第三章 概率的进一步认识 单元复习检测试卷 2025-2026学年 北师大版九年级上册数学

第三章 概率的进一步认识 单元复习检测试卷 (时间120分钟，满分120分) 一、选择题（共12小题；共36分） 1. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是 A. 频率等于概率 B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 试验得到的频率与概率不可能相等 2. 有 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 ，，，，．随机抽取 张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是 A. B. C. D. 3. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是 A. B. C. D. 4. 在一个暗箱里放有 个除颜色外其他完全相同的球，这 个球中红球只有 个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 ，那么可以推算出 大约是 A. B. C. D. 5. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时“参加社会调查”的概率为 A. B. C. D. 6. 现有 ， 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字 ，，，，， ），用小莉掷 立方体朝上的数字 ，小明掷 立方体朝上的数字 来确定点 ，那么他们各掷一次所确定的点 落在已知直线 上的概率为 A. B. C. D. 7. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是 A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是 ①试验条件不会影响某事件出现的频率． ②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同． ③如果一枚殷子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等． ④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的机会相同． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③ 9. 在一个不透明的盒子里有 个分别标有数字 ，， 的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出 个球不放回，再摸出 个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 A. B. C. D. 10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是 A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有 个红球和 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 11. “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如 ，，）．任取一个两位数，这个两位数是“上升数”的概率是 A. B. C. D. 12. 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题；共24分） 13. 一不透明的口袋里装有白球和红球共 个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次模拟试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在 左右，则口袋中红色球可能有   个． 14. 在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同红色、黄色、白色小球各 个，从袋中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是  ． 15. 有 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 ．随机抽取 张后，放回并混合在一起，再随机抽取 张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是 ． 16. 聪明的小明借助谐音用阿拉伯数字戏说爸爸舅舅喝酒：，，，，，，（大意是：爸邀舅吃酒，爸吃六两酒，舅吃八两酒，爸爸动怒，舅舅动武，舅把爸衣揪，误事就是酒），请问这组数据中，数字 出现的频率是  ． 17. 连续掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的概率是  ． 18. 如果任意选择一对有序整数 ，其中 ，，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于 的方程 有两个相等实数根的概率是  ． 三、解答题（共7小题；共60分） 19. （10分）如图所示的牌面数字分别是 ，，， 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是  ； （2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是 的概率是  ； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 的倍数的概率． 20. （8分）小华和小军做摸球游戏， 袋中装有编号为 ，， 的三个小球， 袋中装有编号为 ，， 的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若 袋摸出的小球的编号与 袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗?请说明理由． 21. （8分） 甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有 张相同的纸牌，它们分别标有数字 ，，，．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是 的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗?请列表格或画树状图说明理由． 22. （8分）一个口袋中放有 个球，其中红球有 个，白球和黑球各有若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别． （1）小王通过大量、反复的试验（每次取 个球，放回搅匀后再取第 个），发现取出黑球的频率稳定在 左右，请你估计口袋中黑球的个数； （2）若小王取出的第 个球是白球，将它放在桌面上，闭上眼睛从口袋中余下的球中再任意取出 个球，取出红球的概率是多少? 23. （12分）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了 名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩 （单位：分）均满足“”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中 的值为  ； （2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩 在“”所对应扇形的圆心角度数为  度； （3）此次比赛共有 名学生参加，若将“”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀”的学生大约有  人； （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为 分，若从成绩在“”和“”的学生中任取 人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率． 24. （8分）某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定顾客每购买 元的商品，就可随机 抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”就可以分别获得 元、 元、 元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券 元．小明购买了 元的商品，他看到商场公布的前 张奖券的抽奖结果如下表所示． （1）求“紫气东来”奖券出现的频率； （2）抽奖和直接获得购物券这两种方式哪种更合算?请说明理由． 25. （6分）某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派 名同学参加预赛，依据各参赛选手成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）． （1）统计表中，  ，  ． （2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为 分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率． 答案 第一部分 1. B 2. A 【解析】本题考查概率、三角形三边关系．由题意知，随机抽取 张有 种结果：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，根据三角形三边关系，能组成三角形的有 种，故概率为 ． 根据排列组合得出从 个数中任抽 个（不重复）的结果是解决本题的关键． 3. B 4. A 【解析】过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 ，可以估计摸到红球的概率是 ，那么解方程 可得 ，故选A 5. A 6. C 7. B 8. B 9. A 10. D 11. B 12. B 第二部分 13. 14. 15. 【解析】本题考查了概率的计算，列表如下： 从表格中可以看出所有等可能的情况一共有 种，第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的可能情况有 种，因此概率为 ． 16. 17. 18. 第三部分 19. （1）       （2）       （3） 根据题意，画树状图： 由树状图可知，共有 种等可能的结果：，，，，，，，，，，，，，，，．其中恰好是 的倍数的共有 种：，，，， 所以，． 20. 列表如下 共有 种等可能结果，其中 袋中数字减去 袋中数字为偶数有 种等可能结果． ； 则小军胜的概率为 ． ， 不公平． 21. 不公平，根据题意列表如下： 所有等可能的情况有 种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是 的倍数的情况有：，，，，，共 种， 所以 ，， 则该游戏不公平． 22. （1） 出黑球的频率稳定在 左右，即可估计取出黑球的概率稳定为 ，袋中黑球的个数为 个；       （2） 由于白球的数目减少了 个，故总数减小为 ，所以取出红球的概率增加了，变为 ． 23. （1）       （2）       （3）       （4） 设成绩在“”的两名学生用 ， 表示，“”的两名学生用 ， 表示，小明用 表示， 根据题意可画出树状图： 或列表： 由上图（或上表）可知，共有 种等可能的结果，其中小明被选中的结果有 种， ． 24. （1）       （2） 平均每张奖券获得的购物金额为 ． ， 选择抽奖更合算． 25. （1） ； 【解析】由图可知： 八（）班学生成绩分别为：，，，，，，，，，， 八（）班的众数为：，即 ， 八（）班学生成绩分别为：，，，，，，，，，， 从小到大排列为：，，，，，，，， ， 八（）班的中位数为：，即 ． 故答案为：；．       （2） 设八（）班 分的学生分别为 ，，八（）班 分的学生分别为 ，，． 可知共有 ，，，，，，，，， 种情况， 其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有 ，，，，，，共 种， 另外两个决赛名额落在不同班级的概率为 ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $