精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

2025-2026学年上学期高一数学期中试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，命题，则命题是命题成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（ ） A. f(x)＝x2－2x－1 B. f(x)＝x2－2x＋1 C. f(x)＝x2＋2x－1 D. f(x)＝x2＋2x＋1 6. 设是非零实数，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 8. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立是（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. 10. 已知函数，满足的的值有（ ） A. B. C. D. 11. 对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至多有三个根 D. 函数有最大值为，无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是_____. 13. 已知函数在 上单调递增，则实数的取值范围为_________．（用区间表示） 14. 不等式的解集为，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2） 16. 已知函数定义域为集合，函数的定义域为集合， （1）当时，求； （2）设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数（，，均为常数，），若和3是函数两个零点，且最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）用单调性定义证明：函数在区间上增函数； （3）求在区间上的值域． 19. 已知函数，. （1）若，，求，的最小值； （2）若恒成立， ①求证：； ②若，且恒成立，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高一数学期中试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交的定义即得. 【详解】根据集合的交的定义，由集合，可得：. 故选：B. 2. 设命题，命题，则命题是命题成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】求出命题对应不等式的解集，然后根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：因为命题，即或，又命题， 所以或， 所以命题是命题成立的充分不必要条件， 故选：A. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分数指数幂与根式的互化及分数指数幂的运算法则即可直接求出答案. 【详解】. 故选：B. 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，正实数， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：D. 5. 已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（ ） A. f(x)＝x2－2x－1 B. f(x)＝x2－2x＋1 C. f(x)＝x2＋2x－1 D. f(x)＝x2＋2x＋1 【答案】D 【解析】 【分析】 采用换元法即可求解 【详解】令，则，等价于， 故 故选：D 【点睛】本题考查换元法求解函数解析式，属于基础题 6. 设是非零实数，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边同时平方求出，再根据平方公式将原式化简为，最后代入求出即可； 【详解】解：因为，所以，即，所以， 所以 故选：B 7. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】D 【解析】 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ，， ，，. 故选：D. 8. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可将不等式化为，进而利用单调性得到，解之即可. 【详解】因为为偶函数，且，故， 所以可化为， 又因为在上单调递增， 所以，即，得，即. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断即可. 【详解】对A，若a>b>0，c>d>0，则a+c>b+d，故A正确； 对B，若a>b>0，c>d>0，如，则，故B错误； 对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确； 对D，若a>b>0，c>d>0，则，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，满足的的值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 设，则，再分别计算即可求出参数的值； 【详解】解：设，则 若，则，解得或（舍去），所以，当时，方程无解；当时，，解得或，满足条件； 若时，，即，，方程无解， 故选：AD 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 11. 对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至多有三个根 D. 函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【解析】 分析】根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项. 【详解】由题意可得，， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知，为偶函数，故A正确； 方程有两个解，故B正确； 当时，直线与的图象有4个交点，即此时有4个根，故C错误； 由图可知，的最大值为，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可解答. 【详解】命题“”否定是：. 故答案为： 13. 已知函数在 上单调递增，则实数的取值范围为_________．（用区间表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的图象可知函数的单调区间，从而可列出实数满足的条件，解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】画出分段函数的图象，如图所示， 所以要使函数在上单调递增， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 不等式的解集为，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】当时，即不等式的解集为，则，， 要使得有意义，此时，则； 当时，若不等式的解集为，则，即， 所以，， 因为，则， 当时，则，此时； 当时，则，令，则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的运算性质即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合， （1）当时，求； （2）设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据解分式不等式求出集合；把的值代入得到，由可求出集合，从而可求； （2）通过解含参不等式可求出集合；根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集，从而可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得，即， ∴； 当时，， 由，得或，∴或， ∴或 【小问2详解】 由得， ∴或，∴或， 因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集， ∴或，即或， 所以a的取值范围是或. 17. 已知二次函数（，，均为常数，），若和3是函数的两个零点，且最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立. 【答案】（1） （2）可取（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程组，求得值，即可求解； （2）由（1）得到函数的单调区间，把不等式转化为在区间上恒成立，求得不等式的解集为，结合题意，得到答案. 小问1详解】 解：由函数，且和3是函数的两个零点，最大值为4， 可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由函数表示开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又由不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又由不等式 因为，结合不等式的解法，可得，即不等式的解集为， 要使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立， 则满足，可取区间. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）用单调性定义证明：函数在区间上是增函数； （3）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得时，，且，进而得到函数的解析式； （2）由（1）中函数的解析式，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）由（2）得函数在上是单调递增函数，进而求得函数的值域. 【小问1详解】 解：设，则， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 可得，且， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 证明：任取且， 则 ， 因为且，可得， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. 【小问3详解】 解：由（2）知函数在上为单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 所以， 所以函数在上的值域为. 19. 已知函数，. （1）若，，求，的最小值； （2）若恒成立， ①求证：； ②若，且恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据基本不等式可得最值； （2）①由恒成立，令求解. ②，由恒成立，分 和，讨论求解. 【小问1详解】 若，，则， 当且仅当，即时，取等号， 所以； 【小问2详解】 ①证明：因为恒成立，即恒成立， 所以， 即， 所以， 则， 所以； ②解：， 又， 当时，不等式恒成立， 当时， 所以恒成立. 令，则， 则在上恒成立， 又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $