精品解析： 江苏省南通市如皋市 如皋实验初中2025-2026学年上学期新课程结束模拟试卷九年级数学

2025-2026学年度新课程结束模拟试卷 九年级数学 一、选择题 1. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则度数为（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口大小改变 B. 开口方向改变 C. 顶点位置不变 D. 对称轴不变 6. 一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为( ) A. B. C. D. 1 7. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题 11. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 13. 如图，等边三角形是由9个大小相等等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 14. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______． 15. 如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是______平方尺．（结果用含的式子表示） 17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2） 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形 ； （2）画出将绕点E顺时针旋转 得到的； （3）若由绕着点M旋转得到的，则点M的坐标为 21. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 22. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 23. 如图，中，，，，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 24. 某种商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：每降价1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖 90件． 设每件商品售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． （1）求y与x的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 25. （1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是          ，线段与直线所夹锐角的度数是          ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 26. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，若为等腰三角形，求a的值； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度新课程结束模拟试卷 九年级数学 一、选择题 1. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 3. 下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 5. 将抛物线向下平移()个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口大小改变 B. 开口方向改变 C. 顶点位置不变 D. 对称轴不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查看二次函数平移，二次函数图象和性质，由平移可得平移后的抛物线的解析式为，据此即可判断求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移()个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∴平移前后的抛物线开口大小和方向没有改变，对称轴不变，顶点位置变化了， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 6. 一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为( ) A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：设一双是红色，一双是绿色，则列表得： ∵一共有12种等可能情况，恰好是一双的有4种情况， ∴恰好是一双的概率：； 故选择：B. 【点睛】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转至，得到，证明，利用平角为即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作、的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接，，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定即可得出结果． 【详解】解：如图所示，作、的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接，， ∵正六边形的边长是4， ∴，为等边三角形， ∴， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键． 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ∴， ∴ ， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，首先根据二次函数中，可得抛物线开口向下，对称轴为，又根据可知，根据当时，抛物线在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 整理可得：， 抛物线的对称轴为，且在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， A选项：当时，可知，且，， 抛物线的对称轴是， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， ， ， 故A选项错误； B选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 若点、都在右侧时，恒成立， 此时， 解得：； 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时， 可得：， 解得：， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， 又， 则有， 解得：， ； 综上所述，当时，或， 故B选项错误； C选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 此时，， 解得：； 故C选项错误； D选项：当时，可知， 此时点、都在对称轴左侧， 根据二次函数的性质可知， 故D选项正确； 故选：D． 二、填空题 11. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：根据旋转性质，可得：， ∴． 故答案为：． 13. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 14. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______． 【答案】x＞ 【解析】 【详解】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得：， 解得：， 那么二次函数的解析式是：， 函数的对称轴是：， 因而当y随x的增大而增大时， x的取值范围是：． 故答案为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键． 15. 如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案：． 16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是______平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为r尺，根据米堆底部的弧长为8尺，求出底面半径为，所以这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得，解得：， ∴这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺）． 故答案为：． 17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式； 故答案为：5． 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____． 【答案】2﹣1 【解析】 【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF≤AC﹣CF，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值． 【详解】解：如图，连接FC，AC，AE． ∵ED⊥DF， ∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠EDA＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中 ∵， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴CF＝AE＝1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC＝2， ∵AF≥AC﹣CF， ∴AF≥2﹣1 ∴AF的最小值是2﹣1； 故答案为2﹣1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用这四种方法是解一元二次方程的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 原方程的解是，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， 原方程的解为，． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形 ； （2）画出将绕点E顺时针旋转 得到的； （3）若由绕着点M旋转得到的，则点M的坐标为 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）作点A，B，C关于原点对称的点 ，再依次连接即可； （2）将点D，F绕点E顺时针旋转 得到点 ，再依次连接； （3）如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点，确定坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的垂直平分线上，即为图中点；由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，， （2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果． （1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，． 【小问2详解】 解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等， ∴． 22. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 23. 如图，中，，，，与相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解∶连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶延长交于P，连接，此时最大， 由（1）知：，， ∴． 24. 某种商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：每降价1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖 90件． 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． （1）求y与x的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）元，元 【解析】 【分析】（1）根据“每星期可获得的销售利润每件的利润每星期的销售量”列出函数解析式，并根据“每星期最多能卖90件”求出自变量的取值范围即可； （2）先把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的图象与系数的关系、的图象与性质以及自变量的取值范围求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 每星期最多能卖90件， ， 解得：， 的取值范围为， 与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ，抛物线对称轴为直线， 抛物线开口向下，且当时，随的增大而减小， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用（销售问题），计算多项式乘多项式，一元一次不等式的应用，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，二次函数的最值等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 25. （1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是          ，线段与直线所夹锐角的度数是          ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）1或3 【解析】 【分析】（1）过点作交于点．证明，可得结论； （2）连接，由旋转可得为等边三角形，可知．由为等边三角形，可知，，进而可得，可证得，可得，进而可得，即可得结论； （3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段延长线上的右侧时，③当点在线段延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作交于点． 根据旋转可得， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，． （2），线段与直线所夹锐角的度数为仍成立． 理由：如图，连接，由旋转可知：， ∴为等边三角形， ， 为等边三角形， ，则， ， ， ， ， 即线段与直线所夹锐角的度数为； （3）由旋转可知：， ∵四边形是正方形， ∴， ①当点在线段上时，如图，过点作交于点，作交于点． 则， ∴， ∴， 即 ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则， ， 在中，， 即， 解得（舍去）， ∴． ∵点在线段上， ， ∴（不合题意，舍去）； ②如图，当点在线段延长线上的右侧时，如图，过点作交于点，延长交于点． 则四边形是矩形， ∴， 设， 同①可证， ∴， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． ③如图，当点在线段延长线上的左侧时，如图，过点作交的延长线于点，作交于点．设正方形的边长为， 同①可得， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，线段的长为 1 或 3 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，若为等腰三角形，求a的值； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令时，则，解方程即可解答； （2）令，得到，因此，当时，为钝角三角形，当为等腰三角形时，，在中，根据勾股定理有，即得到方程，求解即可； （3）对于直线，分别令，，求出点E，F的坐标．分两种情况讨论：①当时，要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，得到，即；②当时，由得，根据根的判别式得到，求得或（此时交点在线段的延长线上，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C坐标为 ∵， ∴ 由（1）得：，， 当时，为钝角三角形，，如图 ∴当为等腰三角形时，， ∴ ∵在中，， ∴，解得： ∵， ∴； 【小问3详解】 解：对于直线， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴； ①当时， 由（1）可知抛物线与x轴交于点，，而点在点B的右侧， ∴要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，如图 把代入函数，得， ∴， ∴； ②当时， 由得， 整理得， 要使抛物线与线段有两个交点，则 ， ∴或（此时交点在线段的延长线上，舍去）． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理，抛物线与线段的交点，一元二次方程根的判别式，综合运算相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $