7.1～7.2命题与证明同步练习-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.1~7.2命题与证明-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．通过观察，你能肯定的是(　　) A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行 C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直 【答案】C 【知识点】平面中直线位置关系；线段的长短比较；观察与实验 【解析】【解答】解：图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交， 故选 C. 【分析】平面内两直线的位置关系有：平行或相交.线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交. 2．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）在证明过程中可以作为推理依据的是（　　） A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 【答案】B 【知识点】证明的含义与一般步骤 【解析】【解答】 定义是明确概念的基础，公理是无需证明的基本事实，定理是已被严格证明为真的命题。命题是陈述句，但未被证明前不能作为依据。真命题包含定义、公理、定理等， 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据， 故答案为：B. 【分析】 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据. 3．（2023八上·余姚期中）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、当a=-2时，a2=4＞0，故A不符合题意； B、​​​​​​​当a=-1时，a2=1＞0，故B不符合题意； ​​​​​​​C、​​​​​​​当a=0时，a2=0，故C符合题意；​​​​​​​ D、​​​​​​​当a=1时，a2=1＞0，故D不符合题意. ​​​​​​​故答案为：C. 【分析】把a的值分别代入，求出a2的值，判断a2与0的大小关系，即可得出答案. 4．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）下列说法正确的是(　　) A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系 C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数 D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2 【答案】D 【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明 【解析】【解答】解：判断一个数学结论的正确与否还要进行推理论证，A不符合题意； 推理对于每个人都很重要，B不符合题意； 当n=2时，n2+n+3=9，9不是质数，C不符合题意； 有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2，D符合题意； 故选：D. 【分析】根据推理的意义、质数的概念、抽屉原则对各个选项进行分析判断. 5．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（　　） A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 【答案】D 【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明 【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程， 故选：D. 【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项. 6．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为(　　) A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定 【答案】C 【知识点】猜想与证明 【解析】【解答】解：由题意可得， 甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元； 乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元， 所以这本书的价格是14元. 故选：C. 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题. 7．下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命题的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假 【解析】【解答】解： 一个锐角（小于90°）与一个钝角（大于90°但小于180°）的和不一定等于平角（180°）。例如，锐角为30°，钝角为100°，和为130°≠180°。因此命题①是假命题； 互为邻补角的两个角之和为180°，其平分线将各自角分为两半。设邻补角为 α 和 180 ∘ − α ，则平分线形成的夹角为α +(180∘ − α )= 90∘，即两平分线垂直。因此命题②是真命题； 根据绝对值的非负性知： | a − 2 | = 0 且 | b + 3 | = 0 ，解得 a = 2 ， b = − 3 ，因此命题③是真命题； 如图， 两条直线相交形成4个角，对顶角有2对（如 ∠ 1 与 ∠ 3 ， ∠ 2 与 ∠ 4 ）。因此命题④是真命题。 因此， 真命题为②、③、④，共3个 ， 故答案为：C. 【分析】根据锐角与钝角和的不确定性知①是假命题，根据邻补角平分线的垂直关系 、绝对值的非负性、对顶角的定义知②、③、④为真命题. 8．下列命题是假命题的有（　　） ①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假 【解析】【解答】解： 命题①：若 a2 = b2，则 a = b . 当 a = 1 ， b = − 1 时， a2 = b2 = 1 ，但 a ≠b ，因此命题①是假命题； 命题②：“一个角的余角大于这个角。” 设角为 α ，其余角为 90∘ − α .若 α = 45∘ ，则余角为 45∘ ，与α相等；若 α = 60∘ ，余角为 30∘，小于原角，因此命题②是假命题； 命题③：“若 a ， b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b | ” 当 a = 1 ， b = − 1 时， | a + b | = | 0 | = 0 ，而 | a | + | b | = 1 + 1 = 2 ，显然不等，因此命题③是假命题； 命题④：“如果 ∠ A = ∠ B ，那么 ∠ A 与 ∠ B 是对顶角” 对顶角需满足两边互为反向延长线，但相等的角可以是同位角、等腰三角形的底角等，不一定是对顶角。例如，两个直角相等但非对顶角，因此命题④是假命题。 因此假命题有①②③④， 故答案为：D. 【分析】 逐一分析每个命题的真假，结合数学定义和反例进行验证，最后统计假命题的数量并选择正确选项. 二、填空题 9．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”的形式：　 　. 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0 【知识点】相反数的意义与性质；命题的概念与组成 【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数之和等于0”， 其条件（如果部分）：两个数互为相反数 结论（那么部分）：这两个数的和等于0 ， 因此写成“如果……那么……”的形式：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0. 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0. 【分析】先确定命题的条件和结论，再用“如果……那么……”的句式连接， 注意语句的逻辑结构，确保条件与结论的对应关系正确 . 10．如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是　 　，结论是　 　. 【答案】∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C 【知识点】命题的概念与组成 【解析】【解答】解： 命题的格式为“如果P，那么Q”，其中P是条件，Q是结论。 题目中的命题为“如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C”。 因此，条件是“∠A＞∠B，∠B＞∠C”，结论是“∠A＞∠C”。 故答案为：∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C. 【分析】 根据命题的结构，“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论。 11．（2025八上·福田期末）命题“小于”是一个　 　命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【知识点】实数的大小比较；真命题与假命题 【解析】【解答】解：因为，而，即， 所以命题“小于“是一个真命题． 故答案为：真． 【分析】估算无理数的范围，结合真假命题即可求出答案. 12．（7.2 认识证明 分层练习（第2课时 定理与证明）—数学北师大版八年级上册）如图，有以下三个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2.从这三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论，则组成真命题的个数为　 　. 【答案】3 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：所有等可能的情况有3种，分别为①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，其中组成命题是真命题的情况有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①. 故答案为：3. 【分析】根据题意找出组成命题的所有等可能的情况数，找出组成的命题是真命题的情况数即可解答. 13．几何证明的一般步骤 步骤： ⑴根据题意正确画图； ⑵结合图形，写出“　 　”和“　 　”； ⑶分析题意，探索证明的思路； ⑷依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出 　 　过程； ⑸检查过程是否正确、完整. 【答案】已知；求证；证明 【知识点】证明的含义与一般步骤 【解析】【解答】解：几何证明的一般步骤步骤： ⑴根据题意正确画图； ⑵结合图形，写出“已知”和“求证”； ⑶分析题意，探索证明的思路； ⑷依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； ⑸检查过程是否正确、完整. 故答案为：已知；求证；证明. 【分析】根据几何证明的一般步骤步骤解答即可. 三、解答题 14．指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例. （1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； （2）同旁内角互补. 【答案】（1）解：条件：两个角的和等于直角，结论：这两个角互为余角. 这个命题是真命题 （2）解：条件：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补. 这个命题是假命题. 反例：如图中 与 是同旁内角， 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假；命题的概念与组成 【解析】【分析】(1)根据命题的概念解答即可； (2)根据命题的概念解答即可. 15．将下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题，还是假命题. （1）直角都相等； （2）相等的两个角是对顶角； （3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）不相交的两条直线是平行线. 【答案】（1）解：如果几个角都是直角，那么它们相等.是真命题 （2）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.是假命题 （3）解：如果经过直线外一点作已知直线的平行线，那么这样的平行线有且只有一条.是真命题 （4）解：如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行.是假命题 【知识点】真命题与假命题；命题的概念与组成 【解析】【分析】分清命题的题设和结论，把命题得题设写在如果后面，命题的结论写在那么的后面即可. 16．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理. （1）如图，若∠1＝∠2，则a∥b； （2）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则△ABC≌△A'B'C'； （3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 【答案】（1）解：内错角相等，两直线平行，是定理 （2）解：两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等，是定理. （3）解：等量代换，是公理 【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；公理的概念；定理、推论的概念 【解析】【分析】⑴ 若两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行，属于平行线的判定定理； ⑵ 若两角及其中一角的对边对应相等（AAS），则两三角形全等 ， 属于三角形全等的判定定理； ⑶ 若a=b且b=c，则根据等量的传递性，可得a=c。此性质是数学中的基本公理. 17．（北师大版数学八年级上册7.2认识证明 同步练习）如图，已知直线相交于点平分． （1）如果，求的度数； （2）如果，则　 　（用含的代数式表示）； （3）图中与互余的角有：　 　． 【答案】（1）解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=66°， ∴∠BOD=∠AOC=66°， ∵OE平分∠BOD， ∴ ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90° ∴∠FOD=∠EOF-∠DOE=90°-33°=57° ∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90° ∴∠AOF+ZBOE=90° ∴∠AOF=180°-∠BOE=90°-33°=57° ∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=57°+57°=114° ​​​​​ （2）​​​​​​​ （3）， 【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念；余角 【解析】【解答】解：(2)∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=n°， ∴∠BOD=∠AOC=n°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90°， ∴， 故答案为：. (3)∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90° ∴∠FOD+∠DOE=90°， ∴∠FOD与∠DOE互余， ∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°， ∴∠AOF+∠BOE=90°. ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE ∴∠AOF+∠DOE=90° ∴∠AOF与∠DOE互余， ∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF， 故答案为：∠FOD，∠AOF. 【分析】(1)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=66°，根据角平分线的定义得∠BOE=∠DOE=33°，再由OF⊥OE得∠FOD=∠EOF-∠DOE=57°，然后由∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF=180°-∠BOE=57°，最后根据∠AOD=∠AOF+∠FOD可得∠AOD的度数； (2)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=n°，根据角平分线的定义得，进 而根据OF⊥OE可得∠FOD的度数； (3)先由OF⊥OE得∠FOD+∠DOE=90°，故得∠FOD与∠DOE互余；再根据∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF+∠BOE=90°，再由角平分线的定义得∠BOE=∠DOE，则∠AOF+∠DOE=90°，故得∠AOF与∠DOE互余，据此可得图中与∠DOE互余的角. 18．如图，已知直线 EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②CB 平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC. （1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个命题，你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ (只需填写序号)，并加以证明； （2）在(1)的条件下，若∠ACG 比∠BCH 的2倍少3°，求∠DAC的度数. 【答案】（1）解：(答案不唯一)选择的条件是①②，结论是③.证明如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD=∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°， ∴∠ACD=∠ACG， ∵EF//GH， ∴∠ACG=∠DAC， ∠ACD=∠DAC. （2）解：由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°， ∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度， ∴∠ACG=2∠BCH=3°， ∴2∠BCH-3°+∠BCH=90°， 解得：∠BCH=31°， ∴∠ACG=90°-∠BCH=59°， ∴∠DAC=∠ACG=59°， ∴∠DAC的度数59° 【知识点】角平分线的概念；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；命题的概念与组成 【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得∠BCD=∠BCH，再根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行线的性质可得∠ACG=∠DAC，从而结论得证； (2)由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，根据∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得关系式∠ACG=2∠BCH=3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根据∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度数. 19．（1）当n=1，2，3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例. 命题1：对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题2：对任何正整数n， 的值都是自然数. 【答案】（1）解：当n=1时， 当n=2时，n2-12n+35=22-12×2+35=15，n2-12n+ ；当n=3时， 37=10. （2）解：命题1 是假命题.反例如下：因为 所以当n=6时， 此时 的值不是自然数，故命题1 是假命题.命题2 是真命题.证明如下：因为 所以当n为正整数时， 12n+37的值为大于等于1 的整数，即此时 12n+37的值都是自然数，故命题2是真命题. 【知识点】完全平方公式及运用；真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】(1)直接代值计算即可； (2)利用完全平方公式得到 再根据 的非负数求解即可. 20．（2024八上·玉州期中）如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：． （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）； （2）选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【答案】（1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②， （2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一） 如图和中，，点在同一直线上， 求证：． 证明如下： ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 即． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；真命题与假命题；命题的概念与组成 【解析】【分析】（1）利用命题的定义及表示方法分析求解即可； （2）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得再利用线段的和差及等量代换可得. （1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②， （2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一） 如图和中，，点在同一直线上， 求证：． 证明如下： ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 即． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1~7.2命题与证明-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．通过观察，你能肯定的是(　　) A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行 C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直 2．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）在证明过程中可以作为推理依据的是（　　） A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 3．（2023八上·余姚期中）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（　　） A． B． C． D． 4．（北师大版数学八年级上册7.1 第1课时 为什么要证明 同步练习）下列说法正确的是(　　) A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系 C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数 D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2 5．（7.1为什么要证明—数学北师大版八年级上册）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（　　） A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 6．（7.1 为什么要证明 分层练习—数学北师大版八年级上册）小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为(　　) A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定 7．下列命题：①一个锐角与一个钝角的和等于平角；②互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；③若｜a－2｜＋｜b＋3｜＝0，则a＝2，b＝－3；④两条直线相交，有2对对顶角.其中是真命题的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列命题是假命题的有（　　） ①若a2＝b2，则a＝b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”的形式：　 　. 10．如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C.这个命题的条件是　 　，结论是　 　. 11．（2025八上·福田期末）命题“小于”是一个　 　命题（填“真”或“假”）． 12．（7.2 认识证明 分层练习（第2课时 定理与证明）—数学北师大版八年级上册）如图，有以下三个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2.从这三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论，则组成真命题的个数为　 　. 13．几何证明的一般步骤 步骤： ⑴根据题意正确画图； ⑵结合图形，写出“　 　”和“　 　”； ⑶分析题意，探索证明的思路； ⑷依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出 　 　过程； ⑸检查过程是否正确、完整. 三、解答题 14．指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例. （1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； （2）同旁内角互补. 15．将下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题，还是假命题. （1）直角都相等； （2）相等的两个角是对顶角； （3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）不相交的两条直线是平行线. 16．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理. （1）如图，若∠1＝∠2，则a∥b； （2）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则△ABC≌△A'B'C'； （3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 17．（北师大版数学八年级上册7.2认识证明 同步练习）如图，已知直线相交于点平分． （1）如果，求的度数； （2）如果，则　 　（用含的代数式表示）； （3）图中与互余的角有：　 　． 18．如图，已知直线 EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②CB 平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC. （1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个命题，你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ (只需填写序号)，并加以证明； （2）在(1)的条件下，若∠ACG 比∠BCH 的2倍少3°，求∠DAC的度数. 19．（1）当n=1，2，3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例. 命题1：对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题2：对任何正整数n， 的值都是自然数. 20．（2024八上·玉州期中）如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：． （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）； （2）选取（1）中一个正确的命题进行证明． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】平面中直线位置关系；线段的长短比较；观察与实验 【解析】【解答】解：图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交， 故选 C. 【分析】平面内两直线的位置关系有：平行或相交.线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交. 2．【答案】B 【知识点】证明的含义与一般步骤 【解析】【解答】 定义是明确概念的基础，公理是无需证明的基本事实，定理是已被严格证明为真的命题。命题是陈述句，但未被证明前不能作为依据。真命题包含定义、公理、定理等， 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据， 故答案为：B. 【分析】 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据. 3．【答案】C 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、当a=-2时，a2=4＞0，故A不符合题意； B、​​​​​​​当a=-1时，a2=1＞0，故B不符合题意； ​​​​​​​C、​​​​​​​当a=0时，a2=0，故C符合题意；​​​​​​​ D、​​​​​​​当a=1时，a2=1＞0，故D不符合题意. ​​​​​​​故答案为：C. 【分析】把a的值分别代入，求出a2的值，判断a2与0的大小关系，即可得出答案. 4．【答案】D 【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明 【解析】【解答】解：判断一个数学结论的正确与否还要进行推理论证，A不符合题意； 推理对于每个人都很重要，B不符合题意； 当n=2时，n2+n+3=9，9不是质数，C不符合题意； 有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2，D符合题意； 故选：D. 【分析】根据推理的意义、质数的概念、抽屉原则对各个选项进行分析判断. 5．【答案】D 【知识点】观察与实验；归纳与类比；猜想与证明 【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程， 故选：D. 【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项. 6．【答案】C 【知识点】猜想与证明 【解析】【解答】解：由题意可得， 甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元； 乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元， 所以这本书的价格是14元. 故选：C. 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题. 7．【答案】C 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假 【解析】【解答】解： 一个锐角（小于90°）与一个钝角（大于90°但小于180°）的和不一定等于平角（180°）。例如，锐角为30°，钝角为100°，和为130°≠180°。因此命题①是假命题； 互为邻补角的两个角之和为180°，其平分线将各自角分为两半。设邻补角为 α 和 180 ∘ − α ，则平分线形成的夹角为α +(180∘ − α )= 90∘，即两平分线垂直。因此命题②是真命题； 根据绝对值的非负性知： | a − 2 | = 0 且 | b + 3 | = 0 ，解得 a = 2 ， b = − 3 ，因此命题③是真命题； 如图， 两条直线相交形成4个角，对顶角有2对（如 ∠ 1 与 ∠ 3 ， ∠ 2 与 ∠ 4 ）。因此命题④是真命题。 因此， 真命题为②、③、④，共3个 ， 故答案为：C. 【分析】根据锐角与钝角和的不确定性知①是假命题，根据邻补角平分线的垂直关系 、绝对值的非负性、对顶角的定义知②、③、④为真命题. 8．【答案】D 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假 【解析】【解答】解： 命题①：若 a2 = b2，则 a = b . 当 a = 1 ， b = − 1 时， a2 = b2 = 1 ，但 a ≠b ，因此命题①是假命题； 命题②：“一个角的余角大于这个角。” 设角为 α ，其余角为 90∘ − α .若 α = 45∘ ，则余角为 45∘ ，与α相等；若 α = 60∘ ，余角为 30∘，小于原角，因此命题②是假命题； 命题③：“若 a ， b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b | ” 当 a = 1 ， b = − 1 时， | a + b | = | 0 | = 0 ，而 | a | + | b | = 1 + 1 = 2 ，显然不等，因此命题③是假命题； 命题④：“如果 ∠ A = ∠ B ，那么 ∠ A 与 ∠ B 是对顶角” 对顶角需满足两边互为反向延长线，但相等的角可以是同位角、等腰三角形的底角等，不一定是对顶角。例如，两个直角相等但非对顶角，因此命题④是假命题。 因此假命题有①②③④， 故答案为：D. 【分析】 逐一分析每个命题的真假，结合数学定义和反例进行验证，最后统计假命题的数量并选择正确选项. 9．【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0 【知识点】相反数的意义与性质；命题的概念与组成 【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数之和等于0”， 其条件（如果部分）：两个数互为相反数 结论（那么部分）：这两个数的和等于0 ， 因此写成“如果……那么……”的形式：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0. 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0. 【分析】先确定命题的条件和结论，再用“如果……那么……”的句式连接， 注意语句的逻辑结构，确保条件与结论的对应关系正确 . 10．【答案】∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C 【知识点】命题的概念与组成 【解析】【解答】解： 命题的格式为“如果P，那么Q”，其中P是条件，Q是结论。 题目中的命题为“如果∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C”。 因此，条件是“∠A＞∠B，∠B＞∠C”，结论是“∠A＞∠C”。 故答案为：∠A＞∠B，∠B＞∠C；∠A＞∠C. 【分析】 根据命题的结构，“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论。 11．【答案】真 【知识点】实数的大小比较；真命题与假命题 【解析】【解答】解：因为，而，即， 所以命题“小于“是一个真命题． 故答案为：真． 【分析】估算无理数的范围，结合真假命题即可求出答案. 12．【答案】3 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：所有等可能的情况有3种，分别为①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，其中组成命题是真命题的情况有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①. 故答案为：3. 【分析】根据题意找出组成命题的所有等可能的情况数，找出组成的命题是真命题的情况数即可解答. 13．【答案】已知；求证；证明 【知识点】证明的含义与一般步骤 【解析】【解答】解：几何证明的一般步骤步骤： ⑴根据题意正确画图； ⑵结合图形，写出“已知”和“求证”； ⑶分析题意，探索证明的思路； ⑷依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； ⑸检查过程是否正确、完整. 故答案为：已知；求证；证明. 【分析】根据几何证明的一般步骤步骤解答即可. 14．【答案】（1）解：条件：两个角的和等于直角，结论：这两个角互为余角. 这个命题是真命题 （2）解：条件：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补. 这个命题是假命题. 反例：如图中 与 是同旁内角， 【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假；命题的概念与组成 【解析】【分析】(1)根据命题的概念解答即可； (2)根据命题的概念解答即可. 15．【答案】（1）解：如果几个角都是直角，那么它们相等.是真命题 （2）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.是假命题 （3）解：如果经过直线外一点作已知直线的平行线，那么这样的平行线有且只有一条.是真命题 （4）解：如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行.是假命题 【知识点】真命题与假命题；命题的概念与组成 【解析】【分析】分清命题的题设和结论，把命题得题设写在如果后面，命题的结论写在那么的后面即可. 16．【答案】（1）解：内错角相等，两直线平行，是定理 （2）解：两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等，是定理. （3）解：等量代换，是公理 【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；公理的概念；定理、推论的概念 【解析】【分析】⑴ 若两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行，属于平行线的判定定理； ⑵ 若两角及其中一角的对边对应相等（AAS），则两三角形全等 ， 属于三角形全等的判定定理； ⑶ 若a=b且b=c，则根据等量的传递性，可得a=c。此性质是数学中的基本公理. 17．【答案】（1）解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=66°， ∴∠BOD=∠AOC=66°， ∵OE平分∠BOD， ∴ ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90° ∴∠FOD=∠EOF-∠DOE=90°-33°=57° ∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90° ∴∠AOF+ZBOE=90° ∴∠AOF=180°-∠BOE=90°-33°=57° ∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=57°+57°=114° ​​​​​ （2）​​​​​​​ （3）， 【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念；余角 【解析】【解答】解：(2)∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=n°， ∴∠BOD=∠AOC=n°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90°， ∴， 故答案为：. (3)∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90° ∴∠FOD+∠DOE=90°， ∴∠FOD与∠DOE互余， ∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°， ∴∠AOF+∠BOE=90°. ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠DOE ∴∠AOF+∠DOE=90° ∴∠AOF与∠DOE互余， ∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF， 故答案为：∠FOD，∠AOF. 【分析】(1)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=66°，根据角平分线的定义得∠BOE=∠DOE=33°，再由OF⊥OE得∠FOD=∠EOF-∠DOE=57°，然后由∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF=180°-∠BOE=57°，最后根据∠AOD=∠AOF+∠FOD可得∠AOD的度数； (2)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=n°，根据角平分线的定义得，进 而根据OF⊥OE可得∠FOD的度数； (3)先由OF⊥OE得∠FOD+∠DOE=90°，故得∠FOD与∠DOE互余；再根据∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF+∠BOE=90°，再由角平分线的定义得∠BOE=∠DOE，则∠AOF+∠DOE=90°，故得∠AOF与∠DOE互余，据此可得图中与∠DOE互余的角. 18．【答案】（1）解：(答案不唯一)选择的条件是①②，结论是③.证明如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD=∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°， ∴∠ACD=∠ACG， ∵EF//GH， ∴∠ACG=∠DAC， ∠ACD=∠DAC. （2）解：由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°， ∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度， ∴∠ACG=2∠BCH=3°， ∴2∠BCH-3°+∠BCH=90°， 解得：∠BCH=31°， ∴∠ACG=90°-∠BCH=59°， ∴∠DAC=∠ACG=59°， ∴∠DAC的度数59° 【知识点】角平分线的概念；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；命题的概念与组成 【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得∠BCD=∠BCH，再根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行线的性质可得∠ACG=∠DAC，从而结论得证； (2)由(1)得：∠ACG+∠BCH=90°，根据∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得关系式∠ACG=2∠BCH=3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根据∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度数. 19．【答案】（1）解：当n=1时， 当n=2时，n2-12n+35=22-12×2+35=15，n2-12n+ ；当n=3时， 37=10. （2）解：命题1 是假命题.反例如下：因为 所以当n=6时， 此时 的值不是自然数，故命题1 是假命题.命题2 是真命题.证明如下：因为 所以当n为正整数时， 12n+37的值为大于等于1 的整数，即此时 12n+37的值都是自然数，故命题2是真命题. 【知识点】完全平方公式及运用；真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】(1)直接代值计算即可； (2)利用完全平方公式得到 再根据 的非负数求解即可. 20．【答案】（1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②， （2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一） 如图和中，，点在同一直线上， 求证：． 证明如下： ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 即． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；真命题与假命题；命题的概念与组成 【解析】【分析】（1）利用命题的定义及表示方法分析求解即可； （2）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得再利用线段的和差及等量代换可得. （1）解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②， （2）解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一） 如图和中，，点在同一直线上， 求证：． 证明如下： ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 即． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $