3.3一元一次方程的应用（比例分配问题专练）2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

3.3 一元一次方程的应用 （比例分配问题专练）2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册 一、单选题 1．甲、乙、丙三种商品单价的比是，已知甲商品比丙商品的单价多12元，则三种商品的单价之和为 A．75元 B．90元 C．95元 D．100元 2．为了保护生态环境，某山区县将该县某地一部分耕地改为林地，改变后林地和耕地面积共有180平方千米，其中耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为平方千米，则根据题意，列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．平行四边形的周长为48，相邻两边长的比为3：5，则这个平行四边形的较短的边长为（　　） A．18 B．30 C．15 D．9 4．如图，C、B是线段上的两点，，、分别是、的中点，且，则的长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 5．元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 6．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60、80、100平方厘米．现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5，则甲杯内水的高度变为多少厘米？（     ） A．5．4 B．5．7 C．7．2 D．7．5 二、填空题 7．将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为，则扇形最大圆心角的度数为 ． 8．茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 9．缤果奶茶店的一种饮品是由果汁原液和纯净水按一定比例配制而成，其中购买1吨果汁原液的钱可以购买20吨纯净水．由于今年果汁价格上涨30%，纯净水价格也上涨了10%，导致配制的这种饮品价格上涨26%，问这种饮品果汁与纯净水的配制比例是 ． 10．经调查，某校学生上学所用的交通方式中，选择“自行车”、“公交车”、“其它”的比例为7：3：2，若该校学生有3200人，则选择“公交车”的学生人数是 人． 11．用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 三、解答题 12．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，看看用尽不差争，�三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，请问先生明算者，算来寺内几多僧． 13．饺子源于古代的角子，饺子原名“娇耳”，一个饺子皮加馅就可以做一个饺子．中国北方还流行一种面食—合子，含有团团圆圆的美好寓意，在两层饺子皮中间加一层馅，就可以包成一个合子． “元旦”这天，妈妈走进书房对正在学习的小刚说；“妈妈刚才在厨房包饺子，结果面和多了，做了106个饺子皮，最后包的饺子和合子一共是98个．”小刚说：“妈妈，我能用学过的数学知识列一元一次方程，求出妈妈包的饺子和合子分别是多少．”请你写出小刚的解答过程． 14．下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 15．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 16．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人. （1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处? （2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人? 17．某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表， 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 80 100 售价（元/件） 160 240 设其中甲种商品购进x件 (1)若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若设该商场售完这200件商品的总利润为y元． ①求y与x的函数关系式； ②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设甲商品的单价为6x，则乙商品的单价为5x，丙商品的单价为4x，根据甲商品比丙商品的单价多12元，列出方程，解方程求出x的值，即可得甲、乙、丙三种商品的单价，相加即可求三种商品的单价之和. 【详解】解：设甲商品的单价为6x，则乙商品的单价为5x，丙商品的单价为4x，根据题意得 6x-4x=12, 解得x=6, ∴三种商品的单价之和为 6x+5x+4x=15x=156=90（元）. 故选B. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出相等关系列出方程. 2．B 【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：林地面积+耕地面积=180km2，耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为平方千米，则林地面积为(180-x)平方千米，再由耕地面积是林地面积的25%，列方程即可． 【详解】解：设耕地面积为xkm2，则林地面积应该表示为平方千米，依题意得， 故选：B 【点睛】此类题目的解决需仔细分析题意，找准关键描述语：林地面积和耕地面积共有180km2，耕地面积是林地面积的25%．进而利用方程即可解决问题． 3．D 【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长． 【详解】解：设平行四边形较短的边长为3x， ∵相邻两边长的比为3：5， ∴相邻两边长分别为3x、5x， ∴2(3x+5x)=48， 解得x=3，即3x=9. 所以这个平行四边形的较短的边长为9，故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质. 根据性质，设出未知数，列出方程是解题的关键. 4．C 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程的应用，找出线段之间的数量关系是解题关键．设，则，，进而得到，，再结合线段的中点，得到，，最后利用的长，求出，即可得到答案． 【详解】解：设，则，， 所以，， 因为、分别是、的中点， 所以，， 因为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选C． 5．C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 6．C 【详解】试题解析：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x， 根据题意得：60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x， 解得：x=2．4， 则甲杯内水的高度变为3×2．4=7．2（公分）． 故选C． 考点：一元一次方程的应用． 7．/144度 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角，四个圆心角的度数之和等于360°． 设它们的圆心角的度数分别为x，，，，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设它们的圆心角的度数分别为x，，，，则 ， 解得：， ∴ ， 即扇形最大圆心角的度数为． 故答案为：． 8． 【分析】设配制比例为，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为，由题意得： 解得x=， 则原来每千克成本为： ＝12（元）， 原来每千克售价为：（元） 此时每千克成本为：（元）， 此时每千克售价为：（元）， 则此时售价与原售价之差为：（元）． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 9．1：5 【分析】设这种饮品果汁与纯净水的配制比例为，购买一吨纯净水的价格是，那么购买1吨果汁原液的价格就是，根据今年果汁价格上涨，纯净水价格也上涨了，导致配制的这种饮品价格上涨，可列出方程求得比例． 【详解】解：设这种饮品果汁与纯净水的配制比例为，购买一吨纯净水的价格是， 由题意，得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查理解题意能力，关键是设出三个未知数，其中一个能约去，以配置后得成本价做为等量关系可列出方程求解． 10．800 【分析】设选择“公交车”的学生人数是3x，则自行车的有7x，其他的有2x，根据该校学生有3200人，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】设选择“公交车”的学生人数是3x，根据题意得： 7x+3x+2x＝3200， 解得：x＝ ， 则选择“公交车”的学生人数是×3＝800人； 故答案为800 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 11． 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据长方形的宽为米，长是宽的倍，可以用含的代数式表示出长，然后根据长方形的周长（长宽），可以列出相应的方程． 【详解】解：∵长方形的宽为米，长是宽的倍， ∴长为米， ∵用一根米长的绳子围出一个长方形， ， 故答案为： 12．624 【分析】设寺内有x名僧人，读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，即可列出方程，解出即可． 【详解】设寺内有x名僧人，由题意得 解得：x=624． 即寺内有624名僧人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题中的诗句，找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案． 13．妈妈包的饺子和合子分别是90个和8个 【分析】设妈妈包了个饺子，则合子为个，结合题意列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设妈妈包了个饺子，则合子为个 根据题意得： ∴ ∴ ∴妈妈包的饺子和合子分别是90个和8个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，并运用到实际生活中，从而完成求解． 14．12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 15．(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 16．（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各89人，乙处7人 【分析】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值； （2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程：．解此方程后即得调往乙处的人数，进而求出调往甲处多少人． 【详解】解：（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人， 列方程得：      解得：x=17 （2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程： ∴ ∴ ∵，y<m,m，y均为整数 当m=91时：（舍去） 当m=92时： 当m=93时：（舍去） 当m=94时：（舍去） 当m=95时：（舍去） 当m=96时： 当m=97时：（舍去） 当m=98时：（舍去） 当m=99时：（舍去） 综上所述：当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各89人，乙处7人 答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各89人，乙处7人 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 17．(1)购进甲种商品105件，乙种商品95件． (2)．该商场获得的最大利润为22000元． (3)商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据数量关系列出关于x的一元一次方程；找出y关于x的函数关系式；根据一次函数的系数分类讨论． （1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，由总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论； （2）①根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式； ②根据总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的单调性即可解决最值问题； （3）根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论． 【详解】（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，根据题意得：， 解得：， （件）． 答：购进甲种商品105件，乙种商品95件． （2）①由已知可得：．即 ②由已知得：， 解得：， ，在x取值范围内单调递减， 当时，y有最大值，最大值为． 故该商场获得的最大利润为22000元． （3）， 即，其中． ①当时，，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值， 即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大． ②当时，，， 即商场应购进甲种商品的数量满足的整数件时，获利都一样． ③当时，，，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值， 即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $