专题04 三角形全等综合（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 三角形全等综合 1大高频考点概览 考点01 三角形全等综合 地 城 考点01 三角形全等综合 一、解答题 1．(24-25八上·北京大兴区·期末)在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接． (1)如图，若， ①当时，则________，________； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明； (2)如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系． 2．(24-25八上·北京西城区·期末)在中，，点D在边上，．点E在的边上或内部，连接，． (1)如图1，当点E在边上时，连接． ①________°； ②求证：； (2)如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 3．(24-25八上·北京第二中学·期末)在等边中，点是线段上一点（不与点，重合），作射线，点关于射线的对称点为点，直线交射线于点． (1)如图1，补全图形，若，求的度数； (2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 4．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如图，是等边三角形，点在线段的延长线上，连接，设．点关于直线的对称点为点，连接.在线段上取一点，使，延长交于点． (1)补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 5．(24-25八上·北京朝阳区·期末)已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． (1)如图，若点在上，，则______； (2)如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 6．(24-25八上·北京海淀区·期末)在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形全等综合 ☆1大高频考点概览 考点01三角形全等综合 目目 考点01 三角形全等综合 一、解答题 1.(24-25八上北京大兴区期末)在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=,点B关于直线AC的对称点为点 D,连接AD,以AD为边，作等边ADE,且点E与点B在直线AD的同侧，作射线BE,交直线AC于点 F,连接DF. B 图1 图2 (1)如图1，若30°<<60°， ①当=50°时，则∠BAE= °，∠AFB= ②用等式表示线段FA,CF与EF之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若60°<a<90°，直接用等式表示线段FA,CF与EF之间的数量关系. 【答案】(1)①40,60；②FA=2CF+EF,证明见解析 (2)FA+FE=2CF 【分析】(1)①由点B关于直线AC的对称点为点D,得∠DAC=∠BAC=50°，AB=AD,由△ADE是 等边三角形，得∠EAC=60°-50°=10°，AE=AD=AB,进而d∠BAE=∠BAC-∠EAC=40°， ∠ABE=70°，从而即可得解；②在FA上截取FG,使FG=EF,连接EG·先证∠AFB=60°，进而得 △EFG是等边三角形，FG=EF=EG,∠GEF=60°，从而证明△AEG≌aDEF,再利用直角三角形的性 质即可得解； (2)先证∠AFB=60°，进而得△EFG是等边三角形，FG=EF=EG,∠EFG=∠AFB=60°，从而证明 △AEG≌△DEF,再利用直角三角形的性质即可得解： 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(I)解：①：点B关于直线AC的对称点为点D, .∠DAC=∠BAC=50°，AB=AD, :△ADE是等边三角形， ∠EAC=60°-50°=10°，AE=AD=AB, 六∠BAE=∠BAC-∠EAC=40,∠ABE=∠AEB=180°-∠B1E=70, 2 ∠AFB=180°-∠ABE-∠BAC=60°， 故答案为：40,60； ②FA=2CF+EF.理由如下： 在FA上截取FG,使FG=EF,连接EG. B D E :点B与点D关于直线AC对称， .AB=AD,FB=FD, ∠BAC=∠DAC=a. :△ADE是等边三角形， AE=AD=ED,∠EAD=∠AED=60°， AB=AE,∠BAE=2a-60°， ∠ABE=∠AEB=120°-Q. :∠ABE=120°-a,∠BAF=a, .∠AFB=60°，o FG=EF, :△EFG是等边三角形， FG=EF=EG,∠GEF=60°， ∠AEG=∠DEF. 在△AEG和△DEF中， 2/15 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=DE ∠AEG=∠DEF EG=EF ∴.△AEG≌△DEF, .AG=DF. :∠BCF=180°-∠ACB=90°，∠BFC=60°， ∠FBC=30°， ∴DF=FB=2CF, .FA=FG+AG=FE+DF FE+2CF. (2)解：FA+FE=2CF·理由如下： 在AF的延长线上截取FG,使FG=EF,连接EG, G :点B与点D关于直线AC对称， .AB=AD,FB=FD, .∠BAC=∠DAC=a. :△ADE是等边三角形， ∴AE=AD=ED,∠EAD=∠AED=60°， AB=AE,∠BAE=2U-60°， .∠ABE=∠AEB=120°-a. :∠ABE=120°-a,∠BAF=a, ∠EFG=∠AFB=60°， FG=EF, :△EFG是等边三角形， FG=EF=EG,∠GEF=∠AED=60°， ∠AEG=∠DEF. 在△AEG和△DEF中， 3/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=DE ∠AEG=∠DEF EG=EF ∴△AEG≌△DEF, .AG=DF. :∠BCF=180°-∠ACB=90°，∠BFC=60°， ∠FBC=30°， ∴DF=FB=2CF, .AG=BF FA+FG=2CF. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形的 内角和定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质， 轴对称的性质是解题的关键， 2.(24-25八上·北京西城区·期末)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AC上，CD=AB.点E在 ABC的边上或内部，连接CE、DE,∠ECD=∠CAB,∠EDC=∠ACB. E 图1 图2 (1)如图1，当点E在边BC上时，连接BD. ①∠ACB= ②求证：DE=BD; (2)如图2，当点E在ABC的内部时，用等式表示线段CE,BC,AC的数量关系，并证明. 【答案】(1)①45②见解析 (2)AC=CE+BC 【分析】(1)①根据三角形内角和定理结合题意即可求得∠ACB=45°； ②根据题意易证AB=BC,即得出BC=CD,结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求出 ∠CBD=∠CDB=67.5°.由题意可求出∠EDC=22.5°，根据三角形外角性质得出∠CBD=∠BED=67.5°， 即得出DE=BD; 4/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在线段AC上取AF=CE,易证aECD≌△FAB(SAS,得出∠ABF=∠CDE,设∠ABF=∠CDE=x,则 ∠ACB=2x,可求出∠FBC=∠BFC=90°-x,即得出BC=FC,从而得AC=AF+CF=CE+BC, 【详解】(1)解：①∠ABC=90°， ∠C=∠A=180°，90°=45°，即∠4C8=45, 2 ②∠C=∠A, .AB=BC, ∴BC=CD, ÷∠CBD=∠CDB=180°∠C=67.5°. 2 :∠EDC=∠ACB, 2 ∠EDC=22.5°， BED=∠EDC+LC=67.5°， ∠CBD=LBED, .DE BD (2)解：AC=CE+BC, 证明：如图，在线段AC上取AF=CE, B :CD=AB,∠ECD=∠CAB, △ECD≌△FAB(SAS), .ZABF ZCDE. 设∠ABF=∠CDE=x,则∠ACB=2x, ∠A=90°-∠ACB=90°-2x,∠FBC=90°-∠ABF=90°-x ∠BFC=LA+∠ABF=90°-x, ∴.∠FBC=∠BFC, ∴.BC=FC, 5/15 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .AC=AF+CF=CE+BC. 【点晴】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定 和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键 3.(24-25八上·北京第二中学期末)在等边ABC中，点D是线段BC上一点（不与点B,C重合），作射 线AD,点B关于射线AD的对称点为点E,直线CE交射线AD于点F. B D 图1 图2 (I)如图1，补全图形，若LCAD=a,求LAFC的度数； (2)如图2，用等式表示线段AF,CE,2CF之间的数量关系并证明， 【答案】(1)画图见解析，60° (2)AF=CE+2CF,证明见解析 【分析】(1)根据轴对称的基本作图画图即可.连接AE,由∠CAD=a,则∠BAF=60°-Q,利用等边三 角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可. (2)如图，在AF上截取FM使得FM=FC,判定aFMC是等边三角形，证明△AMC≌△BFC,根据对称 性得到FB=FE,代换证明即可. 【详解】(1)解：如图，作BG⊥AD于点G,延长BG到点E,使得BG=GE,连接EC延长，交射线AD 于点F G B C F 连接AE, :ABC是等边三角形， AC=AB=BC,∠BAC=∠ACB=60°， :∠CAD=a,则∠BAF=60°-a, 6/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E :点B关于射线AD的对称点为E, AE=AB,LBAF=∠EAF=60°-a, AC=AB=BC, ·AC=AE,∠EAC=60°-2a, ∠4CE=∠AEc.180P-60-2al-60°+a, 2 :∠AFE=180°-∠FAE-∠AEC=180°-60°+a-(60°+a)=60°. (2)解：线段AF、CF、EF之间的数量关系为AF=CE+2CF,理由如下： 如图，在AF上截取FM使得FM=FC, B :∠MFC=60°， :△FMC是等边三角形， :CM=CF,∠MCF=60°， .∠FCB=∠MCA=60°-∠DCM, CB=CA ∠FCB=∠MCA, CF=CM :.△AMC≌BFC(SAS, .BF=AM, 又根据对称性得到FB=FE, .EF=AM, ∴.EF+CF=AM+CF, 7/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AM MF EF +CF, AF=EF +CF=CE+CF+CF=CE+2CF. 【点晴】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性 质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解 题的关键 4.(24-25八上北京丰台区区期末)如图，ABC是等边三角形，点D在线段CB的延长线上，连接AD,设 ∠DAB=(O°<u<30).点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE.在线段AE上取一点F,使 LDFE=60°，延长DF交AC于点G. ⊙ (I)补全图形，并求∠AGD的度数（用含a的式子表示）； (2)用等式表示线段BD与CG之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)图形见解析，60°+a (2)BD=CG,证明见解析 【分析】(1)按照题意补全图形，求出∠AFG=∠DFE=60°，LCAF=∠BAC-LBAE=60°-a,由三角 形内角和定理即可求出答案； (2)在BC上截取CN=CG,连接GN,证明△CNG是等边三角形，得到CG=NG,∠GVC=60°，证明 △ADB≌△DGN(AAS),得到BD=GN,即可得到结论. 【详解】(1)解：补全图形如下： :点D关于直线AB的对称点为点E, ∠DAB=∠BAE=a, ∠DAE=2a, :∠AFG=∠DFE=60°， :ABC是等边三角形， 8/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAC=60°， :∠CAF=∠BAC-∠BAE=60°-a, LAGD=180°-LCAF-∠AFG=60°+a; (2)BD=CG, 证明：在BC上截取CN=CG,连接GN, :∠C=60°， :△CNG是等边三角形， :.CG=NG,∠GNC=60° ∴.∠DNG=∠DBA=180°-60°=120°， :∠DGC=180°-∠AGD=120°-a,∠C=60°， ∠GDN=180°-∠DGC-∠C=a, .∠GDN=∠BAD=a, :∠DAG=∠DAB+∠BAC=a+60°=∠AGD, .AD=DG, :、△ADB≌△DGN(AAS) .BD=GN, .GN=CG, :BD=CG. 【点晴】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外 角的性质、轴对称的性质等知识，添加辅助线构造等边三角形是解题的关键 5.(24-25八上北京朝阳区期末)已知线段AB与点C,AC=AD,BC=BE,点D,E在直线AB的同则， 点F为DE的中点，连接AF,BF, 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E F D B C B 图1 图2 (I)如图1，若点C在AB上，∠CAD=∠CBE=90°，则∠AFB=°； (2)如图2，若点C在AB下方，∠CAD=a(90°<a<180).写出一个LCBE的度数（用含a的式子表示）， 使得对于任意的点C总有∠FAB+∠FBA=90°，并证明. 【答案】(1)90： (2)180°-a,见解析 【分析】(1)延长AF,BE交于点H,证明△ADF≌△HEF(AAS)得AD=EH,AF=HF,再根据 AC=AD,BC=BE,得AB=BH,进而得BF⊥AH,由此可得∠AFB的度数； (2)当∠CBE=180°-a时，使得对于任意的点C总有∠FAB+∠FBA=90°，延长AF到G,使FG=FA,连 接GE,GB,先证明△GEF≌△ADF(SAS),得∠1=∠D,GE=AD,再证明LC=LGEB,进而证明 △ACB≌△GEB(SAS),则AB=GB,进而得BF⊥AG,则∠AFB=90°，据此可得∠FAB+∠FBA=90°； 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，多边形的内角和，熟练掌握全等三角形的 判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键 【详解】(1)解：延长AF,BE交于点H,如图1所示， H D 2 A C 图1 10/15