专题05 整式乘法与因式分解（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 整式乘法与因式分解 3大高频考点概览 考点01 整式的乘除 考点02 乘法公式 考点03 因式分解 地 城 考点01 整式的乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京东城区·期末)下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·北京西城区·期末)下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 4．(24-25八上·北京大兴区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解即可． 【详解】解．A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 故选：D． 5．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可． 本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，不符合题意；     B. ，此选项错误，不符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项正确，符合题意； 故选：D． 6．(24-25八上·北京丰台区区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意； B．，故B选项计算错误，不符合题意； C．，故C选项计算正确，符合题意； D．，故D选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到的展开式中一次项的系数． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ， ∴的展开式中一次项的系数是． 故答案为：． 8．(24-25八上·北京西城区·期末)已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则直接求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25八上·北京东城区·期末)计算：． 【答案】 【分析】根据题意，先算乘方，再算乘除，然后合并同类项即可． 本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 【详解】解： ． 11．(24-25八上·北京第二中学·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握积的乘方，多项式除以单项式法则是解题的关键．先根据积的乘方，多项式除以单项式法则计算，再合并，即可求解． 【详解】解： 12．(24-25八上·北京朝阳区·期末)已知，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式是解题的关键． 根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可． 【详解】解： ． ， ． 原式． 13．(24-25八上·北京西城区·期末)计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查分式的化简求值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ， 当时，原式． 14．(24-25八上·北京第二中学·期末)在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 地 城 考点02 乘法公式 一、单选题 1．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据放置冰块部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 放置冰块部分的面积为 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、二次降价均为．记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，方案③的产品价格为．若，，则 （填“”“”或“”）；若，均为正数，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式表示式，整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，，表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，即可比较，的大小，再同样表示出，结合整式的混合运算，完全平方公式的运用，作差法比较大小，即可解题． 【详解】解：记产品原价为， 若，， 则， ， ， 若，均为正数， 则， ， ， ， 又，均为正数， ， ， 故答案为：，． 3．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有 ．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 【分析】根据图1、图2与正方形A、正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 又图1，图2中阴影部分的面积分别为4， ，，即， ， 即， 因此①正确； ， 因此②正确； ，，， ，， ，， ， 即正方形A与正方形B的面积差为16， 因此③正确； 由于，即正方形A的边长为5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 4．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八上·北京东城区·期末)已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键．先根据已知条件和等式的性质求出，再根据乘法公式进行化简，最后把代入进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 则原式 ． 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则进行计算，即可解题． 【详解】解： ． 7．(24-25八上·北京朝阳区·期末)已知，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式是解题的关键． 根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可． 【详解】解： ． ， ． 原式． 8．(24-25八上·北京海淀区·期末)（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）11 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意完全平方公式的使用． （1）先算乘方，再算乘除法即可； （2）先运用完全平方公式及多项式乘多项式的法则将式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ 原式． 9．(24-25八上·北京第二中学·期末)在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 10．(24-25八上·北京大兴区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先用乘法公式计算，然后根据整式的加减运算化简，然后将代入求解即可． 【详解】解： ∵， ∴原式 ． 11．(24-25八上·北京大兴区·期末)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图分别看成一个小正方形的面积和正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，进而列出等式即可求得答案； （2）用四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，即可得解． 【详解】（1）解：图中正方形的边长为，面积为； 还可以表示为：正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，即， ∴由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是 故答案为：，，； （2）解：如图， 四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积， ∴四边形的面积为， 故答案为． 12．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 13．(24-25八上·北京丰台区区·期末)求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算并求值；先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 地 城 考点03 因式分解 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期末)下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，选择答案即可． 【详解】解：A、，右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，符合题意； C、，从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 3．(24-25八上·北京第二中学·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用完全平方公式因式分解，即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25八上·北京朝阳区·期末)在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 5．(24-25八上·北京西城区·期末)分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式乘法与因式分解 3大高频考点概览 考点01 整式的乘除 考点02 乘法公式 考点03 因式分解 地 城 考点01 整式的乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京东城区·期末)下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京西城区·期末)下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京海淀区·期末)如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 4．(24-25八上·北京大兴区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·北京丰台区区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是 ． 8．(24-25八上·北京西城区·期末)已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 9．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算： ． 三、解答题 10．(24-25八上·北京东城区·期末)计算：． 11．(24-25八上·北京第二中学·期末)计算：． 12．(24-25八上·北京朝阳区·期末)已知，求的值． 13．(24-25八上·北京西城区·期末)计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 14．(24-25八上·北京第二中学·期末)在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 地 城 考点02 乘法公式 一、单选题 1．(24-25八上·北京第二中学·期末)如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、二次降价均为．记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，方案③的产品价格为．若，，则 （填“”“”或“”）；若，均为正数，则，，的大小关系是 ． 3．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有 ．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 4．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 三、解答题 5．(24-25八上·北京东城区·期末)已知：，求代数式的值． 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)计算：． 7．(24-25八上·北京朝阳区·期末)已知，求的值． 8．(24-25八上·北京海淀区·期末)（1）计算：； （2）已知，求的值． 9．(24-25八上·北京第二中学·期末)在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 10．(24-25八上·北京大兴区·期末)已知，求代数式的值． 11．(24-25八上·北京大兴区·期末)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 12．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算：． 13．(24-25八上·北京丰台区区·期末)求值：，其中． 地 城 考点03 因式分解 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期末)下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八上·北京第二中学·期末)分解因式： ． 三、解答题 4．(24-25八上·北京朝阳区·期末)在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 5．(24-25八上·北京西城区·期末)分解因式： (1) (2) 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $