新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十三中学2025-2026学年 八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年新疆乌鲁木齐十三中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革.以下四款人工智能软件图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是(    ) A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 7cm 3.在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是(    ) A. 四边形的不稳定性 B. 两点决定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 两点之间线段最短 4.若点与点关于x轴对称，则的值是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 5 5.下列计算中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列说法不正确的是(    ) A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 三角相等的三角形是等边三角形 C. 如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等 D. 若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 7.如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，AD是高，AE是角平分线，若，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则的值为(    ) A. 4 B. C. 15 D. 8 10.如图，在等腰直角中，，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且，DE交OC于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.计算：        . 12.若等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角度数是        . 13.如图，AD是的中线，已知的周长为25，AB比AC长6，则的周长为        . 14.如图，中，，CP平分，BP平分，，过点P作，分别交AC、AB于M、N，设，则的周长是        . 15.如图，中，，，D是射线AB上的动点，连接CD，令，将沿CD所在射线CP翻折至处，射线与射线AB相交于点若是等腰三角形，则的度数为        . 三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 计算： ； 17.本小题6分 先化简后求值：，其中， 18.本小题6分 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的其中点A，B，C均在网格上 作关于直线l的轴对称图形； 的面积是______； 在l上画出点Q，使得最小． 19.本小题8分 在中，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为 若，，求的周长； 若：：7，求的度数. 20.本小题7分 如图，在中，，点D为CB延长线上一点，，连结 用尺规完成以下基本作图：在AD的右侧作，射线DE与AC延长线交于点E；保留作图痕迹，不写作法，不下结论 求证： 21.本小题7分 如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，过B作，垂足为F，延长BF交AC于点 求证：为等腰三角形； 已知，，求AB的长. 22.本小题7分 上午8时.一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处.从A，B望海岛C，测得，如图所示 求海岛B到海岛C的距离； 渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里记为点D处出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号.接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 23.本小题8分 等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． 如图1，求证：； 如图2，若，，求B点的坐标； 如图3，点，Q，A两点均在x轴上，且分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C、图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2.【答案】C  【解析】解：设第三边长为x cm， 则， 即， 故选： 设第三边长为x cm，再由三角形的三边关系即可得出结论． 本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：由题意得，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选： 根据射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，且结合三角形具有稳定性进行分析，即可作答． 本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】【分析】 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，属于基础题． 【解答】 解：由与点关于x轴对称，得 ，， 所以， 故选： 5.【答案】B  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：等腰三角形是轴对称图形，说法正确，故本选项不合题意； B.三角相等的三角形是等边三角形，说法正确，故本选项不合题意； C.如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等，说法正确，故本选项不合题意； D.若A，B两点关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，故原说法错误，故本选项符合题意． 故选： 根据制定出图形的定义可判断选项A，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； 根据等边三角形的判断方法可判断选项B，三个角都相等的三角形是等边三角形； 根据轴对称的性质可判断选项C； 根据轴对称的性质可判断选项D，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，熟记轴对称的性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解： 在和中， ，， 当时，满足SSS，可证明≌，故A可以； 当时，满足SSA，不能证明≌，故B不可以； 当时，满足SAS，可证明≌，故C可以； 当时，满足HL，可证明≌，故D可以； 故选： 由图形可知，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和 8.【答案】D  【解析】解：，，， ， ，AE是的角平分线， ，， 故选： 根据三角形内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义可得，的度数即可求解． 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和的高，熟练掌握相关知识是解题关键． 9.【答案】B  【解析】解：连接AO，如图， ， ， ， ， 故选： 连接AO，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：为等腰直角三角形，，O是AB边上的中点， ，，OC平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， 同理可得≌， 而≌， 图中共有3对全等三角形，所以①正确； ≌， ，所以②正确； ， ，所以③错误； ≌， ， ，所以④正确． 故选： 先根据等腰直角三角形的性质得到，，OC平分，，再证明≌和≌，加上≌，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由≌得到，则可对②进行判断；由≌得到，所以，从而可对③进行判断；由≌得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：等腰三角形的一个内角是， 等腰三角形的顶角为， 等腰三角形的底角为， 故答案为 根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题． 本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13.【答案】19  【解析】解：是的中线， ， 的周长， 比AC长6， ， ， 的周长 故答案为： 由三角形中线的定义得到，求出，得到的周长 本题考查三角形的角平分线、中线、和高，关键是掌握三角形中线的定义． 14.【答案】18  【解析】解：平分，BP平分， ，， ， ，， ，， 平分，， ， ，， ， 的周长 ， 则周长是 故答案为： 先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 15.【答案】或或  【解析】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即，此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或 分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 16.【答案】；     【解析】解：原式 ； 原式 利用单项式乘多项式法则计算即可； 利用多项式乘多项式法则展开，最后合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】，  【解析】解： ， 当，时，原式 先将题目中的式子化简，然后将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图，即为所求． 如图，点Q即为所求． 分别作出A，B，C的对应点，，即可． 利用分割法求三角形面积． 连接交直线l于点Q，连接AQ，点Q即为所求． 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19.【答案】    【解析】解：根据折叠的性质，得， 的周长是， 的周长是 ，， 故的周长为 ：：7，不妨设，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， 解得， 故 根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可； 根据：：7，不妨设，，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解方程，三角形周长，熟练掌握性质是解题的关键． 20.【答案】见解答  见解答  【解析】解：如图，DE即为所求． 证明：， ， ， ，， ， ≌， 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 根据全等三角形的判定证明≌，即可得 本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握作一个角等于已知角的方法、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21.【答案】证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； 解：连接DE， ，AD平分， 垂直平分BE， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ，   【解析】由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； 连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：由题意得：海里， ，， ， ， 海里， 海岛B到灯塔C的距离为30海里； ，， 是等边三角形， ， 海岛B派出的救援队用的时间为小时分钟， 海岛C派出的救援队用的时间为分钟， ， 海岛C派出的救援队先到达渔船处．  【解析】根据三角形外角的性质得，可得，根据等角对等边得海里； 先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，再根据路程、速度与时间的关系求出两个队所有时间，即可得出答案． 本题考查了三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，涉及到了等角对等边等知识，解题关键是对概念的理解与正确求解． 23.【答案】解：证明：，， ， ； 如图2，过点B作轴于点D， 则， 在和中， ≌， ，， 又点B在第三象限， ； 的长度不会发生改变． 理由：如图3，过点N作，交y轴于点H， 则， 等腰、等腰， ， ， 又， 在和中， ≌， ， ， 点，， ，， ， ， 在和中， ≌， 又， ， 即OP的长度始终是  【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 根据同角的余角相等得出结论即可； 先过点B作轴于点D，再证明≌，求得，，进而得出，即可得到B点的坐标； 过点N作，交y轴于点H，证≌，得出，，然后根据点，，求得，再证≌，得出，即可求得定值 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $