重难点专题09 分段函数分段函数六大题型（专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

重难点专题9 分段函数六大题型 重难点一 求分段函数值 核心方法：由内到外逐层代入，先判断内层函数值对应的定义域区间，计算后再代入外层函数，匹配对应解析式求解。 1.已知函数则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由题可得， ． 2.已知函数满足，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】代入即可求解． 【详解】， 故， 故选： 3.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值． 【详解】因为，则， 所以． 故选：． 4.已知函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可得出结果． 【详解】因为， ． 所以． 故选： 5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】根据基本初等函数单调性分析可得，进而利用偶函数的对称性以及函数单调性分析判断． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则，， 由在定义域内单调递减，则； 由在定义域内单调递增，则； 由在内单调递增，则； 故， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以． 故选：． 6.已知函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果． 【详解】由函数可知， 所以． 故选：． 7.设函数则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】因为，所以， 又因为，所以． 8.高三名校联考设 若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】的定义域为，则解得若，则，可得，不合题意；若，则，可得，解得综上所述，所以． 9.高三名校联考设 若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】的定义域为，则解得若，则，可得，不合题意；若，则，可得，解得综上所述，所以． 10.已知函数若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】根据先求出，再根据分段函数求值． 【详解】因为，所以． 所以． 故选：． 11.已知函数则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，由解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数，则， 则． 故选D． 【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12.函数，若实数满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解． 【详解】由题意可得的定义域为， 在上单调递增，在上单调递增， 若，所以，可得， 由可得，解得：， 所以， 故选：． 重难点二 求分段函数解析式 核心方法：分类讨论 + 奇偶性 / 已知区间解析式迁移，已知某区间解析式时，通过 “设未知区间变量→转化到已知区间→利用奇偶性（f (-x)=±f (x)）或已知式推导”，补充完整各区间解析式。 1.已知函数，关于函数的结论正确的是(    ) A. 的最大值为 B. C. 若，则 D. 的解集为 【答案】BD  【解析】解：函数，在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，则当时，， 当时，，且在上单调递减，则此时， 故函数无最大值，选项错误； ，选项正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得，选项错误； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 故的解集为，选项正确． 故选：． 2.已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的应用，需要学生掌握分类讨论的思想，属于中档题． 当 时， 的值域为，当 时，分讨论，求的值域，    即可求解． 【解答】 令，． 则是增函数，的值域为． 当时，是减函数，的值域为，满足题意。 当时，是减函数，的值域为，不满足题意。 当时，，则在上是增函数，在上是减函数，的值域为，依题意得： 实数的取值范围为 3.已知为定义在上的奇函数，当时，则          ． 【答案】  【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以． 当时，； 设，则，所以， 又因为， 所以． 综上所述， 4.已知函数为上的偶函数，且当时，，则的解析式为          ． 【答案】  【解析】当时，， 则， 因为函数为定义域为上的偶函数， 故当时，， 故的解析式为 5.已知是定义域为的奇函数，当时，，写出分段函数的解析式          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性是解决本题的关键． 根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】 解：是定义域为的奇函数， ， 若，则， 即当时，， 即， 则． 故答案为：． 6.已知是上的奇函数，当时，，则的解析式是________________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和整体的思想，属基础题． 由奇函数的性质易得，由题意和函数的奇偶性可得当时的解析式，综合可得答案． 【解答】 解：为上的奇函数， ， 设，则， 当时，， ， 即， 当时，． 综上可得的解析式为：． 故答案为． 7.已知定义在上的偶函数，当时，，则函数的解析式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的问题，是基础题． 根据题意，当时，，求出的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】 解：因为当时，， 若时，则， 所以， 又因为函数是上为偶函数，所以， 所以， 所以函数的解析式为 故答案为． 8.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的解析式          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，函数的解析式，属于中档题． 根据是定义在上的奇函数，可得时，，可得时，，进而得出解析式即可． 【解答】 解：是定义在上的奇函数，，  当时，，  当时，则， ， 是定义在上的奇函数， 当时，， ，  综上所述，．  故答案为． 9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 设，则，利用奇函数及函数解析式即可解题． 【解答】 解：函数定义在上的奇函数， ， 设，则， ， ， ， 故答案为． 10.已知定义在上的奇函数，当时，，函数在上的解析式为          ． 【答案】        【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于中档题． 根据题意，由奇函数的性质可得，设，有，由函数的解析式可得的解析式，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则， 设，有，则， 又由函数为奇函数，则， 则； 故答案为． 11.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键． 根据函数奇偶性的关系进行求解即可． 【解答】 解：若， 则， 时，， 当时，， 是定义在上的奇函数， ， 则，， 故答案为：． 12.已知是定义在上的偶函数，当时，． 用分段函数形式写出的解析式； 写出的单调区间； 求出函数的最值． 【答案】解：是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，则， ． 即时，． 故函数； 当时，，对称轴为， 易知函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，对称轴为， 易知函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 由知，当时，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，无最大值； 当时，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，无最大值． 综上，函数的最小值为，无最大值．  【解析】本题考查函数的解析式、单调区间和最值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题． 只需求出时的表达式即可，设，则，利用已知表达式可求出，再根据与关系即可求解． 当时，，对称轴为，当时，，对称轴为，由此能求出函数的单调区间． 由得出的函数的单调区间和分类讨论思想即可求出函数的最值． 重难点三 解分段函数方程 核心方法：分段列方程 + 数形结合，按定义域分段列出方程求解，结合函数图象与直线 y=k 的交点个数，判断方程解的个数及参数范围。 1.已知分段函数 ，则方程的解的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数零点问题，难度中档． 画出分段函数图象和直线  即可求出交点个数． 【解答】 解：由题意可知，当  时，  ，对称轴为直线 ，顶点在  轴上； 当  时，   ，图象为折线． 画出分段函数的图象和直线  可得交点个数为， 答案为． 2.已知函数若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数与方程的综合应用，属中档题． 把方程根的个数问题转化成函数图象交点问题，作出两个函数图像，运用数形结合方法求解． 【解答】 解：画出函数 的图象，如图所示； 若关于的方程有三个不同的实数解， 则函数与的图象有个交点， 当函数的图象位于如图所示的直线的位置时， 由消去得， 令，解得舍或， 此时函数与的图象有个交点， 当函数的图象位于如图所示的直线的位置时， 函数的图象经过点，即，得， 此时函数与的图象也只有个交点， 因此，要使函数与的图象有个交点，则只要． 故答案为： 3.已知函数． 将函数写出分段函数的形式，并画出图象； 利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？ 【答案】解：当时， 当时， 综上 其函数图象如图所示： 由中函数的图象可得： 当或时，方程有一解 当或时，方程有两解 当时，方程有三解  【解析】本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的画法，函数的零点，难度不大，属于基础题． 要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当时和当时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数写出分段函数的形式，进而根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得答案． 根据中函数的图象，结合函数的极大值为，极小值为，可得方程有一解，有两解和有三解时，的取值范围． 4.已知函数，． Ⅰ当时，求函数的区间上的最大值和最小值； Ⅱ若方程恰好有个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ当时， 如图，当时， 当时，； Ⅱ设 当时，，在上单调递增，方程只有一个实数解，不满足要求 当时，的大致图象如图所示，方程恰好有个不同的实数解， 则，即，得． 当时，的大致图象如图所示，方程恰好有个不同的实数解， 则，即得． 综上所述，实数的取值范围是或．  【解析】本题考查分段函数最值的求法，考查根据方程根的个数求参数的范围，考查数形结合思想，属于中档题． Ⅰ将代入，可得，作出函数的图像，即可求出函数的最大值和最小值； Ⅱ设分，，作出函数的图像，讨论方程的解，即可求出实数的取值范围． 5.已知函数． 画出的图象，并写出的单调递减区间； 当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；不必求出方程的解 若关于的方程有个不同的实数根，求的取值范围． 【答案】解：因为当时，，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，两个零点分别为，最小值为； 当时，，在上单调递减，零点为． 所以其图象如图所示： 所以的单调递减区间为和； 解：因为，时，，在上单调递减，且， 所以当时，有个根； 当时，有个根； 当时，有个根； 当时，有个根； 当时，没有根； 解：设， 则问题转化方程有两个不同的根． 要使原方程有个不同的实数根， 则方程的两个根必需满足： 一个根大于，一个根位于，或一个根等于，一个根位于， 当一个根大于，一个根位于时，  ，解得； 当一个根等于，一个根位于时， ，解得； 此时的另一根为，满足条件； 综上所述，的取值范围为．   【解析】本题主要考查了分段函数图象及分段函数的单调性，也考查了函数零点及方程根的个数问题，属于较难题． 分析出函数的单调性及值域，作出图象，再结合图象即可得函数的单调区间； 将问题转化为函数与的交点个数，结合图象，分、、、和讨论即可； 设，问题转化为两个根必需满足：一个根大于，一个根位于，或一个根等于，一个根位于，分别求解后再取并集即可． 6.已知函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图象； 根据函数的图象解答下列问题： 写出函数的值域及单调增区间； 写出关于的方程在区间上的解的个数． 【答案】解： 画出函数图象如图所示． 由函数图像可知函数的值域为，单调增区间为 由图像可知，与函数的图像在上只有个交点，即关于的方程在区间上的解的个数为．  【解析】本题主要考查分段函数的应用，函数图象的作法，结合绝对值的应用将函数表示成分段函数，结合分段函数的性质是解决本题的关键，属于中档题． 根据绝对值的意义，将函数表示成分段函数形式即可． 结合分段函数的图象判断函数的单调性和最值即可求出函数的值域． 由图像可知，与函数的图像在上只有个交点，故可得答案． 7.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求函数的解析式； 画出函数的图像，并直接写出函数的单调增区间； 讨论方程的根个数的情况只写结果，不要解答过程． 【答案】解：设则  ，       因为是上的偶函数， 所以 所以 ； 的图象如下图所示： 单调增区间为和； 方程的根个数的情况如下： 当时，方程无实根； 当或时，方程有两实根； 当时，方程有三个实根； 当时，方程有四个实根．   【解析】本题考查求函数解析式，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，函数图象的作法，函数图象的应用，属于中档题． 设则 由当时，，函数是定义在上的偶函数，可得的解析式，从而可得函数的解析式； 根据当时，，画出图象，再根据是上的偶函数，图象关于轴对称，可得的图象，根据图象可得单调增区间； 方程的根，即为函数与的交点，数形结合即可得解． 重难点四 解分段函数不等式 核心方法：分段解不等式 + 解集合并，按定义域分段拆解不等式，分别求解后取各段解集的并集；复杂情况可结合函数图象，直观判断满足不等式的 x 范围。 1.已知，． 利用函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； 用分段函数的形式表示； 在同一坐标系中分别画出和的图像，并写出不等式的解集． 【答案】解：证明：设任意，可得 ， 因为，则，，故， 所以函数在上单调递增． 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：； 通过图象易知不等式的解集为．   【解析】本题主要考查函数单调性的判断和证明，绝对值函数表达为分段函数，以及分段函数的画法，利用数形结合解不等式，属于中档题． 利用函数单调性的定义证明即可； 对进行讨论去绝对值； 利用图象求解． 2.已知函数，． 判断并证明函数的奇偶性； 将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图象； 当时，解不等式． 【答案】解：已知函数，， 的定义域是，关于原点对称， 因为， 所以是奇函数； ， 的图象如图所示； 当时，， 因此，由可得，即， 即，解得，故， 所以当时，不等式的解集为．  【解析】本题考查判断或证明函数的奇偶性，求分段函数的解析式，分段函数的图象，解一元二次不等式，属于中档题． 根据奇偶性的定义进行判断和证明． 根据绝对值的知识对解析式进行化简，得到分段函数解析式，进而画出图象． 根据一元二次不等式的解法来求得正确答案． 3.已知， 用分段函数表示的解析式，作出其图象；并指出函数的定义域与值域，单调区间；   解不等式； 讨论直线与图象的交点个数，并写出实数的取值范围不需要证明． 【答案】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以， 作出函数的大致图象，如下图所示：   函数的定义域为，值域为． 函数的单调递增区间为：； 函数的单调递减区间为：  当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，． 综上所述，不等式的解集为． 由中的图可知，当时，直线与图象有个交点； 当时，直线与图象只有个交点； 当时，直线与图象有个交点． 综上所述，当时，直线与图象有个交点； 当时，直线与图象只有个交点； 当时，直线与图象有个交点．   【解析】本题考查分段函数的图象，求分段函数的定义域、值域、解析式，函数零点、方程的根的个数． 采用分段讨论法可求解析式，由解析式画出图形，结合图形写出的定义域与值域，单调区间； 采用分段讨论法，解分段函数对应不等式即可； 结合图形可判断，需讨论三种情况下与图象的交点个数． 4.已知函数，，设 求函数的解析式； 求不等式的解集． 【答案】解：当时，， 解得， 当， 解得或． ． 当时，由， 得，解得或， 于是或． 当或时，由， 得，即， 解得， 于是或， 由，得或． 故不等式的解集为 ．   【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和求函数解析式，属于中档题． 根据分段函数的定义可得； 分种情况解不等式再取并集． 5.已知函数． 求值域； 若存在唯一的整数，使得，求的取值范围． 【答案】解：由，可以画出图象 因此函数值域为． 由知，若关于的不等式解集非空，则，且是此不等式的解． 因为若存在唯一的整数，使得， 由知，解得． 因此的取值范围为．  【解析】本题考查函数的应用，函数的图象的画法，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．去掉绝对值符号，得到分段函数，然后画出函数的图象，求解函数的值域． 结合函数的图象，存在唯一的整数，使得，则，列出不等式，求解即可． 6.已知 画出的图象； 若，求的取值范围； 求的值域． 【答案】解：利用描点法，作出的图象，如图所示． 由结合此函数图象可知， 使的的取值范围是． 由图象知，当时，的值域为， 当或时，． 所以的值域为．   【解析】本题考查分段函数的图象与性质，属于中档题． 利用描点法，分段画出函数的图象 由结合图象可求 分段求出函数的值域，最后取并集即可． 7.已知函数． 画出函数的图象；    由图象写出满足的所有的集合直接写出结果； 由图象写出满足函数的值域直接写出结果． 【答案】解：的图象如图所示：其中单位刻度为， ； ．   【解析】本题主要考查函数的图象和值域，考查数学运算能力，属于中档题． 分别用描点连线的方法做出在三个区间上的图象； 作出直线，算出与的交点，进而得出的所有的集合； 由图知函数有最小值，没有最大值，求出最小值进而求得函数的值域． 8.已知函数试求不等式的解集． 【答案】解：若或，则由可得， 解得或， 结合定义域可得解为或， 若，则由可得， 解得， 结合定义域可得解为， 综上所述，不等式的解集为或或．  【解析】本题考查分段函数的相关知识，一元二次不等式的解法，属于基础题． 关键在于对于分段函数的每一段分别求解的解，然后求并集得到整个函数满足的解集． 9.已知函数且． 求实数值并作出函数的图像 由图指出的增区间 解不等式． 【答案】解：，且， 则， ， 故函数图象如下： 函数的增区间是． 令， 由知当时，解得或， 由图可知时，， 当时，解得， 综合得不等式的解集为．  【解析】本题考查含有绝对值的函数图象画法及根据图象数形结合讨论函数的性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题． 直接解方程即可；将绝对值去掉化为分段函数，再根据分段函数作图象；   根据图象即可求出单调递增区间；    令，再分类讨论时，时即可求解． 10.已知函数对任意实数都有，且当时，． 求，的值 写出在上的解析式 当时，求不等式的解集． 【答案】解：， ，． 当时，， ． ． 当时，， 由得， 解得：． 当时，求不等式的解集为  【解析】本题考查求函数解析式及一元二次不等式求解，属于基础题． 由直接求解即可，由直接求解即可； 令，得进行求解即可； 由得不等式直接求解即可． 重难点五 分段函数单调性 核心方法：分段判断 + 区间衔接验证，分别判断各分段区间内的单调性（一次函数看斜率、二次函数看对称轴），再验证相邻区间衔接处的函数值变化，确保整体单调性一致。 1.设函数． 把函数写成分段函数的形式 在区间上画出函数的图象，写出函数的单调区间． 【答案】解：解方程 故函数写为分段函数为： 由图象可得：函数的单调增区间为：单调减区间为：  【解析】本题主要考查分段函数的应用以及函数图像的作法与应用，属于中档题． 求出方程的解，即可推出结果． 根据中的函数，结合函数图象的作法，即可画出图象，由图象可得出函数的单调区间． 2.已知函数． 将函数写成分段函数的形式，并作出函数在上的简图； 根据函数的图像直接写出函数的单调增区间； 函数在区间上既有最大值也有最小值，直接写出实数的取值范围不要求写过程． 【答案】解：当时，， 当时，， 所以 函数在上的简图如图所示： 由函数图像可知，函数的增区间为，； 当时，函数既没有最大值，也没有最小值， 当时，函数最大值为，没有最小值， 当时，函数最大值为，最小值为， 当时，函数没有最大值，有最小值为， 综上，．   【解析】本题考查了分段函数的单调区间、最值，重点考查了分类讨论及数形结合的数学思想方法，属中档题． 由分类讨论去绝对值，再将结果写成分段函数的形式即可； 由图像观察即可，但要注意不能写成并集； 数形结合，观察函数图像，得出结论． 3.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； 写出该函数的值域、单调区间． 【答案】解由题意知，， 当时，，当时，， 则 函数图象如图： 由的图象得，函数的值域为， 函数的单调减区间为，无增区间．  【解析】本题考查了由函数解析式画出函数图象，根据图象求出函数的值域和单调区间，考查了作图和读图能力． 根据的符号分和两种情况，去掉绝对值求出函数的解析式； 根据函数解析式，画出函数的图象； 根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间． 4.设， 用分段函数的形式表达； 在直角坐标系中画出的图象； 写出函数的值域． 【答案】解：当时，， 当时，． 所以 函数的图象如图所示：注意端点处的开闭 由知，函数的最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以在上的值域为  【解析】通过去掉绝对值符号，得到函数的解析式即可． 然后画出函数的图象即可． 利用函数的图象写出函数的值域即可． 本题考查函数的图象的作法，考查函数的解析式的化简求值，是中档题． 5.已知函数． 判断函数的奇偶性； 将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】解：函数的定义域为， ， 则是偶函数． 作出的图象如图： 则函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为和．  【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合奇偶性的定义以及利用数形结合是解决本题的关键． 根据奇偶性的定义进行判断即可． 根据绝对值的意义进行转化，结合图象即可得到函数的单调性． 6.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数； 在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； 若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】解： 函数的图象如图所示； 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得．  【解析】本题考查分段函数的图象与性质，属于中档题． 利用零点分段可求函数的解析式； 利用分段函数可画出函数的图象； 利用图象，列出不等式，解不等式得出结论． 7.已知是定义在上的偶函数，当时，． 用分段函数形式写出的解析式； 写出的单调区间； 求出函数的最值． 【答案】解：是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，则， ． 即时，． 故函数； 当时，，对称轴为， 易知函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，对称轴为， 易知函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 由知，当时，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，无最大值； 当时，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，无最大值． 综上，函数的最小值为，无最大值．  【解析】本题考查函数的解析式、单调区间和最值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题． 只需求出时的表达式即可，设，则，利用已知表达式可求出，再根据与关系即可求解． 当时，，对称轴为，当时，，对称轴为，由此能求出函数的单调区间． 由得出的函数的单调区间和分类讨论思想即可求出函数的最值． 8.设函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图像； 写出函数的单调递增区间和值域． 【答案】解：当时，， 当时，， 所以 其图像如下所示： 因为， 由图像可得的单调递增区间为，值域为．   【解析】本题考查分段函数的解析式，分段函数的单调性，分段函数的图象。 分和分情况去绝对值即可得到解析式，根据解析式画出图像即可； 根据图像即可得的单调递增区间和值域． 9.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数． 画出函数在区间上的图象； 写出函数在区间上的单调区间最值． 【答案】解：因为， 所以； 函数在区间上的图象如图所示： 由的图象可得， 函数在区间上的单调递增区间为； 单调递减区间为；最大值为，最小值为．  【解析】本题考查分段函数的图象及闭区间上函数的单调性与最值，属于中档题． 可将函数解析式转化为； 由解析式即可画出图象； 利用函数的图象，由图象的变化趋势以及图象的最高点和最低点，即可得到答案． 10.已知函数． 用分段函数的形式表示函数 画出函数的图象 写出函数的值域． 【答案】解： 函数的图象如图所示． 由知，在上的值域为．   【解析】本题考查分段函数，作函数图象，求函数值域，属中档题． 分类讨论去绝对值，即可得分段函数； 列表、描点、连线，作出函数图象； 数形结合可得值域． 11.本小题分 已知函数． 用分段函数的形式表示 画出的图象，并写出函数的单调区间、值域． 【答案】解：当时，，； 当时，， 则用分段函数的形式表示函数，可得； 由可画出函数的图象，如图所示： 根据图象，可得：函数的单调增区间为，值域为．  【解析】本题考查分段函数的定义域、值域、解析式的求法，属于中档题． 根据绝对值的意义，结合分类讨论去掉函数式中的绝对值，即可化简出分段函数的形式表示的式子； 根据函数式在不同两段的解析式，即可作出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间与 重难点六分段函数值域 核心方法：分段求值域 + 取并集，分别求出各分段区间内的函数值域（结合单调性、最值），最终将所有区间值域合并，得到函数整体值域。 1.已知函数． 判断函数的奇偶性； 将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】解：函数的定义域为， ， 则是偶函数． 作出的图象如图： 则函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为和．  【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合奇偶性的定义以及利用数形结合是解决本题的关键． 根据奇偶性的定义进行判断即可． 根据绝对值的意义进行转化，结合图象即可得到函数的单调性． 2.已知函数，． 判断并证明函数的奇偶性； 将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图象； 当时，解不等式． 【答案】解：已知函数，， 的定义域是，关于原点对称， 因为， 所以是奇函数； ， 的图象如图所示； 当时，， 因此，由可得，即， 即，解得，故， 所以当时，不等式的解集为．  【解析】本题考查判断或证明函数的奇偶性，求分段函数的解析式，分段函数的图象，解一元二次不等式，属于中档题． 根据奇偶性的定义进行判断和证明． 根据绝对值的知识对解析式进行化简，得到分段函数解析式，进而画出图象． 根据一元二次不等式的解法来求得正确答案． 3.用分段函数表示并作出其图象，指出函数的定义域、值域． 【答案】解：由题意得，，定义域是，值域是．   【解析】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题将绝对值函数转化为分段函数，根据函数解析式画出图象，根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分． 4.已知函数 用分段函数的形式表示该函数； 画出该函数的图象； 写出该函数的单调区间指明增减、值域． 【答案】解：由题意知， 当时，     当时，      所以 函数图象如图：   由知，函数的单调递增区间为，函数的值域．   【解析】本题考查求分段函数的定义域、值域、解析式，分段函数的图象，判断或求解函数的单调区间，属于中档题． 对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可； 运用描点法画图； 根据图象，直接写单调区间． 5.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数； 在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； 写出该函数的单调区间及值域不要求证明． 【答案】解：当时，， 当时，， ； 由中解析式，作图如下： 由中图像可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．   【解析】本题主要考查分段函数的应用，根据绝对值的意义求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题． 根据绝对值的意义进行化简即可； 根据分段函数的表达式进行作图即可； 根据分段函数的图象，判断函数的单调性和值域． 6.已知函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图象； 根据函数的图象解答下列问题： 写出函数的值域及单调增区间； 写出关于的方程在区间上的解的个数． 【答案】解： 画出函数图象如图所示． 由函数图像可知函数的值域为，单调增区间为 由图像可知，与函数的图像在上只有个交点，即关于的方程在区间上的解的个数为．  【解析】本题主要考查分段函数的应用，函数图象的作法，结合绝对值的应用将函数表示成分段函数，结合分段函数的性质是解决本题的关键，属于中档题． 根据绝对值的意义，将函数表示成分段函数形式即可． 结合分段函数的图象判断函数的单调性和最值即可求出函数的值域． 由图像可知，与函数的图像在上只有个交点，故可得答案． 7.设函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图像； 写出函数的单调递增区间和值域． 【答案】解：当时，， 当时，， 所以 其图像如下所示： 因为， 由图像可得的单调递增区间为，值域为．   【解析】本题考查分段函数的解析式，分段函数的单调性，分段函数的图象。 分和分情况去绝对值即可得到解析式，根据解析式画出图像即可； 根据图像即可得的单调递增区间和值域． 8.设和，则函数． 用分段函数的形式表示该函数； 画出该函数的图象； 写出该函数的值域． 【答案】解：由，即，解得； 当或时，， 由此可写出的解析式： ； 函数图像如下： 由函数图像可知，该函数的值域为．   【解析】本题考查分段函数的图象，分段函数的解析式，属于中档题． 由，知表示与中的较小者，解不等式，得，所以当或时，，由此可写出的解析式； 根据分段函数的解析式作出分段函数图像； 由图像可知函数的值域． 9.已知函数． 用分段函数的形式表示函数 画出函数的图象 写出函数的值域． 【答案】解： 函数的图象如图所示． 由知，在上的值域为．   【解析】本题考查分段函数，作函数图象，求函数值域，属中档题． 分类讨论去绝对值，即可得分段函数； 列表、描点、连线，作出函数图象； 数形结合可得值域． 10.已知函数． 用分段函数的形式表示 画出的图象，并写出函数的单调区间、值域． 【答案】解：当时，，； 当时，， 则用分段函数的形式表示函数，可得； 由可画出函数的图象，如图所示： 根据图象，可得：函数的单调增区间为，值域为．  【解析】本题考查分段函数的定义域、值域、解析式的求法，属于中档题． 根据绝对值的意义，结合分类讨论去掉函数式中的绝对值，即可化简出分段函数的形式表示的式子； 根据函数式在不同两段的解析式，即可作出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间与值域． 11.设， 用分段函数的形式表达； 在直角坐标系中画出的图象； 写出函数的值域． 【答案】解：当时，， 当时，． 所以 函数的图象如图所示：注意端点处的开闭 由知，函数的最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以在上的值域为  【解析】通过去掉绝对值符号，得到函数的解析式即可． 然后画出函数的图象即可． 利用函数的图象写出函数的值域即可． 本题考查函数的图象的作法，考查函数的解析式的化简求值，是中档题． 12.已知函数，用分段函数的形式表示该函数． 【答案】解：因为， 当时，； 当时，； 综上，．   【解析】本题考查分段函数的解析式，属于中档题． 根据已知解析式，分和两种情况，即可得出结果． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题9 分段函数六大题型 重难点一 求分段函数值 核心方法：由内到外逐层代入，先判断内层函数值对应的定义域区间，计算后再代入外层函数，匹配对应解析式求解。 1.已知函数则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知函数满足，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.设函数则的值为  (    ) A. B. C. D. 8.高三名校联考设 若，则(    ) A. B. C. D. 9.高三名校联考设 若，则(    ) A. B. C. D. 10.已知函数若，则(    ) A. B. C. D. 11.已知函数则的值为(    ) A. B. C. D. 12.函数，若实数满足，则(    ) A. B. C. D. 重难点二 求分段函数解析式 核心方法：分类讨论 + 奇偶性 / 已知区间解析式迁移，已知某区间解析式时，通过 “设未知区间变量→转化到已知区间→利用奇偶性（f (-x)=±f (x)）或已知式推导”，补充完整各区间解析式。 1.已知函数，关于函数的结论正确的是(    ) A. 的最大值为 B. C. 若，则 D. 的解集为 2.已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为          ． 3.已知为定义在上的奇函数，当时，则          ． 4.已知函数为上的偶函数，且当时，，则的解析式为          ． 5.已知是定义域为的奇函数，当时，，写出分段函数的解析式          ． 6.已知是上的奇函数，当时，，则的解析式是________________． 7.已知定义在上的偶函数，当时，，则函数的解析式为          ． 8.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的解析式          ． 9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，          ． 10.已知定义在上的奇函数，当时，，函数在上的解析式为          ． 11.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，           ． 12.已知是定义在上的偶函数，当时，． 用分段函数形式写出的解析式； 写出的单调区间； 求出函数的最值． 重难点三 解分段函数方程 核心方法：分段列方程 + 数形结合，按定义域分段列出方程求解，结合函数图象与直线 y=k 的交点个数，判断方程解的个数及参数范围。 1.已知分段函数 ，则方程的解的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.已知函数若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是          ． 3.已知函数． 将函数写出分段函数的形式，并画出图象； 利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？ 4.已知函数，． Ⅰ当时，求函数的区间上的最大值和最小值； Ⅱ若方程恰好有个不同的实数解，求实数的取值范围． 5.已知函数． 画出的图象，并写出的单调递减区间； 当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；不必求出方程的解 若关于的方程有个不同的实数根，求的取值范围． 6.已知函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图象； 根据函数的图象解答下列问题： 写出函数的值域及单调增区间； 写出关于的方程在区间上的解的个数． 7.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求函数的解析式； 画出函数的图像，并直接写出函数的单调增区间； 讨论方程的根个数的情况只写结果，不要解答过程． 重难点四 解分段函数不等式 核心方法：分段解不等式 + 解集合并，按定义域分段拆解不等式，分别求解后取各段解集的并集；复杂情况可结合函数图象，直观判断满足不等式的 x 范围。 1.已知，． 利用函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； 用分段函数的形式表示； 在同一坐标系中分别画出和的图像，并写出不等式的解集． 2.已知函数，． 判断并证明函数的奇偶性； 将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图象； 当时，解不等式． 3.已知， 用分段函数表示的解析式，作出其图象；并指出函数的定义域与值域，单调区间；   解不等式； 讨论直线与图象的交点个数，并写出实数的取值范围不需要证明． 4.已知函数，，设 求函数的解析式； 求不等式的解集． 5.已知函数． 求值域； 若存在唯一的整数，使得，求的取值范围． 6.已知 画出的图象； 若，求的取值范围； 求的值域． 7.已知函数． 画出函数的图象；    由图象写出满足的所有的集合直接写出结果； 由图象写出满足函数的值域直接写出结果． 8.已知函数试求不等式的解集． 9.已知函数且． 求实数值并作出函数的图像 由图指出的增区间 解不等式． 10.已知函数对任意实数都有，且当时，． 求，的值 写出在上的解析式 当时，求不等式的解集． 重难点五 分段函数单调性 核心方法：分段判断 + 区间衔接验证，分别判断各分段区间内的单调性（一次函数看斜率、二次函数看对称轴），再验证相邻区间衔接处的函数值变化，确保整体单调性一致。 1.设函数． 把函数写成分段函数的形式 在区间上画出函数的图象，写出函数的单调区间． 2.已知函数． 将函数写成分段函数的形式，并作出函数在上的简图； 根据函数的图像直接写出函数的单调增区间； 函数在区间上既有最大值也有最小值，直接写出实数的取值范围不要求写过程． 3.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； 写出该函数的值域、单调区间． 4.设， 用分段函数的形式表达； 在直角坐标系中画出的图象； 写出函数的值域． 5.已知函数． 判断函数的奇偶性； 将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 6.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数； 在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； 若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 7.已知是定义在上的偶函数，当时，． 用分段函数形式写出的解析式； 写出的单调区间； 求出函数的最值． 8.设函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图像； 写出函数的单调递增区间和值域． 9.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数． 画出函数在区间上的图象； 写出函数在区间上的单调区间最值． 10.已知函数． 用分段函数的形式表示函数 画出函数的图象 写出函数的值域． 重难点六分段函数值域 核心方法：分段求值域 + 取并集，分别求出各分段区间内的函数值域（结合单调性、最值），最终将所有区间值域合并，得到函数整体值域。 1.已知函数． 判断函数的奇偶性； 将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 2.已知函数，． 判断并证明函数的奇偶性； 将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图象； 当时，解不等式． 3.用分段函数表示并作出其图象，指出函数的定义域、值域． 4.已知函数 用分段函数的形式表示该函数； 画出该函数的图象； 写出该函数的单调区间指明增减、值域． 5.已知函数． 用分段函数的形式表示该函数； 在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； 写出该函数的单调区间及值域不要求证明． 6.已知函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图象； 根据函数的图象解答下列问题： 写出函数的值域及单调增区间； 写出关于的方程在区间上的解的个数． 7.设函数． 将函数写成分段函数的形式并画出其图像； 写出函数的单调递增区间和值域． 8.设和，则函数． 用分段函数的形式表示该函数； 画出该函数的图象； 写出该函数的值域． 9.已知函数． 用分段函数的形式表示函数 画出函数的图象 写出函数的值域． 10.已知函数． 用分段函数的形式表示 画出的图象，并写出函数的单调区间、值域． 11.设， 用分段函数的形式表达； 在直角坐标系中画出的图象； 写出函数的值域． 12.已知函数，用分段函数的形式表示该函数． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $