专题07 新定义（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题07 新定义 1大高频考点概览 考点01 新定义 地 城 考点01 新定义 一、解答题 1．(24-25八上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） (1)在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； (2)如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； (3)已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 3．(24-25八上·北京第二中学·期末)在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． (3)如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 4．(24-25八上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． (1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； (2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； (3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 5．(24-25八上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 6．(24-25八上·北京西城区·期末)对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． (1)若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； (2)当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； (3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 7．(24-25八上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”． (1)如图，已知，，，，直线过点， ①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”； ②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围． (2)如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围． 8．(24-25八上·北京丰台区区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． (1)已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 新定义 1大高频考点概览 考点01 新定义 地 城 考点01 新定义 一、解答题 1．(24-25八上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 2．(24-25八上·北京朝阳区·期末)在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） (1)在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； (2)如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； (3)已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或； 【分析】（1）求出、、关于y轴的对称点，判断其与y轴的距离，进而得出结果． （2）作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点，则可得，从而得出，根据即可求出t的范围． （3）由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1．分A点在x轴的负半轴上和A点在x轴的正半轴上两种情况讨论．当A点在x轴的负半轴上根据轴对称的性质以及三角形内角和定理可求得． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大为1.由此可得d的范围．同理可求得A点在x轴的正半轴上时的度数和d的范围． 【详解】（1）解：∵点，，关于轴的对称点分别是，，，它们到y轴的距离分别是，，， ∴点、是关于轴的近距对称点，点不是关于轴的近距对称点． 故答案为：， （2）解：作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点， 则，， ∴， ， ， ∵点存在关于直线的近距对称点， ∴， 解得． （3）由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1． ①如图，A点在x轴负半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线OC的距离等于到直线的距离，即， ； ②如图，A点在x轴正半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点H时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线的距离等于到直线的距离，即， ； 综上，的度数为或，且． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质以及三角形内角和定理，分类讨论解答此题的关键． 3．(24-25八上·北京第二中学·期末)在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． (3)如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或， 故答案为：或； （2）①如图所示，直线即为所求 理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵点的坐标为， ∴ ∴ 故答案为：． （3）解：如图所示，∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点， 设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上， ∵，则，是等腰直角三角形， ∴ 即 由（2）可得的美好点与构成以为对角线的正方形， 设以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形为， 如图所示，当取得最大值时，的美好点在正方形的边上， ∵点和点的坐标分别是，， 点， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴，即的最大值为 当美好点在边上时，如图所示， 同理可得 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了几何新定义，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键． 4．(24-25八上·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． (1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； (2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； (3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)的取值范围为且 (3)且 【分析】（1）根据，，得线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，且点B，点C到对称轴的距离为，结合点使得是以为底边的等腰三角形，得到点P在对称轴直线上，当时，得到，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是；当点坐标在下方时，，也符合题意；当点坐标在上方时，，不符合题意；解答即可． （2）设的中点为T，过点D作轴于点M，确定直线为线段OD的垂直平分线，求得其解析式为，确定点，都是等腰点的直角点，列式解答即可． （3）当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G，利用等边三角形的性质，矩形的性质，平移的思想解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴点B，点C到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形， ∴点P在对称轴直线上， ∴点，，都在对称轴直线上， 当时， ∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是，符合题意； 点在下方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，也符合题意； 点在上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，不符合题意； 故答案为：，． （2）解：设的中点为T，过点D作轴于点M， ∵，， ∴，，，， ∴直线为线段OD的垂直平分线， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点关于线段的90度等腰点在直线上， ∵，，设与x轴的交点为G， ∴，的垂直平分线为直线， ∴点E，点F到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的90度等腰点， ∴点关于线段的90度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角， ∴点，都是等腰点的直角点， ∴或， 解得或， ∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点， ∴的取值范围为， ∵时，E，等腰点，F三点共线， ∴，此时不符合题意， ∴的取值范围为且． （3）解：当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G， ∵点，点在轴正半轴上，满足， ∴，，， 过点C作轴于点F， 则， ∴， 又四边形是矩形， ∴， ∵点为轴上的动点，存在点关于线段的60度等腰点， ∴是的一半， ∴， 当向上平移n个单位时，此时； 当向下平移n个单位时，此时； 根据定义得， 当时，T，N，H三点共线，不符合题意， 故， ∴且． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求解析式，平移思想的应用，对称问题，勾股定理，熟练掌握新定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 5．(24-25八上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； （2）解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； （3）解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 6．(24-25八上·北京西城区·期末)对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． (1)若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； (2)当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； (3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)点和点 (2) (3)①，② 【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可； （2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可． （3）①结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值； ②根据正方形的性质可知四个顶点坐标分别为，，，．设正方形边上一点，其关于直线：的对称点，则正方形四个顶点及对角线交点关于直线∶的对称点的坐标，进一步列出不等式组求解，再结合对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0即可． 【详解】（1）解：将各个点标示在平面直角坐标系中， ∵关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“镜像点”． 故答案为：点和点； （2）解∶求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的， 所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C， 则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C． 此时，直线位于x轴和点C的正中间． 因此，t的最小值为， 故答案为：； （3）解∶ ①由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为， 那么，过点的直线为， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点A时，t的最大值为；当过点C时，t的最小值为， 故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为． ②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为，，，． 如果设正方形边上一点，过点P作交直线：于点B，则点，连接，结合直线和对称性即可知， 那么，点关于直线：的对称点． ∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线：的对称点的坐标分别为，，，，， ∵正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，并且正方形位于直线的右下方， ∴对称正方形的左边顶点的横坐标不小于，对称正方形的上面顶点的纵些标不大于1， 即，解得， 同时，对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0(不能在x轴以下)，即，解得， 综上，t的取值范围为． 【点睛】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质，等腰三角形的性质和正方形的性质，解一元一次不等式方程组，解题的关键是在新定义“镜像点”下结合对称轴的性质和正方形的性质找到对称点和不等式组． 7．(24-25八上·北京大兴区·期末)在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”． (1)如图，已知，，，，直线过点， ①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”； ②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围． (2)如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)）①；② (2)， 【分析】本题主要考查了解不等式及不等式组，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）①根据关于直线的“对称形”的定义求解即可；②由①直线为，利用轴对称得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，从而得不等式组，，求解即可； （2）由直线过点，得直线为，进而得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，进而列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①∵直线过点， ∴直线为， ∵，， ∴线段为的一部分，且， ∵直线为，，， ∴，，关于直线的对称点分别为，， ∴在线段上，，都不在线段上， ∴线段是点关于直线的“对称形”； 故答案为：； ②由①直线为， ∵， ∴关于直线的对称点为， ∵四边形是点关于直线的“对称形”， ∴在四边形上， ∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵直线过点， ∴直线为， ∵， ∴关于直线的对称点为， ∵四边形是点关于直线的“对称形”，， ∴在四边形上， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴和的取值范围为：，． 8．(24-25八上·北京丰台区区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． (1)已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据“双轴对称图形”的含义求解即可； ②求出M、N关于轴，直线的“双轴对称图形”的对应点的坐标，则可得线段关于点成中心对称，借助图形求出线段的端点与在y轴上时，s的值，即可求得s的范围； （2）设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为，当第一象限的角平分线与的边有交点时，此交点到两坐标轴的距离相等，结合图形即可求解t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵直线过点且与轴垂直， ∴直线为直线； ∵点关于轴对称的坐标为，点关于直线对称的点坐标为， ∴点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为； 故答案为：； ②由点M、N的坐标知，点M、N分别在平行于y轴的直线上， ∵点M、N关于轴对称的点的坐标分别为，这两点关于直线对称的对应点的坐标分别为， 由于线段与的中点都为， ∴线段关于点成中心对称， 如图，当线段的端点在y轴上时，则，此时； 当线段的端点在y轴上时，则，此时； 综上，当时，线段与y轴有公共点； （2）解：设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为； ∵点E向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点F， ∴直线与第一象限的角平分线平行； ∵，且， ∴是等腰直角三角形，并且点G在第一象限的角平分线上； 如左图，当的顶点M在第一象限的角平分线上时，则点M到两坐标轴的距离相等， 此时点F在边上，且恰好为的中点， ∵的中点坐标为， ∴， ∴； 如右图，当点E向左平移，点P恰好在第一象限的角平分线上时，只要把左图中点P向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度即可，相应地，点E也向左平移2个单位长度， ∴； 综上，当时，关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点． 【点睛】本题考查了坐标与轴对称，等腰三角形的判定，平移的性质，角平分线的性质等知识，理解新定义、数形结合是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $