专题05 概率的进一步认识重难点题型汇编(六大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题05 概率的进一步认识重难点题型汇编 【考点01：几何概率】..................................................................................................................1 【题型02：列举法求概率】.......................................................................................................2 【考点03：列表法与树状图法求概率】................................................................................2 【考点04：游戏的公平性】.......................................................................................................3 【考点05：频率】............................................................................................................................4 【考点06：用频率估计概率】....................................................................................................5 【考点01：几何概率】 1．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是几何概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， 指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定．先证明是等腰直角三角形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，进而求出，由此求出阴影部分面积，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设正方形的的边长为a， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． ∴小鸟在花圃上的概率为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：作辅助线如下图，根据题意，设阴影面积为：，总面积为， 小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，利用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大正方形的面积比即可． 【详解】解：∵，大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是； 故答案为： 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【考点02：列举法求概率】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查列表法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两枚硬币落地后，朝上一面的情况有：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正），共4种等可能的结果，其中落地后朝上一面相同的情况有2种， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率；可得共有4种等可能的结果，其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现的所有等可能情况有正反，正正，反反，反正，共4种， 其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果， ∴出现一正一反朝上的可能性是， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是列举出所有可能的试验结果，再确定符合条件的结果数，进而根据概率公式计算概率． 确定同时抛掷三枚硬币的总结果数（8种）；找出“两个正面，一个反面”的结果数（3 种）；利用概率公式"概率所求情况数总情况数"计算得． 【详解】同时抛掷三枚硬币，每枚硬币有正（H）、反（T）两种结果，总共有种可能的结果． “两个正面，一个反面”的情况共有3种：． 因此，所求概率为，对应选项C． 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10，共4种， 其中构成直角三角形的有6，8，10共1种， ∴从中任取三条能构成直角三角形的概率是． 故选：B． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有可能的结果求概率是解题的关键． 由题意知，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，前两位选手抽走2号题、7号题，则第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果， ∴抽中8号题的概率为， 故选：C． 6．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 【考点03：列表法与树状图法求概率】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：依题意，画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到红色小球的结果有1种， 两次都取到红色小球的概率为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）学校在世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．李华去学校图书馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算的方法是解题的关键． 根据列表法解题即可． 【详解】解：分别用表示《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》， 用列表法列举出所有可能： 第一次第二次     一共有12种等可能的情况，恰好选中《九章算术》和《西游记》为，只有一种， ∴概率为：． 故选：A ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）某公园有东门、南门、北门三个门，小李和小张随机从一个门口进入公园游玩，则小李和小张从同一个门进去的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得小李和小张随机从一个门口进入公园游玩的所有等可能的结果，再找出小李和小张从同一个门进去的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小李和小张随机从一个门口进入公园游玩共有9种等可能的结果，其中，小李和小张从同一个门进去的结果有3种， 则小李和小张从同一个门进去的概率是， 故答案为：． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知电流在一段时间内正常通过电子元件的概率是 0.5（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：如图： ， 画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的情况有种， 故在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率为， 故答案为： 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； （2）解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 6．（2024·湖北·模拟预测）为丰富学生课余生活，某校开设社团活动．将该校七年级学生参加社团人数情况按四大类整理，并绘制成统计图如下（不完整）．在七年级社团展示活动中，社团成员有1名男生和1名女生获得校级音乐一等奖，另有2名男生和1名女生获得校级美术一等奖． (1)该校七年级参加社团的学生共 人； (2)求参加“音乐社团”所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； (3)现要分别从音乐、美术校级一等奖获得者中各选取1名参加市级艺术节活动，请你用画树状图或列表法求出恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1) (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形图与扇形图，利用树状图求解随机事件的概率． （1）由参加美术社团的人数除以其百分比可得总人数． （2）先求解参加“音乐社团”的人数，再进一步求解参加“音乐社团”所对应扇形的圆心角的大小，补全图形即可． （3）先画树状图得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， 该校七年级参加社团的学生共人． （2）解：参加“音乐社团”的人数为：（人）， ∴参加“音乐社团”所对应扇形的圆心角的度数为：， 补全图形如下： ． （3）解：画树状图如下： ∴共有6种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为3，所以刚好是一男生一女生的概率为． 7．（2024·广东·二模）三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． (1)乙先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为奇数的概率为________； (2)用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率， （1）由甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为奇数的有2种，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的情况，再利用概率公式即可求得答案；解题的关键是掌握计算概率的公式：概率等于所求情况数与总情况数之比，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【详解】（1）解：∵甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为奇数的有2种； ∴抽到的卡片上数字为奇数的概率为， 故答案为：； （2）画树状图得： ∵共有种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有种情况， ∴他们抽到相同数字卡片的概率为：． 【考点04：游戏的公平性】 1．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 2．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】这个游戏规则对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种，再由概率公式分别求出双方获胜的概率，比较大小即可． 【详解】解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44， 其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种． ∴一方胜的概率为，另一方胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）现有一个不透明的袋子，袋中的四个小球分别标记数字1，2，3，5．这四个小球除标记的数字外，其余完全相同．先由小明从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后小华再从袋中随机摸出一个球． (1)请用列表法或画树状图的方法，列出小明、小华两人取得数字的所有结果； (2)若两人取得的数字的积为偶数，则小明获胜，否则小华获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【答案】(1)见解析 (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意可以画出相应的树状图，即可得解； （2）根据画出的树状图，即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【详解】（1）解：列树状图如下所示： ； （2）解：公平，在第（1）问的基础上进行计算，有： ，，，，，， ，，，，，． 共12种可能的结果，其中，积为偶数的个数有6个，所以小明和小华各获胜的概率为． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人卡片数字和为5的结果数，然后根据概率公式计算； （2）找出和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种，再计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较两概率大小可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：（1）画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两人卡片数字和为5的结果数为2， 所以两人卡片数字和为5的概率； （2）不公平． 理由如下： 和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 因为， 所以该游戏对双方不公平． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种， ，因此游戏不公平． 【考点05：频率】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【考点06：用频率估计概率】 1．（七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，本选项符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）盒子里装有除颜色外都相同的5个黑球和若干个白球，摇匀后从中随机取出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复试验40次，其中10次取到黑球，估计盒子中白球的个数是（    ） A．15个 B．20个 C．25个 D．28个 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量，根据题意，求出摸出黑球的概率，进而求出总数量，再用总数量减去黑球的数量即可． 【详解】解：由题意，得，摸到黑球的概率为， ∴球的总量为：个， ∴白球的数量为：个； 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为，抽到黑球概率为， ∴该球最有可能是黄球， 故选：C． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【答案】D 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题． 【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选：D． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 7．（23-24九年级下·河北石家庄·阶段练习）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 【答案】6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 8．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中160次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 【答案】 【分析】本题考查利用概率求数量，解题的关键是利用频率估计概率．设里面有个白球，利用频率估算概率，利用概率公式求出的值即可． 【详解】解：由题意，可得摸出黑球的概率约为：， 设盒子里有个白球，则：，解得：， 经检验是方程的解， 即估计盒中大约有白球12个． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 10．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______；（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)80000棵 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）（棵） 答：估计还需要移植80000棵． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率的进一步认识重难点题型汇编 【考点01：几何概率】..................................................................................................................1 【题型02：列举法求概率】.......................................................................................................2 【考点03：列表法与树状图法求概率】................................................................................2 【考点04：游戏的公平性】.......................................................................................................3 【考点05：频率】............................................................................................................................4 【考点06：用频率估计概率】....................................................................................................5 【考点01：几何概率】 1．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为 ． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【考点02：列举法求概率】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【考点03：列表法与树状图法求概率】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）学校在世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．李华去学校图书馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）某公园有东门、南门、北门三个门，小李和小张随机从一个门口进入公园游玩，则小李和小张从同一个门进去的概率是 ． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知电流在一段时间内正常通过电子元件的概率是 0.5（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B 之间电流能够正常通过的概率是 ． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 6．（2024·湖北·模拟预测）为丰富学生课余生活，某校开设社团活动．将该校七年级学生参加社团人数情况按四大类整理，并绘制成统计图如下（不完整）．在七年级社团展示活动中，社团成员有1名男生和1名女生获得校级音乐一等奖，另有2名男生和1名女生获得校级美术一等奖． (1)该校七年级参加社团的学生共 人； (2)求参加“音乐社团”所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； (3)现要分别从音乐、美术校级一等奖获得者中各选取1名参加市级艺术节活动，请你用画树状图或列表法求出恰好是1名男生和1名女生的概率． 7．（2024·广东·二模）三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． (1)乙先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为奇数的概率为________； (2)用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 【考点04：游戏的公平性】 1．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 2．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）现有一个不透明的袋子，袋中的四个小球分别标记数字1，2，3，5．这四个小球除标记的数字外，其余完全相同．先由小明从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后小华再从袋中随机摸出一个球． (1)请用列表法或画树状图的方法，列出小明、小华两人取得数字的所有结果； (2)若两人取得的数字的积为偶数，则小明获胜，否则小华获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【考点05：频率】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【考点06：用频率估计概率】 1．（七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）盒子里装有除颜色外都相同的5个黑球和若干个白球，摇匀后从中随机取出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复试验40次，其中10次取到黑球，估计盒子中白球的个数是（    ） A．15个 B．20个 C．25个 D．28个 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 7．（23-24九年级下·河北石家庄·阶段练习）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 8．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中160次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 9．（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 10．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______；（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $