN = 90°(垂直定义)。 ∴∠1＋∠ABN = 90°，∠2＋∠CDN = 90°。 ∵∠1 = ∠2， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。 ∴∠ABN = ∠CDN(等角的余角相等)， 2．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F， EG平分∠AEF， ∠EGF = 35°，求∠EFG的度数。 随堂检测 解:∵AB∥CD，∠EGF = 35°， ∴∠AEG =∠EGF = 35°(两直线平行，内错角相等), ∠EFG＋∠AEF = 180°(两直线平行，同旁内角互补)。 ∴∠EFG = 180°－∠AEF = 180°－70°= 110°。 ∵ EG 平分∠AEF， ∴∠AEF = 2∠AEG = 2×35°= 70°(角平分线定义)， 再 见 $