精品解析：山东省聊城市冠县2025-2026学年上学期九年级数学期中学业水平测试卷

2025－2026学年第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂黑相应数字． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，否则无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DEBC，=，DE=6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6，即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 2. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，过点作，利用正切的定义，求解即可． 【详解】解：过点作，如图， 则：，， ∴； 故选A． 3. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是明确坡比是坡角的正切值． 根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ． 故选：C． 4. 给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 5. 如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时，即， 且， ； 当时，即 而， 所以不能判定和相似． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键． 6. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键． 如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由题意知，， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中弦，直径且分别交、于点、．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，求出，根据垂径定理求出，，，，求出，再得出选项即可． 【详解】解：，， ， 过圆心， ，，，， ， ， 根据已知条件不能推出， 即正确的有①②③，共3个， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（ ） A. 4. 5 B. 6 C. 7.5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由得出，由位似图形的性质可得，即可求出长． 【详解】解：， 与位似，原点是位似中心， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出是解此题的关键． 9. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________． 【答案】72°##72度 【解析】 【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论． 【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°， ∴∠AOB=2×∠ACB=72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键． 12. 如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定与性质等知识﹒连接，先证明，再证明，进而证明，即可证明，根据即可求出﹒ 【详解】解：连接， ， ， ， ， ∵是的直径， ， ∵是的切线， ， ， ， ∴，， ∴ ∵， ， ， ， ﹒ 故答案为：3 13. 如图，中，，，若的面积为9，则的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 的面积为9， ， 即：， 解得：， 故答案为：4． 14. 如图，在中，弦的长为4，连接，是弦的中点，经过圆心且交于点，若，则的半径长为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用垂径定理是关键．根据垂径定理的推论得到，，设的半径长为则，最后根据列方程，计算即可得解． 【详解】解：由题意，∵弦的长为4，是弦的中点， ∴． ∵经过圆心且交于点， ∴． 设的半径长为， ∴， 在中，， ∴． 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切，， ， ∴为直径，点F是中点， ，， 又， ， ，为圆的直径， ∴当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆的直径， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，化简二次根式，再算乘法，最后算加减； （2）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】（1） （2） 由题意，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； 【小问2详解】 略 18. 如图所示，已知在中，，交于点，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，得到，由的值先求出，再代入即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 （1）求的长度； （2）甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求的长度即可； （2）先计算，再利用正弦函数解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数应用，解直角三角形三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解： 在中， ． 【小问2详解】 解：，， ， 在中，， 杠杆顶端与地面的距离的长度为． 20. 如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： （1）的余弦值； （2）边的长． 【答案】（1）的余弦值为 （2）边的长为 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 在中，． 在中， ，． 答：边的长为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，． （1）求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，由垂径定理得，由，得，，由切线性质，得 ，，进一步可证四边形是矩形，得， 中，，于是的坐标； （2）如图，由等腰三角三线合一，得，由圆周角定理，而，从而，中，，于是． 【小问1详解】 如图，连接，，过点P作，垂足为D，则 ∵点， ∴， ∵与轴相切于点 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 中， ∴点的坐标 【小问2详解】 如图，， ∴ 而 ∴ 中， ∴ 【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键． 22. 如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ，， ， ， ， ，点在上， 故是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据，证明，即可证明，即可证明结论； （2）根据特殊角的三角函数值得到，求出，分别求出和和的面积即可得到答案， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为的直径， ， ， ， ， 且， ， ， ， ， 令半径为， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质，特殊角的三角函数值，以及扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 23. 某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得米，．求的长．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作于点E，于点F，则四边形为矩形，设米，解得到，解得到，即可得到，解得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作于点E，于点F，则． 又， ∴四边形为矩形， ． 设米． 在中，， ， 在中，， ， ． ， 解得． ∴在中，（米） 在中，（米）， （米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂黑相应数字． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，否则无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DEBC，=，DE=6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 2. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（ ） A. 4m B. m C. m D. m 4. 给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中弦，直径且分别交、于点、．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（ ） A. 4. 5 B. 6 C. 7.5 D. 9 9. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________． 12. 如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为________． 13. 如图，中，，，若的面积为9，则的面积为_______． 14. 如图，在中，弦的长为4，连接，是弦的中点，经过圆心且交于点，若，则的半径长为______． 15. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 18. 如图所示，已知在中，，交于点，，，求的长． 19. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 （1）求的长度； （2）甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 20. 如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： （1）的余弦值； （2）边的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，． （1）求点的坐标； （2）求的值． 22. 如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 23. 某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得米，．求的长．（结果保留根号，参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $