精品解析：浙江省东阳市2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

东阳市2025学年上学期八年级（上）期中调研卷 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1. 下列四幅剪纸图片，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、C、D项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和必须大于第三边．据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴这三条线段共线，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴这三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； D．∵， ∴这三条线段共线，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 对顶角相等 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据全等三角形的性质、平行线的性质、对顶角相等、实数的平方判断． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，是真命题，不符合题意； D、如果，可能有或，故本选项命题是假命题，符合题意． 故选：D． 4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 5. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 7. 如图，的两条角平分线相交于点O，已知，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，由，求得，由，，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交于点D，E（点D在点E左侧），已知，则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，连接、，根据线段垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角得出，则，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，， ∴， ∵，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 9. 如图，在等边中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，过点作于，根据、分别证明，，，根据全等三角形的性质，结合含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，过点作于， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得． 故选：D． 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 10. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项即可解出不等式． 【详解】解： ， 两边同时加上 3， 得 ． 故答案为： ． 11. 在中，，，则______． 【答案】67.5° 【解析】 12. 如图，在中，，，点D为边上的中点，过点A作于点E，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得出，则，由点D为边上的中点可得的长为． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D为边上的中点， ∴， 故答案为：． 13. 如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可知为等腰三角形，得出，根据三角形内角和，可得出，即可求解． 【详解】解：， ，，， ，， ， ． 故答案为： 14. 如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线和高等知识，根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角的性质求出，根据三角形高的定义得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连结、，交于点，根据题意可知是等边三角形，再利用勾股定理求出的长度，然后可利用边角边证明，得到，根据同位角相等，两直线平行，得出，进一步可得到，最后根据直角三角形斜边大于直角边即可求解． 【详解】解：如下图所示：取的中点，连结、，交于点， 在中，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，构造正确的辅助线是解题的关键． 三、细心答一答（本题共72分） 16. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解为：． 17. 如图，在四边形中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 18. 如图，在中，，是边上的高线，是的角平分线． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是边上的高线， ∴， 又， ∴，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据余角的性质即可得证； （2）根据三角形外角的性质可求出，根据角平分线的定义求出，然后由求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴． 19. 已知：如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC． ∵BO=OD， ∴∠ODB=∠ABC， ∴∠C=∠ODB， ∴OD//AC， ∴OD⊥BE； （2）3 【解析】 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到AE⊥BE，由等腰三角形的性质可证∠C=∠ODB，则OD//AC，即可得到结论； （2）OD⊥BE，根据垂径定理得弧BD=弧DE，则DB=DE=，设OF=x，则DF=-x，利用勾股定理可得BD2-DF2=OB2-OF2，列方程可求出x的值，易证得OF为△BAE的中位线，从而可求AE的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵OD⊥BE， ∴弧BD=弧DE， ∴DB=DE=， ∵AB=5，则OB=OD=， 设OF=x，则DF=-x， ∵BF2=BD2-DF2=OB2-OF2， 即()2-(-x)2=()2-x2， 解得x=， ∵OF//AE，OA=OB， ∴AE=2OF=2×=3． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理．熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 20. 某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】（1） （2）方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【小问1详解】 解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 21. 在等腰三角形中，，是的中点，要求用直尺和圆规在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的作法如下： （1）①作法正确的同学有 ； ②请选择你认为正确的一种作法给出证明． （2）用直尺和圆规以一种不同于上述三位同学的方法在图丁中作出． 【答案】（1）①甲和丙；②证明见详解 （2）图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线与线段垂直平分线的尺规作图 （1）①根据尺规作图、等腰三角形的性质及三角形中位线可进行求解；②若选择甲，则根据尺规作图可知平分，则有，然后问题可求解；若选择丙，由作图可知，则有，进而问题可求解； （2）以点D为圆心，为半径画弧，交于一点E，则问题可求解． 【小问1详解】 解：①由作图可知：甲和丙是正确的； 故答案为甲和丙； ②若选择甲，由作图可知：平分， ∵， ∴，即点E为线段的中点， ∵是的中点， ∴； 若选择丙，由作图可知， ∵， ∴，即点E为线段的中点， ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：所作图形如下： 22. 聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充： 【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段的比值与这个角的两邻边的比值相等． 于是他就和其他同学研究了一番，写出了已知，求证如下： 已知：如图1，中，平分交于点D，求证： 可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示如下： 过点D作， 因为平分，且， 所以________________ 所以_______ 又因为_______ 所以 （1）请你按老师的提示，填空补全证明过程； （2）如图2，在中，，是的角平分线，，，求的长； （3）如图3，在中，是的角平分线，是外角分线交延长线于点E，已知，，求线段的长． 【答案】（1），， （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等面积法等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可； （2）先根据勾股定理求出，然后根据（1）中的结论可得出，即可求解； （3）类似（2）可求出，同（1）可证，则可求，即可求解． 【小问1详解】 解：过点D作，， 因为平分，且，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ∵是的角平分线， ∴由（1）知：， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的角平分线， ∴由（1）知：， ∵，， ∴， ∴，， 过E作于点M，于点N， ∵是外角分线交延长线于点E， ∴， ∴ 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，点D在上且，点E是上一点，连结，交于点F，连结． （1）当时． ①求证：； ②求的度数； （2）当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①证明为等边三角形，可得； ②由题易得，，再求出的度数即可得解； （2）分类讨论，利用含有特殊角的三角形，构造直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：①证明：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴分两种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴， 过E作于点M，则， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，过作于点N， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和、勾股定理、含有的直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东阳市2025学年上学期八年级（上）期中调研卷 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1. 下列四幅剪纸图片，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 对顶角相等 D. 如果，那么 4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的两条角平分线相交于点O，已知，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交于点D，E（点D在点E左侧），已知，则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 如图，在等边中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 10. 不等式的解集是________． 11. 在中，，，则______． 12. 如图，在中，，，点D为边上的中点，过点A作于点E，连接，若，则的长为________． 13. 如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则________． 14. 如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）． 15. 如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为________． 三、细心答一答（本题共72分） 16. 解不等式（组）： （1）； （2） 17. 如图，在四边形中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，在中，，是边上的高线，是的角平分线． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 已知：如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 21. 在等腰三角形中，，是的中点，要求用直尺和圆规在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的作法如下： （1）①作法正确的同学有 ； ②请选择你认为正确的一种作法给出证明． （2）用直尺和圆规以一种不同于上述三位同学的方法在图丁中作出． 22. 聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充： 【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段的比值与这个角的两邻边的比值相等． 于是他就和其他同学研究了一番，写出了已知，求证如下： 已知：如图1，中，平分交于点D，求证： 可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示如下： 过点D作， 因为平分，且， 所以________________ 所以_______ 又因为_______ 所以 （1）请你按老师的提示，填空补全证明过程； （2）如图2，在中，，是的角平分线，，，求的长； （3）如图3，在中，是的角平分线，是外角分线交延长线于点E，已知，，求线段的长． 23. 如图，在中，，，，点D在上且，点E是上一点，连结，交于点F，连结． （1）当时． ①求证：； ②求的度数； （2）当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $