精品解析：辽宁省阜新市细河区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026（上）九年级期中质量检测数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答；在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故设，， ∴． 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为； 故选：A． 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 7. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 8. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，列出方程，进行判断即可． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年投入研发资金为万元，2025年投入研发资金为万元， 由题意，得：； 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 设m，n是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系．根据根与系数关系求出和的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ，， ∴， 故答案为：2024． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意可知每人送出份礼物，再用人数乘以每人送出礼物数等于总的礼物数列出方程即可. 【详解】解：共有x个人参加聚会，每人送出份礼物，得 . 故答案为：. 14. 如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据矩形及尺规作图得，进而得是的垂直平分线，则，由此得，证明是的中位线，得，再根据点E是边的三等分点，则分以下两种情况：时，时，利用勾股定理可进一步求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由尺规作图得：， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的中位线， ，． 当时，如图1． 是边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 当时，如图2． 是BC边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 三、解答题（本题共8小题，16题10分，17题，18题，19题，20题、21题每题8分，22题12分，23题13分，）共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）（用配方法） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ，，， ， ， ，． 17. 为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） 解：人 良好人数为：人， 补全条形统计图如图所示： （2）1200人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算良好类学生数，完善统计图即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，人 答：估计竞赛成绩在良好及以上的学生约有1200人 ． 【小问3详解】 解： 第一人第二人 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由表格可知共产生了12种结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中恰好是一男一女的结果有8种， 所以． 18. 如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： （1）请判断三个说法中正确的是：______（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（2）的条件下，，若，求的长 【答案】（1）①② （2） 证明：选择①：∵，， ∴， 选择②∵，， ∴； （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①②正确；③错误； 故答案为：①② 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得：（负值舍去）． 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元． 【答案】 ①. 1692 ②. 25 【解析】 【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】解：（1）当天盈利：（元）； 故答案为：1692． （2）设每件商品降价x元， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键． 20. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 21. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【小问1详解】 解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； 【小问2详解】 解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 22. （1）正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长，交于点．若，点为的中点，求的长； （2）在矩形中，，，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交直线于点．当时，求的长（若此问仅有一种情况，请简要写出过程并计算出结果；若此问有多种情况，请选择其中一种情况，简要写出过程并计算出结果，其它情况直接写出结果即可） 【答案】 （1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②的长为； （2）的长为或． 当点在中间时， ∵， ∴点为的中点， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当点在延长线上时， ∵， ∴设，，则，， 同理， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∵， 解得，即， ∴， 同理，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【解析】 【分析】（1）①利用即可证明； ②利用直角三角形斜边中线的性质求得，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当点在中间和当点在延长线上时，分别利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， 即的长为； （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明相似三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图像记为G． （1）当时， ①如图1，若点在图像G上，则b的值为______；（直接写出答案） ②如图1，点P在图像G上，设点P横坐标为a，且，由点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别是点E，F，若矩形面积为3，求出a的值； ③如图2，在②条件下，且，由点P作直线交直线于H，交图像G于点B，图像G与直线交于点C，与y轴交于点A．连接，若，则点H坐标为______；（直接写出答案） （2）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）①或②或或；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，函数，①将分别代入两个函数解析式即可求出b的值；②因为点P横坐标为a，且，所以可设，根据矩形面积为3，列方程解方程并取满足的解即可；③在②条件下，且，所以，则，由，可得，因为，则，即为中点，由中点公式可求所求点坐标； （2）分，，三种情况讨论，当，时，可证明都不满足条件；当时，可知最大值必为，再分两种情况讨论最小值可能取在或时，进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，函数， ①点在图像上， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 故答案为：或； ②∵点P横坐标为a，且， ∴， ∵矩形面积为3， ∴， 即或， 解得或（舍去）， ∴a的值为或或； ③∵在②条件下，且， ∴， ∴， 作，， ∵， ∴， ∴， ， ∵， 即， 即， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为中点， ，横坐标为，由中点公式知， 点横坐标为， ∵在直线上，代入得： ， ∴， 由中点公式知，纵坐标为： ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， 如图，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ， ∵， ∴不合题意； 当时， 如图，当时，函数取得最小值， 时，函数取得最大值， ， ∵， ∴不合题意； 当时， 函数最大值取在当时，代入得， 当时，， 当时，， 若，即， 函数取得最小值， 此时， ， ∴不合题意； 若，即时， 函数取得最小值， 此时， ， ∴ 的取值范围是； 综上，满足条件的的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026（上）九年级期中质量检测数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答；在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 8. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 设m，n是方程的两个根，则的值为_____． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 13. 一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 14. 如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为________． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 三、解答题（本题共8小题，16题10分，17题，18题，19题，20题、21题每题8分，22题12分，23题13分，）共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）（用配方法） （2）． 17. 为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通安全知识”的测试，学校抽取了部分学生的测试成绩，把测试成绩x分为四个类别：及格（），中等（），良好（），优秀（），并根据测试成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 据上面图表信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好及以上的学生有多少人？ （3）在本次测试中，获得满分的4人中有2名男生和2名女生，学校从这4名同学中随机选2人参加市中学生“交通安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法求出抽取的2人恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： （1）请判断三个说法中正确的是：______（填序号） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（2）的条件下，，若，求的长 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少___________？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价___________元时，商场日盈利可达到2000元． 20. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 21. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 22. （1）正方形中，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长，交于点．若，点为的中点，求的长； （2）在矩形中，，，点是边上的动点，连接．过点作于点，过点作于点，射线交直线于点．当时，求的长（若此问仅有一种情况，请简要写出过程并计算出结果；若此问有多种情况，请选择其中一种情况，简要写出过程并计算出结果，其它情况直接写出结果即可） 23. 在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图像记为G． （1）当时， ①如图1，若点在图像G上，则b的值为______；（直接写出答案） ②如图1，点P在图像G上，设点P横坐标为a，且，由点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别是点E，F，若矩形面积为3，求出a的值； ③如图2，在②条件下，且，由点P作直线交直线于H，交图像G于点B，图像G与直线交于点C，与y轴交于点A．连接，若，则点H坐标为______；（直接写出答案） （2）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $