专题04 等腰三角形与直角三角形（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期北京版

专题04 等腰三角形与直角三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形性质与判定 考点02 等边三角形 考点03 勾股定理 考点04 轴对称 地 城 考点01 等腰三角形性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 二、解答题 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，． 求作：边上的高． 作法如下： （1）延长； （2）以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点，连接； （3）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （4）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （5）连接，交的延长线于点． 所以线段是的边上的高． 根据尺规作图过程，解答下列问题． (1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵， （________________）（填推理的依据）， ∴线段是的边上的高． 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】 （1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】 （2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 4．(24-25八上·北京房山区·期末)已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 地 城 考点02 等边三角形 一、填空题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 4．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ． 二、解答题 5．(24-25八上·北京昌平区·期末)小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… (1)请你按照小明的思路完成证明过程； (2)小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应的点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 6．(24-25八上·北京延庆区·期末)我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在中，，，，． (1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； (2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； (3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 地 城 考点03 勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，平分交于点D，于点若，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，是的高，是的角平分线．，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 8．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在中，，平分，若，，求的长． 9．(24-25八上·北京顺义区·期末)在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 10．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 12．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 地 城 考点04 轴对称 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列是几种著名的数学曲线 蝴蝶曲线 费马螺线 笛卡尔心形线 科赫曲线 其中是轴对称图形的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列是年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·北京燕山·期末)下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·北京房山区·期末)下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 9．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    三、解答题 10．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．直线l过点C且平行于y轴． (1)在图中画出关于直线l对称的，（其中点A，B，C的对称点分别是点，，）； (2)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (3)如果为平面直角坐标系中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（_______，_______）（结果用含a，b的式子表示）． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形与直角三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形性质与判定 考点02 等边三角形 考点03 勾股定理 考点04 轴对称 地 城 考点01 等腰三角形性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上．若为等腰三角形时，，则点C的坐标为（    ） A．，， B．，， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．分情况讨论当作为腰时得到两个符合条件的C点坐标，当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点，求出点C坐标即可． 【详解】解：当作为腰时， ， 或， 当作为等腰三角形的底边时，点C应该在线段的垂直平分线与y轴的交点， ，， ，， ， 在中，， ， 综上分析，或或 故选：A． 二、解答题 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，． 求作：边上的高． 作法如下： （1）延长； （2）以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点，连接； （3）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （4）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （5）连接，交的延长线于点． 所以线段是的边上的高． 根据尺规作图过程，解答下列问题． (1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵， （________________）（填推理的依据）， ∴线段是的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)，，等腰三角形的性质 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）利用直尺和圆规依作法补全图形即可； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）证明：，， （三线合一）， 线段是的边上的高． 故答案为：，，三线合一． 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系．如图1，2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E． 证明：由折叠可得，． 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】 （1）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证：． 如图3，小聪的思路是：在内部作…… 请你根据小聪的思路，完成证明； 证明： 【应用结论】 （2）在三角形中，，平分，点E为边上任意一点（不与点A，点C重合），连接，交于点F．求证：． 【答案】[探究结论]证明见解析；[应用结论]证明见解析 【分析】[探究结论]可得，由得到，即可证明； [应用结论] 在上截取，连接，证明，再运用结论证明． 【详解】[探究结论] 证明：， ． ， ， ； [应用结论] 证明：在上截取，连接． 平分， ． ， ． ，， ． ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的三边关系等知识点，正确运用结论，构造全等三角形是解题的关键． 4．(24-25八上·北京房山区·期末)已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质，由为等边三角形，则，又，可证明，即是等边三角形，再由角平分线和平行线的性质证明，从而求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点02 等边三角形 一、填空题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系求最值： 根据等边三角形可得，那么，即最小值为，根据面积法可得． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是边上的高线，且，E是的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即为， ∵，， ∴， 故答案为：6． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，是等边三角形，是的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质．熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得，再根据等边三角形性质得，得是等边三角形；故②正确；由②得，，进而得出与不全等；故③不正确；关于直线的对称点为，利用对称性得出的最小值等于，故④正确；进而得出结果． 【详解】解：①点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； 故①正确； ②设与交于点， 点D关于直线的对称点为E， ， 点A在线段的垂直平分线上； ， 又， ， 是等边三角形，是的中线， ， ， 又， 是等边三角形； 故②正确； ③由②得， ， ， 与不全等； 故③不正确； ④作如图点，设关于直线的对称点为， 与关于直线对称， ，， 是等边三角形，是的中线， 与关于直线对称， ， ， ， 当点，，三点共线时，为最小值， 即， 故④正确； 故答案为：①②④． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出B、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴B、P、D在同一直线上时，最小，即最小， 是的中点，为等边三角形， ，， ∴， 的最小值， 故答案为：． 二、解答题 5．(24-25八上·北京昌平区·期末)小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是时，角的对边等于斜边的一半，具体探究过程如下． 已知：如图1，在中，， 求证：． 证明：如图2，延长至点D，使得，连接…… (1)请你按照小明的思路完成证明过程； (2)小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6，长为，且整点时刻对应的点都在长方形的边上． ①若2点时对应的点B在长方形的边上，则______； ②若1点时对应的点C在长方形的边上，则______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）延长至点D，使得，连接，证明，再证明是等边三角形，即可求证； （2）①应用结论，2点时，，则，故，那么有勾股定理求解即可；②应用结论，，则由勾股定理得，，解方程即可． 【详解】（1）证明：延长至点D，使得，连接，如上图2， ∵ ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，当B点在宽边上时，依据题意，，， ∴， ∴， ∵长为， ∴，这与题意矛盾，故该情况不成立； 如图，当B点在长边上时， 2点时，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②由上题知2点对应的点在长边上，故1点对应的点也在长边上，如图， 1点时，，而 ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．(24-25八上·北京延庆区·期末)我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在中，，，，． (1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)； (2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________； (3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值． 【答案】(1)①③ (2)，， (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可得所对的角为，根据“关联三角形”的定义即可得答案； （2）分顶角为时，顶角为时，顶角为时三种情况，分别根据“关联三角形”的定义即可得答案； （3）当为直角三角形，且角所对的边为时，根据勾股定理及完全平方公式即可求出最大值为，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，有最大值，此时有最大值，得出是等边三角形，即可求出，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，边上的高最大，则有最大值，根据勾股定理及含角的直角三角形的性质可得，比较即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，所对的角为， ∵图①中角所对的边为，中角所对的边为， ∴图①是的“关联三角形”， ∵图②中角所对的边为，两个锐角都是， ∴图②不是的“关联三角形”， ∵图③中三边都为， ∴图③中三角形为等边三角形，三个角都为， ∴图③是的“关联三角形”， ∵图④中角所对的边不等于， ∴图④不是的“关联三角形”， 故答案为：①③ （2）解：当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 当顶角为时， ∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边， ∴等腰三角形的底边长可以是， 故答案为：，， （3）解：当为直角三角形，且角所对的边为时，设两直角边分别为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知，当时，有最大值，此时有最大值， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当中有一角为，且所对边为时，过点作于， 由图可知：当时，边上的高最大，则有最大值，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质及完全平方公式，正确理解“关联三角形”的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 地 城 考点03 勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，平分交于点D，于点若，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，，根据直角三角形的性质求得，即可得到结论． 【详解】解：，平分交于点D，于点E， ，， ， ， ， ， 故选： 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】或 【分析】根据勾股定理，得，，设点E表示的数为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了勾股定理，数轴上两点间距离，数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得，， 设点E表示的数为， 由点A对应的数是， 根据题意，得， 解得或． 故答案为：或． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②④/④② 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 三、解答题 6．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，是的高，是的角平分线．，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的画法，角平分线的定义和直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：画出的角平分线，如图所示， （2）解：是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ． ∴在中，． 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 8．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在中，，平分，若，，求的长． 【答案】10 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据角平分线性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ∵，平分，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 设， 则， 在中，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25八上·北京顺义区·期末)在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】（）依题意补全图形，由，，得，，再通过同角的余角相等得出， 然后根据“”即可求证； （）由勾股定理得出，再通过等面积法，求出，然后根据勾股定理求出，最后由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图， 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，         ∴，         ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴ ； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，          ∴，      ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了按语句画图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，然后根据“”可判定全等； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 12．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质， 对于（1），根据角平分线的性质得，再结合已知条件根据“斜边直角边”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的性质求出，再根据角平分线的性质求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分，且， ∴． ∴在和中， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 地 城 考点04 轴对称 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列是几种著名的数学曲线 蝴蝶曲线 费马螺线 笛卡尔心形线 科赫曲线 其中是轴对称图形的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知，费马螺线，笛卡尔心形线，科赫曲线三个图形是轴对称图形，蝴蝶曲线不是轴对称图形， 故选C． 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列是年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握此知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项进行判断即可，熟练掌握轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、 是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟知一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：ABD选项中的图形都能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，C选项中的图形找不到这样的直线，能够使折叠之后的两部分互相重合． 故C选项中的图形不是轴对称图形． 故选：C． 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．(24-25八上·北京燕山·期末)下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 8．(24-25八上·北京房山区·期末)下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 二、填空题 9．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    三、解答题 10．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．直线l过点C且平行于y轴． (1)在图中画出关于直线l对称的，（其中点A，B，C的对称点分别是点，，）； (2)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (3)如果为平面直角坐标系中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（_______，_______）（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)；b 【分析】本题考查作图-轴对称变换． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）根据轴对称的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，， 故答案为：；； （3）解：由题意得，点M关于直线l的对称点的坐标是． 故答案为：；b． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $