专题06 事件与可能性、新定义（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期北京版

专题06 事件与可能性、新定义 2大高频考点概览 考点01 事件与可能性 考点02 新定义 地 城 考点01 事件与可能性 一、单选题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 2．(24-25八上·北京昌平区·期末)下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)下列事件中，属于随机事件的是（） A．哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D．三角形的两边之和小于第三边 4．(24-25八上·北京房山区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 8．(24-25八上·北京顺义区·期末)春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为 ． 三、解答题 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 11．(24-25八上·北京房山区·期末)初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 地 城 考点02 新定义 一、解答题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， (1)若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； (2)若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． (1)如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； (2)如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； (3)已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 3．(24-25八上·北京燕山·期末)阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 4．(24-25八上·北京昌平区·期末)在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 事件与可能性、新定义 2大高频考点概览 考点01 事件与可能性 考点02 新定义 地 城 考点01 事件与可能性 一、单选题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意； B、∵， ∴用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意； D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·北京昌平区·期末)下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意， 故选：A． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)下列事件中，属于随机事件的是（） A．哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D．三角形的两边之和小于第三边 【答案】B 【分析】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，则A不符合题意； 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，则B符合题意； 6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球是必然事件，则C不符合题意； 三角形的两边之和小于第三边是不可能事件，则D不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八上·北京房山区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可． 本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 【详解】解：A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； B．班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，不符合题意； C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，不符合题意； D．∵， ∴三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，符合题意． 故选D． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 二、填空题 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是概率公式，正确理解题意是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一位购物者抽得春联的可能性大小是， 故答案为：． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 8．(24-25八上·北京顺义区·期末)春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的概率公式：随机事件A的概率=事件A可能出现的结果除以所有可能出现的结果数，掌握随机事件的概率公式是解题的关键．直接利用概率的公式求解即可． 【详解】解：足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球五项中，小文选择篮球的可能性为， 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 【答案】选择规则一，理由见解析 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：选择规则一． 卡片上的数字中不大于5数字有1，2，3，4，5，共5个，所以选择规则一闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中偶数数字有2，4，6，8，共4个，所以选择规则二闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中是3的倍数的数字有3，6，9，共3个，所以选择规则三闯关成功的可能性为． 因为， 所以选择规则一闯关成功的可能性最大． 11．(24-25八上·北京房山区·期末)初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 【答案】(1)见解析 (2)需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算某同学转一次转盘获得积分的可能性大小即可； （2）需要将x个无积分的扇形区域写上5分，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：奖励10分的概率是； 奖励5分的概率是； 奖励2分的概率是； （2）解：需要将x个无积分的扇形区域写上5分， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 地 城 考点02 新定义 一、解答题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线．对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的一阶t包含图形．若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内包括边界，则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形． 已知，，，， (1)若， ①A是线段的一阶k包含图形，则______； ②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是______； (2)若点A为四边形的二阶，1包含图形，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要结合四边形、三角形、坐标图形背景考查了新定义内容，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键． （1）①根据定义，利用中点坐标公式直接得解； ②满足A关于直线对称点落在对角线上即可； （2）先求出点A关于直线，直线的二阶对称点，要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解． 【详解】（1）解：①关于直线的对称点在线段上， ， 故答案为：； ②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点， 要使点A为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可， ，， ， ， 故答案为：． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． (1)如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； (2)如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； (3)已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了点的坐标的特征，网格的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用“x轴垂半点”的定义，画出图形，解答即可； （2）根据“x轴垂半点”的性质得出或，再由点关于轴对称，可求出点的坐标； （3）根据“x轴垂半点”的性质可得，由“x轴垂半点”定义分两种情况可得的取值范围． 【详解】（1）解：如图， ∴点A关于点B的“x轴垂半点”是，， 故答案为：，； （2）解：∵ ∴或， ∵点关于轴对称， ∴点的坐标为，， 故答案为：，； （3）解：如图， ∵，， ∴点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为， ∴ ∵点G是点A关于点B的“x轴垂半点”， ∴或, ∴，， 故答案为：，． 3．(24-25八上·北京燕山·期末)阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 4．(24-25八上·北京昌平区·期末)在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)1（答案不唯一）， (3) 【分析】本题考查了新定义下的完全平方公式的运用，理解新定义，并熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键. （1）根据“增值代数式”的定义判断即可; （2）根据“增值代数式”的定义，确定t的范围即可: （3）将M整理为，再根据（2）的思路求解即可 【详解】（1）解：①，x的值越大，的值越小，故①不是“增值代数式”； ②，当时，的值随x值增大而增大，所以，②是“增值代数式”； ③，当时，的值随x值增大而增大，所以，③是“增值代数式”； ④，当时，的值随x值增大而减小，所以，④是“增值代数式”； 故答案为：②③； （2）解：， 所以，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵代数式是“减值代数式”， ∴， ∴， ∴可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一），； （3）解： 对于，当时是“增值代数式”，当时是“减值代数式”， 所以，当时是“减值代数式”，当时是“增值代数式”， 又当时，代数式M是“增值代数式”， ∴， 解得，， 当时，代数式M是“减值代数式”， ∴， 解得，， 综上，的取值范围是 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)点P，线段． 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $