专题02 实数与二次根式（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期北京版

专题02 实数与二次根式 6大高频考点概览 考点01 平方根、算术平方根与立方根 考点02 无理数与实数 考点03 二次根式的概念与性质 考点04 二次根式的乘除 考点05 二次根式的加减 考点06 整式乘除 地 城 考点01 平方根、算术平方根与立方根 一、单选题 1．(24-25八上·北京通州区·期末)下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 3．(24-25八上·北京通州区·期末)8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 4．(22-23八上·北京石景山区·期末)已知，则 ． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为 ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： 7．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 地 城 考点02 无理数与实数 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 二、填空题 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)写出一个比大且比小的整数为 ． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为 ；a 3（填或）． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)以下各数：，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个）中，其中是无理数的有 个． 三、解答题 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 7．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： (1)； (2)． 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 9．(24-25八上·北京通州区·期末)已知：，求的值． 地 城 考点03 二次根式的概念与性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山区·期末)实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京石景山·期末)若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： ； ． 6．(24-25八上·北京通州区·期末)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．(24-25八上·北京延庆区·期末)若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 三、解答题 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)先化简，再求值：，其中． 9．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 11．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 地 城 考点04 二次根式的乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．(20-21八上·北京昌平区·期末)下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： ； ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 地 城 考点05 二次根式的加减 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算的结果是 ． 4．(22-23八下·北京东城区·期末)若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 三、解答题 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 9．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 11．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 12．(24-25八上·北京通州区·期末)计算． 13．(24-25八上·北京通州区·期末)计算：． 14．(24-25八上·北京顺义区·期末)计算：． 15．(24-25八上·北京通州区·期末)计算：． 地 城 考点06 整式乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京燕山·期末)下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 5．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： . 6．(24-25八上·北京石景山·期末)我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 吨煤所产生的能量． 7．(24-25八上·北京门头沟区·期末)当时，代数式的值为 ． 三、解答题 8．(24-25八上·北京门头沟区·期末)计算：． 9．(24-25八上·北京怀柔区·期末)已知，求代数式的值． 10．(24-25八上·北京门头沟区·期末)阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数与二次根式 6大高频考点概览 考点01 平方根、算术平方根与立方根 考点02 无理数与实数 考点03 二次根式的概念与性质 考点04 二次根式的乘除 考点05 二次根式的加减 考点06 整式乘除 地 城 考点01 平方根、算术平方根与立方根 一、单选题 1．(24-25八上·北京通州区·期末)下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质、平方根及算术平方根，熟练掌握二次根式的性质、平方根及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质、平方根及算术平方根进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 3．(24-25八上·北京通州区·期末)8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据可进行求解． 【详解】解：由可知：8的立方根是2； 故选A． 二、填空题 4．(22-23八上·北京石景山区·期末)已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，得到，，解得，的值，代入，即可求解， 本题考查了，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求代数式的值，解题的关键是：熟练掌握根据非负性，确定代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，算术平方根的求解，根据平方根求得a的值，结合立方根即可求得b的值，进一步求得代数式的算术平方根即可． 【详解】解：∵a的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 则， ∵b是27的立方根， ∴， ∴， 则的算术平方根为， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 7．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 地 城 考点02 无理数与实数 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【答案】D 【来源】北京市平谷区2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，因为，则，再结合数轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 则表示数的点应在O，B之间， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)写出一个比大且比小的整数为 ． 【答案】2答案不唯一 【分析】本题主要考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ，， ∴， 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2答案不唯一 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 【答案】 3 2或8 【来源】 北京市顺义区2024-2025学年八年级上学期期末数学测试试卷 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，新定义运算，解题的关键是理解题意，弄清新定义运算法则．根据新定义运算，列出算式计算即可． 【详解】解：， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解； 综上，的值为8或2； 故答案为：3；2或8． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2，，连接，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为 ；a 3（填或）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用、数轴上点的坐标的表示及实数的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴．根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴正半轴表示的数，再与3比较大小． 【详解】解：在中 以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为， ， ， ． 故答案为：；． 5．(24-25八上·北京通州区·期末)以下各数：，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个）中，其中是无理数的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如每相邻两个之间依次多一个）． 【详解】解：是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，是有理数，是无理数，（每相邻两个之间依次多一个）是无理数， 无理数共有个． 故答案为： ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 7．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式和实数的混合运算、零指数幂、立方根，熟练掌握法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、立方根以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 9．(24-25八上·北京通州区·期末)已知：，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算及因式分解，熟练掌握实数的运算及因式分解是解题的关键；因此此题可把原式变形为，进而代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 地 城 考点03 二次根式的概念与性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山区·期末)实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 2．(24-25八上·北京石景山·期末)若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，据此即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】此题主要考查了必然事件概念以及二次根式的性质，根据二次根式的性质，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则为必然事件， 故答案为：必然事件． 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根数有意义的条件，根据二次根式的被开放数为非负数得到，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质化简，根据二次根式的除法法则进行运算，则，再结合二次根式的性质进行化简，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：2，． 6．(24-25八上·北京通州区·期末)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得，求出答案即可． 【详解】根据题意，得， 解得． 故答案为：． 7．(24-25八上·北京延庆区·期末)若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9， 故答案为：x≥9． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 三、解答题 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握混合运算的运算法则． 先对括号里进行通分、合并同类项，然后进行乘除运算化为最简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 9．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 11．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 地 城 考点04 二次根式的乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；     D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键． 先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A. ，与是同类二次根式； B. ，与是同类二次根式； C. ，与不是同类二次根式； D. ，与是同类二次根式． 故选：C． 4．(20-21八上·北京昌平区·期末)下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 二、填空题 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质化简，根据二次根式的除法法则进行运算，则，再结合二次根式的性质进行化简，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：2，． 三、解答题 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点05 二次根式的加减 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键． 先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A. ，与是同类二次根式； B. ，与是同类二次根式； C. ，与不是同类二次根式； D. ，与是同类二次根式． 故选：C． 2．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 二、填空题 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算的结果是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 4．(22-23八下·北京东城区·期末)若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式． 三、解答题 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 【答案】8． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，先根据完全平方公式以及平方差公式展开，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘法和立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 9．(24-25八上·北京延庆区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 11．(24-25八上·北京顺义区·期末)阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 12．(24-25八上·北京通州区·期末)计算． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；先化简，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 13．(24-25八上·北京通州区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将各二次根式化为最二次根式后再合并即可得出答案． 【详解】解： 14．(24-25八上·北京顺义区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则； 根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可求解； 【详解】解：原式． 15．(24-25八上·北京通州区·期末)计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 地 城 考点06 整式乘除 一、单选题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 2．(24-25八上·北京燕山·期末)下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，计算正确，符合题意； ②，计算错误，不符合题意； ③，计算错误，不符合题意； ④，计算正确，符合题意； ⑤，计算正确，符合题意； 综上所述，正确的①④⑤，共3个， 故选：C． 3．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D. 二、填空题 4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的乘法与几何图形的面积．利用大正方形的面积减去小正方形的面积以及两个三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 ， ∵， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：5． 5．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： . 【答案】/ 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 6．(24-25八上·北京石景山·期末)我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 吨煤所产生的能量． 【答案】 【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果． 【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键． 三、解答题 7．(24-25八上·北京门头沟区·期末)当时，代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键．由已知条件得出，然后根据平方差公式计算，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 8．(24-25八上·北京门头沟区·期末)计算：． 【答案】 【来源】北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了多项式除法法则的应用，掌握多项式除以单项式法则是解题的关键．利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 9．(24-25八上·北京怀柔区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ∴， 当时，原式． 10．(24-25八上·北京门头沟区·期末)阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $