专题18 函数的综合应用（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题18 函数的综合应用 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、奇偶性结合单调性比较大小 类型二、奇偶性结合单调性解不等式 类型三、单调性结合对称性比较大小 类型四、单调性结合对称性解不等式 类型五、奇偶性结合单调性解决恒成立和有解问题 类型六、奇偶性结合单调性、对称性解决综合性问题 类型七、函数新定义 压轴专练 类型一、奇偶性结合单调性比较大小 单调性定义的等价形式： (1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数: ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)<0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，. (2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数: ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)>0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，. 2、函数奇偶性定义的变形形式判断函数奇偶性： 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： 如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； 如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 【技巧方法】 1.综合使用奇偶性和单调性，往往能判断出函数在定义域内各个区间的单调性. 2.通过利用偶函数的性质，往往可以将研究对象转化到同一区间上比较大小. 例1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（     ） A． B． C． D． 变式1-1．已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式1-2．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式1-3．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 类型二、奇偶性结合单调性解不等式 利用单调性、奇偶性解不等式的两种模型： （1）解f(m)<f(n)型不等式： ①利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如f(m)<a)，那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解． （2）f(x)为奇函数，形如f(m)+f(n)<0的不等式的解法： 第一步：将f(n)移到不等式的右边，得到f(m)>-f(n)； 第二步：根据f(x)为奇函数，得到f(m)>f(-n)； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解． 例2．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2-1．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2-2．设奇函数在上为单调递减函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式2-3．已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 类型三、单调性结合对称性比较大小 比较大小的常用方法： 利用单调性比大小； 搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系； 数形结合比大小。 【技巧方法】 利用函数的单调性比较大小，常常需要借助于对称性将研究对象转化到同一区间上比较大小。 例3．已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 变式3-1．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（     ） A． B． C． D． 变式3-2．已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（     ） A． B． C． D． 变式3-3．定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（     ） A． B． C． D． 类型四、单调性结合对称性解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 注：利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 【技巧方法】 利用函数的单调性解不等式，常常需要借助于对称性将研究对象转化到同一区间上利用函数单调性列出不等式（组）求解。 例4．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 变式4-1．已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（     ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 类型五、奇偶性结合单调性解决恒成立和有解问题 一般先判断函数的奇偶性，再判断在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例5．已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 变式5-1．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 变式5-3．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ． 变式5-4．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并加以证明． (2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 变式5-5．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 变式5-6．已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 类型六、奇偶性结合单调性、对称性解决综合性问题 利用函数的奇偶性及对称性将所研究的函数在所需区间的单调性确定下来，进而研究问题解决问题。 例6．已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式6-1．设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式6-1．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 变式6-2．（多选）若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．在上是增函数 C． D．关于的不等式的解集为 变式6-3．已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 类型七、函数新定义 三类常见函数： 1.高斯函数 (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 2.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 3.最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 例7．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 变式7-1．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（     ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 变式7-3．（多选）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 变式7-4．（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 1.若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（     ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4.德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（     ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 5.已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，则下列说法正确的是（     ） A．函数关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D． 7.（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（     ） A． B． C． D．在上单调递减 8.（多选）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（     ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 9.已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 10.已知函数，若，则x的取值范围为 ． 11.已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是________________ 12.已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 13.已知定义域在R上的函数满足：，且当时，． (1)证明函数在定义域上的单调性； (2)证明函数在定义域上奇偶性； (3)若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 14.已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 函数的综合应用 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、奇偶性结合单调性比较大小 类型二、奇偶性结合单调性解不等式 类型三、单调性结合对称性比较大小 类型四、单调性结合对称性解不等式 类型五、奇偶性结合单调性解决恒成立和有解问题 类型六、奇偶性结合单调性、对称性解决综合性问题 类型七、函数新定义 压轴专练 类型一、奇偶性结合单调性比较大小 单调性定义的等价形式： (1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数: ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)<0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，. (2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数: ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)>0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，. 2、函数奇偶性定义的变形形式判断函数奇偶性： 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： 如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； 如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 【技巧方法】 1.综合使用奇偶性和单调性，往往能判断出函数在定义域内各个区间的单调性. 2.通过利用偶函数的性质，往往可以将研究对象转化到同一区间上比较大小. 例1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解. 【解析】因为对任意的有 所以函数在区间上单调递减， 所以，又因为函数是偶函数， 所以. 故选：A 变式1-1．已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【解析】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又， 所以，即. 故选：D. 变式1-2．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【解析】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调减函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图像关于直线对称，∴， 又函数在上为单调减函数，∴， 即，∴， 故选：C. 变式1-3．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A. 类型二、奇偶性结合单调性解不等式 利用单调性、奇偶性解不等式的两种模型： （1）解f(m)<f(n)型不等式： ①利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如f(m)<a)，那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解． （2）f(x)为奇函数，形如f(m)+f(n)<0的不等式的解法： 第一步：将f(n)移到不等式的右边，得到f(m)>-f(n)； 第二步：根据f(x)为奇函数，得到f(m)>f(-n)； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解． 例2．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【解析】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 变式2-1．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【解析】由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 变式2-2．设奇函数在上为单调递减函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数单调性和，时的正负分布，再根据奇函数的对称性判断时的正负分布，最后化简不等式为，结合函数值的正负分布即得到满足不等式的x的解. 【解析】依题意在上为单调递减函数，， 可知，时，时， 又是奇函数，图象关于原点中心对称，故时，时， 不等式，即，故，即， 所以时，需，即；时，需，即. 综上，不等式的解集为：. 故选：B. 变式2-3．已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由题设可得该函数为上的增函数且为奇函数，而原不等式可化为，故可求不等式的解. 【解析】设，则， 其定义域为，定义域关于原点对称，故为上的奇函数， 不妨设，故，即， 故为上的增函数，故为上的增函数. 又 ， 故即，所以， 故，故原不等式的解集为. 故选：B. 类型三、单调性结合对称性比较大小 比较大小的常用方法： 利用单调性比大小； 搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系； 数形结合比大小。 【技巧方法】 利用函数的单调性比较大小，常常需要借助于对称性将研究对象转化到同一区间上比较大小。 例3．已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【解析】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 变式3-1．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【解析】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 变式3-2．已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得函数在上单调递减，由得函数关于直线轴对称，从而转化为同一个区间利用单调性解决. 【解析】由，时，得函数在上单调递减， ， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离）， （最靠近）， 所以. 故选：A 变式3-3．定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出图象关于直线对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可. 【解析】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 故选：A. 类型四、单调性结合对称性解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 注：利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 【技巧方法】 利用函数的单调性解不等式，常常需要借助于对称性将研究对象转化到同一区间上利用函数单调性列出不等式（组）求解。 例4．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【解析】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 变式4-1．已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【解析】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 变式4-2．已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 变式4-3．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【解想】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 类型五、奇偶性结合单调性解决恒成立和有解问题 一般先判断函数的奇偶性，再判断在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例5．已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在上为增函数，从而可得对恒成立，进而得到，从而求解即可. 【解析】对任意的 ，且都有成立， 不妨设 ，则，故函数在上为增函数， 由对恒成立，所以对恒成立， 所以，即，，解得 . 所以实数的取值范围是. 故答案为：． 变式5-1．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，分离参数求解出的取值范围. 【解析】因为，且为奇函数， 所以， 又因为函数在上为增函数，所以对恒成立， 所以对恒成立， 令，令，则， 易知在单调递增. 故，由于，所以. 故选：B. 变式5-2．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数满足，且定义域为R， 所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增， 故可以变为，即， 当时，； 当时，可得． 又，当且仅当时取等号， 所以，解得， 故选：B． 变式5-3．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，得，即，然后构造函数，令，由基本不等式可求出其最大值，从而可求出a的取值范围. 【解析】因为是定义在R上的偶函数， 所以由，得， 因为在上单调递增，所以恒成立， 所以，令， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，得或， 即a的取值范围为， 故答案为：. 变式5-4．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并加以证明． (2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；(2) 【分析】（1）先化简函数解析式，利用奇函数的定义求得的值，再判断单调性利用定义证明； （2）根据的奇偶性和单调性解抽象不等式，转化为二次型不等式恒成立问题，再用分离参数法可求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， ， 因为为奇函数，所以， 所以， 则 所以； 函数，在上单调递增. 下面用单调性定义证明： 任取，且，则 因为在上单调递增，且，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递增. （2）因为为奇函数，所以， 由得， 即， 由（1）可知,函数在上单调递增， 所以， 即不等式 对一切恒成立, 则， 又，所以当时，取最大值，最大值为， 所以要使恒成立，则， 所以的取值范围为. 变式5-5．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据，分别是偶函数和奇函数列方程组求解； （2）将问题转化为的值域是在区间上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解. 【解析】（1）因为，分别是偶函数和奇函数， ①， 所以，即② ①-②可得，即， ①+②可得，即. 所以，； （2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为， 又容易得在区间上的值域为 由题可知，的值域是在区间上值域的子集. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 所以，得. 当时，在区间上单调递减， 所以，. 所以，得， 所以实数的取值范围是. 变式5-6．已知函数为偶函数，且时，. (1)求时，的解析式； (2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)或. 【分析】（1）由函数的奇偶性求出函数在上的解析式； （2）换元法求出时函数的最值，结合函数的奇偶性得到在上的值域为，结合题目条件得到的值域是的值域的子集，分和，两种情况，结合的单调性得到相应的值域，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1）时，， 所以， 因为为偶函数，所以， 则，； （2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同， 当时，， 令，则，， 所以函数化为，， 所以时，；时，， 即在上的值域为. 又对，，使得成立， 所以的值域是的值域的子集， ①当时，在上的值域为 则，解得 ②当时，在上的值域为， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为或. 类型六、奇偶性结合单调性、对称性解决综合性问题 利用函数的奇偶性及对称性将所研究的函数在所需区间的单调性确定下来，进而研究问题解决问题。 例6．已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【解析】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 变式6-1．设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的对称性和单调性，再结合函数的零点，即可求解不等式. 【解析】函数向右平移1个单位得到函数， 由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为， 因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数， 且，根据对称性可知，，在区间， 在区间，， 上图是满足函数性质的图象， 不等式，等价于或，即或， 得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 变式6-1．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【解析】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式6-2．（多选）若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．在上是增函数 C． D．关于的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断． 【解析】由定义域为R的函数满足为奇函数，得， 因此函数关于对称，由对任意，都有， 得在上递增，由函数的对称性知，在上递增，因此在R上是增函数，B正确； 显然，则的图象关于点不对称，A错误； 由关于对称，得，C错误； 显然，又在R上单调递增，则由，得，D正确． 故选：BD 变式6-3．已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【解析】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 类型七、函数新定义 三类常见函数： 1.高斯函数 (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 2.狄利克雷函数 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 3.最值函数 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 例7．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【解析】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 变式7-1．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解. 【解析】，当且仅当时取等号， 由可得， 所以，故， 故选：C 变式7-2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（     ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【解析】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确． 故选：ABD 变式7-3．（多选）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 变式7-4．（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 1.若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为函数是奇函数，所以， 由可得，即， 又因为函数是定义在R上单调递增函数， 所以. 故选：D 2.已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数是周期为4的函数，且在内单调递增，在内单调递减，然后利用周期和单调性即可求解. 【解析】根据题意，函数满足，， 则有，变形可得， 则有，即函数是周期为4的周期函数， 对称轴为，在内单调递增，所以在内单调递减，，， 因为，所以，即. 故选：B. 3.已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【解析】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 4.德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（     ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【解析】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数， 所以，故没有零点，A错误， 对于B，因为，所以， 故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以， 故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数， 所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确， 故选：D. 5.已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是奇函数，∴即恒成立， 即， 则，解得， 又∵，∴，则， 所以， ，是奇函数， 因为在是单调递减函数， 在是单调递增函数， 由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减； 由恒成立得， 可得恒成立， 则，即恒成立， 所以恒成立，解得， 故选：B. 6.（多选）已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，则下列说法正确的是（     ） A．函数关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D． 【答案】ABD 【分析】由对称性定义结合题目条件可得函数对称性，即可得A、D；结合函数单调性与对称性可得B、C. 【解析】对A：由，则关于对称，故A正确； 对B：由对任意，总有，故在上单调递增， 又关于对称，故在上单调递减，故B正确； 对C：由题可得，故C错误； 对D：由，令，则，故D正确. 故选：ABD. 7.（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（     ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可. 【解析】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减， 由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误． 故选:ABC． 8.（多选）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（     ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【解析】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 9.已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【解析】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10.已知函数，若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【解析】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 11.已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是________________ 【答案】 【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案. 【解析】不妨设，则， 由， 可得， 即， 所以在R上单调递增. 由可得，， 即对任意恒成立， 所以， 整理可得， 解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 12.已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别令，，，可求出，即可判断函数的奇偶性，再根据对，都有可判断函数在上的单调性，即可得出函数在上单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】在中， 令，得， 令，得， 令，，得， 又的定义域为，所以为偶函数， 又对，都有， 即对，都有， 所以在上为减函数，所以在上为减函数， 又，，为偶函数， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13.已知定义域在R上的函数满足：，且当时，． (1)证明函数在定义域上的单调性； (2)证明函数在定义域上奇偶性； (3)若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减，证明过程见解析;(2)奇函数，证明过程见解析;(3) 【分析】（1）先令，得到，再令且，得到，得到答案； （2）令得，得到答案； （3）根据函数的奇偶性和单调性变形为在上有解，根据单调性求出的值域，从而求出实数的取值范围. 【解析】（1）在R上单调递减，理由如下： 中，令得， 解得， 故，即， 令且， 则，故在R上单调递减； （2）为奇函数，理由如下： 因为，令得， 故为奇函数； （3）因为，使得关于的不等式成立， 又由（2）知为奇函数， 所以， 又由（1）知在R上单调递减， 故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增， 故，故只需， 实数的取值范围是 14.已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为；在上是增函数;(2);(3)． 【分析】（1）根据奇函数的性质和得到的解析式，然后根据解析式判断单调性即可； （2）根据奇偶性和单调性解不等式即可； （3）将对任意的，都有转化为在区间上，，然后根据单调性得到最值，最后解不等式即可. 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 经检验符合题意，则函数的解析式为； 函数在上是增函数． （2）由于奇函数在上是增函数， 则不等式，即为， 即有，解得，则有， 即等式的解集为． （3）因为对任意的，都有， 等价于在区间上，， 又在区间（）是增函数， 得，， 从而由， 解得或． 所以的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $