培优01 与概率相关的类型题（7大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

培优01 与概率相关的类型题（7大题型） 题型1 几何概率  将概率转化为几何度量比：长度比（线段）、面积比（平面图形）、体积比（立体空间）；关键：明确样本空间与事件区域的几何度量，确保随机点均匀分布。 示例：圆内投点求落在扇形概率 = 扇形面积 ÷ 圆面积． 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的计算方法计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了几何概率．分别求出转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率即可得到答案． 【详解】解：A.阴影部分的面积占圆的面积的； B.阴影部分的面积占圆的面积的； C.阴影部分的面积占圆的面积的； D.阴影部分的面积占圆的面积的， ∵， ∴转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是A选项中的转盘， 故选：A. 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，利用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大正方形的面积比即可． 【详解】解：∵，大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是； 故答案为： 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示的是可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止时指针落在白色区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本是考查的是简单事件的概率问题，掌握概率的计算方法是解决此类问题的关键．白色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在白色区域的概率． 【详解】解：指针落在白色区域内的概率， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，其会徽为“超越”．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，通过精确测量计算，会徽图案面积约为，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算，由会徽图案的面积除以长方形的面积即可． 【详解】解：由题意可得：长方形的面积为， ∴会徽图案的面积为：， ∴雪花落在会徽图案上的概率约为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期中）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”如图，指针落在谷雨区域的概率是为 ． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中谷雨区域有1份，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中谷雨有1份， ∴指针落在谷雨区域的概率是：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出所以标有偶数的区域的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：转盘被分成了8等份，其中2个区域标有数字“3”， 所以指针指向数字3的概率． （2）解：因为2和4是偶数，2个区域标有数字“2”，3个区域标有数字“4”，所以标有偶数的区域有5个， 所以指针指向的数字为偶数的概率． 题型2 列举法求概率 穷举所有等可能结果：适用于样本较少的事件（如骰子点数）； 步骤：①罗列全部基本事件；②圈出目标事件；③概率 = 目标事件数 ÷ 总事件数； 注意：有序事件区分（如(1,2)与(2,1)不同）． 11．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率；可得共有4种等可能的结果，其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现的所有等可能情况有正反，正正，反反，反正，共4种， 其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果， ∴出现一正一反朝上的可能性是， 故选：B． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是列举出所有可能的试验结果，再确定符合条件的结果数，进而根据概率公式计算概率． 确定同时抛掷三枚硬币的总结果数（8种）；找出“两个正面，一个反面”的结果数（3 种）；利用概率公式"概率所求情况数总情况数"计算得． 【详解】同时抛掷三枚硬币，每枚硬币有正（H）、反（T）两种结果，总共有种可能的结果． “两个正面，一个反面”的情况共有3种：． 因此，所求概率为，对应选项C． 故选：C． 13．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 14．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、列举法求概率等知识点，确定数的总个数和凹数的总个数成为解题的关键． 在100～999这900个三位数中，由共有900个三位数，凹数的总个数570个，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c可从这10个数字中任取1个，有10种选择：此时，凹数个数小计90个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除110、111这2个，此时，凹数个数小计88个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除120、121、122、220、221、222这6个，此时，凹数个数小计84个：； 若b=3，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除130、131、132、133、230、231、232、233、330、331、332、333这12个，此时，凹数个数小计78个：； … 若b=9，凹数个数小计0个：； ∴在100～999这900个三位数中，凹数总个数为； 所以从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是：． 故答案为：． 16．（2025·安徽马鞍山·三模）某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，根据题意列举出所有的等可能性的结果数，再找到两枚芯片编号的差值超过2的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，一共有1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的差值超过2的只有1、4这种情况， ∴两枚芯片编号的差值超过2的概率是， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，由于花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，则列举、、种植凤仙花、木槿、月季的可能结果，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：三个花坛种植花卉的等可能结果有6种，按顺序分别为 ①凤仙花、木槿、月季； ②风仙花、月季、木槿； ③木槿、凤仙花、月季； ④木槿、月季、凤仙花； ⑤月季、凤仙花、木槿； ⑥月季、木槿、风仙花． 其中凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果共有4种， （凤仙花与木槿两种花卉相邻）． 故答案为：． 18．（2025·湖北十堰·模拟预测）小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D；同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·江西九江·期中）某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． （2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 20．（2025·江苏南京·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 题型3 用树形图求概率  分层展开多步骤事件：从初始事件分支，每层表示一步操作，标出各路径概率（如放回抽取每次概率独立）；目标概率 = 符合条件路径概率之和（路径概率 = 各段概率乘积）． 21．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家，先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的2位都是中国数学家的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选取的2位都是中国数学家的结果数为6， 所以选取的2位都是中国数学家的概率． 故选：C． 22．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)据图中信息求出___________，___________； (2)补全条形统计图： (3)已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【答案】(1)100，35 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数即可补全图形； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：∵被调查的总人数人， ∴支付宝的人数所占百分比，即， 故答案为：100，35； （2）网购人数为人， 补全图形如下： （3）根据题意画树状图如下： 共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）某省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文，数学，外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门． (1)首选科目选择物理的概率为 (2)某同学物理成绩优异，首选科目为物理，现还需从再选科目中任意选择两门，请用画树状图或列表的方法，求出该同学恰好选中化学、地理两科的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由概念公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择化学和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门， 选择物理的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种结果，并且各种结果的可能性相同，其中该同学恰好选中化学、地理两科记为事件A，共有2种结果． ∴ 24．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有四个礼品盒， ∴妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种， 剩下的是A，D两款摆件的概率是． 25．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同．将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球上所标的汉字，记为一次试验． (1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是__________； (2)若小尹从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率． 【答案】(1) (2)摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率为 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）列表展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从中摸出一个球，球上的汉字恰好是“爱”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 我 爱 中 国 我 （我，爱） （我，中） （我，国） 爱 （我，爱） （爱，中） （爱，国） 中 （我，中） （爱，中） （中，国） 国 （我，国） （爱，国） （中，国） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果有2种， 摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率为． 26．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去． (1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵在内道门处设有A，B两个出入口， ∴小字经过内道门时，从B口出去的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种， ∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为． 题型4 用列表法求概率  双维表格处理复合事件：适用于两个关联试验（如摸两球）；表头行列分步事件，单元格填有序结果（如(A,B)）；概率 = 目标结果数 ÷ 总单元格数。优势：直观展示所有组合，避免遗漏． 27．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 故答案为：． 28．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）春节档，各大影片争相上映，2024年也不例外，上映了A：飞驰人生、B：热辣滚烫、C：第二十条、D：熊出没等多部影片．元旦这天，小明和小凯都想去看电影，假设他们分别从以上四部影片中随机选择一部． (1)小凯看到第二十条的概率为______． (2)请利用列表或画树状图的方法，求小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握古典概型的概率计算公式以及用列表法求概率是解题的关键． （1）小凯从四部影片中随机选一部，每部影片被选中的可能性相同，所以直接用第二十条这一部影片的数量除以影片的总数量，即可得到小凯看到第二十条的概率； （2）要计算小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率，需要先列出所有可能的选择结果，然后找出符合条件的结果数量，最后用符合条件的结果数量除以所有可能的结果数量．这里使用列表法来列出所有可能的结果． 【详解】（1）解：∵ 总共有4部影片，第二十条是其中1部， ∴ 小凯看到第二十条的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小明\小凯 ∵ 共有16种等可能的结果，其中小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫（B），一人看飞驰人生（A）”的结果有2种，即和， ∴ 小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率为． 29．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． (1)李老师选择座位的概率是 ； (2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或树状图法求概率，关键是求出所有等可能的结果及事件发生的等可能结果； （1）李老师选择第二排空座位的所有可能结果有3种，选择座位只有1种结果，由此即可求得概率； （2）列表求出所有可能结果，两位老师刚好坐同一列的所有可能结果， 【详解】（1）解：由题意知，李老师选择座位的概率为； 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表知，所有等可能的结果共有9种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有2种，则这两位老师刚好坐在同一列的概率为； 答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明随机从4个空位选择一个空座位坐下，选择1号空座位的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小明 小军 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中小明和小军坐在不相邻位置的结果有种， ∴两人坐在不相邻位置的概率为． 31．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为___________． (2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及通过列表法或树状图法列举所有可能结果是解题的关键． （1）根据概率公式，用小艺同学的数量除以总人数即可得到抽到小艺同学的概率． （2）通过列表法列出所有可能的抽取结果，再找出两名同学均来自相同班级的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：∵总共有名同学，小艺同学是其中名 ∴随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 故答案为：． （2）解：所有可能如下： 小贤 小晴 小艺 小志 小贤 （小晴，小贤） （小艺，小贤） （小志，小贤） 小晴 （小贤，小晴） （小艺，小晴） （小志，小晴） 小艺 （小贤，小艺） （小晴，小艺） （小志，小艺） 小志 （小贤，小志） （小晴，小志） （小艺，小志） 由表可得所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，符合要求的结果共有4种， ∴P（两位同学来自相同班级）． 32．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 【答案】(1)摸出的球上面标的数字为正数的概率是 (2)点M落在四边形内部（含边界）的概率为 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握用列表法或树状图法是解题的关键． （）直接利用概率公式计算可得； （）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 【详解】（1），0，1中，正数有1个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）如图， 列表如下： 0 1 0 1 由表知，共有9种等可能结果，其中点M落在四边形所围成的部分内（含边界）的有：，，，，，这6个， ∴点M落在四边形内部（含边界）的概率为 题型5 统计与概率的综合问题 先统计后概率：①用统计图（频数分布表）求样本总量；②计算目标频数；③概率 = 目标频数 ÷ 总量。关键：验证样本代表性（随机性），补充数据时按比例估算． 33．（24-25九年级上·安徽六安·期末）2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 【答案】(1)40；15 (2)5，6，5 (3)135度 (4) 【分析】本题考查的是扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数的概念，树状图法或列表示求概率． （1）根据题意可得样本容量为40，用40减去另外三个的人数即可得出a的值； （2）根据众数、中位数、平均数的概念即可求解； （3）乘阅读数量为6本的人数所占的比例可得阅读数量为6本的人数对应的圆心角度数； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：样本容量为40， ， 故答案为：40；15； （2）解：∵共有40名同学，中位数是第20、21个数的平均数， ∴中位数是：； ∵6出现了15次，出现的次数最多， ∴众数是6； 这40名同学平均阅读的课外书的数量为（本）， 故答案为：5，6，5； （3）解：， 答：阅读数量为6本的人数对应的圆心角为135度； （4）解：设四名女同学分别用A、B、C、D表示，一名男同学用E表示，画树状图如下； 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好是一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽取为一男一女的概率为． 34．（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： (1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． (2)补全条形统计图； (3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，以及树状图法求概率，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据B等级条形统计图和扇形统计图的数据即可求解，根据C等级所占比例即可求解：然后根据“D等级”的人数所占的百分比即可求出m； （2）计算出A等级的人数即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：参加体能测试的学生共有：（名）； 表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为：； ∴； 故答案为：；，； （2）解：等级的人数为：（人） 补全条形统计图如下： （3）解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种， ∴恰好是一男一女的概率是：． 35．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了名同学（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)根据图中信息求出_________，__________；并补全条形统计图； (2)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ (3)已知、两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【答案】(1),，补全条形统计图见解析 (2)人 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由共享单车人数及其百分比求得总人数，用支付宝人数除以总人数可得其百分比的值，总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （2）用总人数乘以样本中最认可“微信”的人数所占百分比即可得. （3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：，即， “网购”人数为，“微信”对应百分比为， 补全统计图如下： 故答案为：，； （2）解：(人)， 答：大约有人最认可“微信”这一新生事物； （3）解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有种， 所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 36．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】（1）先用旅游地点B的人数除以百分比得到总人数，再利用旅游地点D的百分比即可得到其圆心角度数； （2）求出旅游地点C的人数，补全条形统计图即可； （3）画出树状图得到所有的等可能性的结果，然后找到选中的两人中一定有甲的结果数，最后利用概率公式求解即可得到答案． 此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是关键． 【详解】（1）解：（名），即这次调查一共抽取了名员工； 即旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：50， （2）解：选择旅游地点C的员工数为（名） 补全条形统计图如图①所示． （3）画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中选中的两人中一定有甲的结果有6种，所以选中的两人中一定有甲的概率为． 37．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】(1)50人；；补全条形统计图见解析 (2)80人 (3)；列表法见解析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． （2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． （3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A                B                C                由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 38．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 【答案】(1)40，15 (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值； （2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得； （3）将三位男同学分别记为，一位女同学记为，先画出树状图，从而可得从四位同学（三男一女）中任选两位同学的所有等可能的结果，再找出选中两男的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：参加这次调查的学生人数为（人）， 则， 所以， 故答案为：40，15． （2）解：， 即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为， 故答案为：． （3）解：将三位男同学分别记为，一位女同学记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，从四位同学（三男一女）中任选两位同学共有12种等可能的结果，其中，选中两男的结果有6种， 所以选中两男的概率为， 答：选中两男的概率为． 39．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200，图见解析 (2)这名学生中有人参加了羽毛球社团； (3) 【分析】本题考查的是概率，统计图的应用，熟练掌握统计图和树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出足球所占的比，再用即可确定总人数，用调查总人数减去各个社团人数即可，然后补全统计图即可； （2）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 题型6 游戏公平性问题 核心是比较双方获胜概率：分别计算玩家A、B的获胜概率 PA​ 和 PB​；若PA​=PB​ 则公平，否则不公平；修改规则时需调整事件使概率相等（如重设得分权重）． 40．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】这个游戏规则对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种，再由概率公式分别求出双方获胜的概率，比较大小即可． 【详解】解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44， 其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种． ∴一方胜的概率为，另一方胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 41．（2025·山东青岛·模拟预测）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即．若为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．请用列表法或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】表格见解析，这个游戏对双方公平． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到为奇数和偶数的结果数，据此根据概率计算公式分别计算出演奏《月光下的凤尾竹》和演奏《彩云之南》的概率，进而可得结论． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 由表格可知，一共有8种等可能性的结果数，其中为奇数的结果数有4种，为偶数的结果数有4种， ∴演奏《月光下的凤尾竹》的概率为，演奏《彩云之南》的概率为， ∴这个游戏对双方公平． 42．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 43．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分则有大小、材质完全相同的若干个小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作．若，都是方程的解，则小华获胜；若，都不是方程的解，则小强获胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由． 【答案】(1)列表见解析， (2)这个游戏规则不公平，见解析 【分析】（1）列表得出所有种可能的结果，从中找到小华获胜的结果，计算小华获胜的概率即可； （2）根据（1）的列表，从中找到小强获胜的结果，计算小强获胜概率，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下 4 6 6 共有12种等可能的结果，其中，都是方程的解，共有，，，这4种结果， ∴小华获胜； （2）解：，都不是方程的解，共有，这2种结果， ∴小强获胜． ∵小华获胜小强获胜， ∴这个游戏规则不公平． 44．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． 游戏规则：随机抽取一张卡片记下数字放回，洗匀后再随机抽取一张．将抽取的第一张，第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则小贝获胜；反之小晶获胜． (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)游戏不公平． 【分析】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法以及概率公式，是解题的关键． （1）列表法表示得出共有16种等可能的结果，所组成的两位数恰好为22的结果有4种，再由概率公式求解即可． （2）根据表格，求出概率，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下：                 个位数字 十位数字 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中得到数字22的结果有4种，所以随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率为． （2）解：从表格可以看出共有16种结果，其中两位数不超过32的结果有10种，所以P（小贝获胜）；两位数超过32的结果有6种， 所以P（小晶获胜）． 因为， 所以游戏不公平． 45．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ； (2)小明、小华和小颖利用这个转盘做游戏，采用下列游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之和小于等于3，则小明胜，若两数之和大于等于5，则小华胜，否则小颖胜．你认为这个游戏对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏对小明和小华公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式和列表法与树状图法． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两数之和小于等于3的结果数与两数之和大于等于5的结果数，则可计算出小明胜的概率、小华胜的概率和小颖胜的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏对小明和小华是否公平． 【详解】（1）解：随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率； 故答案为：； （2）解：这个游戏对小明和小华公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两数之和小于等于3的结果数为3，两数之和大于等于5的结果数为3， 所以小明胜的概率，小华胜的概率，小颖胜的概率为， 因为， 所以这个游戏对小明和小华公平． 46．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)本游戏规则不公平，见解析 【分析】（1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． （3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 47．（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 48．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 题型7 用频率估计概率的相关问题 通过大量重复实验（如抛硬币1000次），用事件发生频率估计理论概率P，实验次数越多估计越精确． 49．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：D． 50．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 【答案】C 【分析】本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键． 先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间． A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意； C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为． 故选：C． 51．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色不同外其他都相同；将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有60次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（   ） A．40 B．20 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解在大量重复试验中，频率会趋近于概率，再通过概率与总数量的关系估算红球的个数． 计算摸到红球的频率：摸球次，次摸到红球，频率为；用频率估计概率：红球在总球数中的概率约为；计算红球个数：设红球有x个，由，解得． 【详解】解：根据题意，共摸球次，其中次摸到红球， 则摸到红球的频率为． 由于大量重复试验中，频率可近似看作概率， 因此估计口袋中红球的概率为． 设口袋中红球的个数为已知红球和白球共个， 则， 解得． 故选：D． 52．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 【答案】A 【分析】本题考查频率估计概率，根据概率公式求数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得抽到红色卡片的概率为，进而根据卡片的总数为20张，即可求解． 【详解】解：由题意可得，抽到红色卡片的概率为， 故红色卡片的数量为：（张）， 故选：A． 53．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； （1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可； （2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴石子落在圆内的概率约为； （2）解：设封闭图形的面积为． 根据题意得，解得． 则估计封闭图形的面积为． 54．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 55．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 【答案】(1) (2)①15元；②公司应将前台工作人员裁员1人，理由见解析 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式，求一组数据的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出样本中包裹件数在之间的天数，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）①运用求平均数的公式进行列式计算，即可作答． ②先求出每个范围的频率，再结合该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用，进行列式，求出裁员和不裁员的收入，即可作答． 【详解】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率； （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人． 培优综合练 56．（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 57．（2023·安徽合肥·二模）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 58．（2022·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 59．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 【答案】 【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案． 【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次． ∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的， ∴铜钱的实际面积为（）， ∴铜钱的体积为（）， ∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为， 故答案为：． 60．（2025九年级下·重庆渝中·学业考试）将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，首先分两种情况：①当时，方程组无解；②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得，，再由、都大于0可得，，求出、的范围，列举出，所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 【详解】解：①当时，即时，方程组无解； ②当时，即时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，， 使、都大于0则有，， 解得，或者，， ，都为1到6的整数， 可知当为1时，只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时，无解， 这两种情况的总出现可能有6种； ， 掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为； 故答案为：． 61．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 62．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 63．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 试卷第2页，共63页 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 与概率相关的类型题（7大题型） 题型1 几何概率  将概率转化为几何度量比：长度比（线段）、面积比（平面图形）、体积比（立体空间）；关键：明确样本空间与事件区域的几何度量，确保随机点均匀分布。 示例：圆内投点求落在扇形概率 = 扇形面积 ÷ 圆面积． 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 6．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用图形的面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示的是可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止时指针落在白色区域的概率为 ． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，其会徽为“超越”．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，通过精确测量计算，会徽图案面积约为，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率约为 ． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期中）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”如图，指针落在谷雨区域的概率是为 ． 10．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 题型2 列举法求概率 穷举所有等可能结果：适用于样本较少的事件（如骰子点数）； 步骤：①罗列全部基本事件；②圈出目标事件；③概率 = 目标事件数 ÷ 总事件数； 注意：有序事件区分（如(1,2)与(2,1)不同）． 11．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 16．（2025·安徽马鞍山·三模）某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 17．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示的正五边形的每个顶点为一个花坛，已知花坛分别种植了凌霄、三角梅，在花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉且不重复），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是 ． 18．（2025·湖北十堰·模拟预测）小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 19．（24-25七年级下·江西九江·期中）某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 20．（2025·江苏南京·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 题型3 用树形图求概率  分层展开多步骤事件：从初始事件分支，每层表示一步操作，标出各路径概率（如放回抽取每次概率独立）；目标概率 = 符合条件路径概率之和（路径概率 = 各段概率乘积）． 21．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)据图中信息求出___________，___________； (2)补全条形统计图： (3)已知两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 23．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）某省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文，数学，外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门． (1)首选科目选择物理的概率为 (2)某同学物理成绩优异，首选科目为物理，现还需从再选科目中任意选择两门，请用画树状图或列表的方法，求出该同学恰好选中化学、地理两科的概率． 24．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 25．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同．将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球上所标的汉字，记为一次试验． (1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是__________； (2)若小尹从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率． 我 爱 中 国 我 （我，爱） （我，中） （我，国） 爱 （我，爱） （爱，中） （爱，国） 中 （我，中） （爱，中） （中，国） 国 （我，国） （爱，国） （中，国） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中摸出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果有2种， 26．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去． (1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率． 题型4 用列表法求概率  双维表格处理复合事件：适用于两个关联试验（如摸两球）；表头行列分步事件，单元格填有序结果（如(A,B)）；概率 = 目标结果数 ÷ 总单元格数。优势：直观展示所有组合，避免遗漏． 27．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 28．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）春节档，各大影片争相上映，2024年也不例外，上映了A：飞驰人生、B：热辣滚烫、C：第二十条、D：熊出没等多部影片．元旦这天，小明和小凯都想去看电影，假设他们分别从以上四部影片中随机选择一部． (1)小凯看到第二十条的概率为______． (2)请利用列表或画树状图的方法，求小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率． 29．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等． (1)李老师选择座位的概率是 ； (2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 31．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自九年级（1）班，小志、小晴来自九年级（2）班，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为___________． (2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自相同班级的概率． 32．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 题型5 统计与概率的综合问题 先统计后概率：①用统计图（频数分布表）求样本总量；②计算目标频数；③概率 = 目标频数 ÷ 总量。关键：验证样本代表性（随机性），补充数据时按比例估算． 33．（24-25九年级上·安徽六安·期末）2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 34．（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图信息，回答下列问题： (1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______． (2)补全条形统计图； (3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 35．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了名同学（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)根据图中信息求出_________，__________；并补全条形统计图； (2)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ (3)已知、两位同学都最认可“微信”，同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 36．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 37．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 38．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 39．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 题型6 游戏公平性问题 核心是比较双方获胜概率：分别计算玩家A、B的获胜概率 PA​ 和 PB​；若PA​=PB​ 则公平，否则不公平；修改规则时需调整事件使概率相等（如重设得分权重）． 40．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 41．（2025·山东青岛·模拟预测）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即．若为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．请用列表法或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 42．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 43．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分则有大小、材质完全相同的若干个小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作．若，都是方程的解，则小华获胜；若，都不是方程的解，则小强获胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由． 44．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． 游戏规则：随机抽取一张卡片记下数字放回，洗匀后再随机抽取一张．将抽取的第一张，第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则小贝获胜；反之小晶获胜． (1)求随机抽取两张卡片，恰好得到数字22的概率； (2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平？ 45．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ； (2)小明、小华和小颖利用这个转盘做游戏，采用下列游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之和小于等于3，则小明胜，若两数之和大于等于5，则小华胜，否则小颖胜．你认为这个游戏对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 46．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 47．（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 48．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 题型7 用频率估计概率的相关问题 通过大量重复实验（如抛硬币1000次），用事件发生频率估计理论概率P，实验次数越多估计越精确． 49．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（   ） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 50．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 51．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色不同外其他都相同；将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有60次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（   ） A．40 B．20 C．10 D．15 52．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 53．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 54．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 55．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 培优综合练 56．（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 57．（2023·安徽合肥·二模）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 58．（2022·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 59．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 60．（2025九年级下·重庆渝中·学业考试）将一枚六个面编号分别为的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组只有正数解的概率为 ． 61．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 62．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 63．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 试卷第2页，共63页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$