精品解析：河北省唐山市遵化市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

遵化市2025－2026学年度第一学期期中学业评估九年级数学试卷 考生注意：1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知一组正数，，，的平均数为3，则为（ ）． A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形的相似比是，则对应周长的比是（ ） A. B. C. D. 25∶4 4. 杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　） A. B. C. D. 5. 若，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 7. 某校关注学生的用眼健康，从九年级名学生中随机抽取了名进行视力检查，发现有名学生近视，据此估计这名学生中，近视的学生人数约是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 12. 如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）． 13. 已知，则________． 14. 图中的两个三角形是否相似，______（填“是”或“否”）. 15. 若把方程化成的形式，则______． 16. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均环数都为8.9，方差分别为：，，则两人中成绩比较稳定的是_______ 三、解答题（本大题有8个小题，共64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 19. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 22. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 23. 是由中国自主研发的人工智能大模型，自2025年1月15日正式上线以来，全社会不断加深对的了解，不断深化与的合作．某校组织七年级学生进行“与对话”知识竞赛，老师随机抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分100分），整理后绘制成如图所示的不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 频数分布表 组别 分组 频数 频率 A组 2 0.05 B组 10 C组 D组 12 0.3 合计 1 请根据上述图表提供的信息，完成下列问题： （1）补全成绩频数分布直方图； （2）_____，_____； （3）计算扇形统计图中“D”所占的圆心角度数； （4）若该校七年级共有1500名学生，请估计竞赛成绩不低于80分的学生有多少人？ 24. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． （1）如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； （2）如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵化市2025－2026学年度第一学期期中学业评估九年级数学试卷 考生注意：1.本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3.考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知一组正数，，，的平均数为3，则为（ ）． A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，四个数的总和等于平均数乘以个数，据此建立方程求解． 【详解】解：∵四个正数2，1，5，d的平均数为3， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 若两个相似三角形的相似比是，则对应周长的比是（ ） A. B. C. D. 25∶4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形的周长比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴对应周长的比也为． 故选：A． 4. 杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将7个数据从小到大排列为：5.5，5.5，5.6，5.7，5.7，5.8，5.8， 数据个数为奇数，中位数为第4个数， 第4个数为5.7，因此中位数为， 故选：C． 5. 若，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 6. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的基本概念，理解“有一半选手的得分是 90分以上”这一表述的含义是解题的关键．解题时，根据题干描述判断对应的统计量类型即可． 【详解】解：A．平均数，反映数据的整体平均水平，无法直接说明“一半”的分布情况，故不符合题意； B．众数，表示出现次数最多的数值，与数据分布的集中点相关，但不涉及数据的中点位置，故不符合题意； C．方差，衡量数据的离散程度，与数据的波动范围有关，而非中间位置，故不符合题意； D．中位数，将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．当数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值，中位数的定义天然对应“一半数据不超过它，另一半不低于它”的特性，与原题干描述匹配，故符合题意． 故选：D． 7. 某校关注学生的用眼健康，从九年级名学生中随机抽取了名进行视力检查，发现有名学生近视，据此估计这名学生中，近视的学生人数约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，掌握相关知识是解决问题的关键．根据样本中近视学生的比例估计总体中近视学生的比例进行计算即可． 【详解】解：∵ 样本中近视学生的比例为 ， ∴ 估计名学生中近视人数为 人． 故选：B． 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程即可确定k的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 或， 解得：或， 故选：C． 9. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段，，，的长度，对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，，． ， 四边形为平行四边形， ，， ∵， ∽， ， ， ， ， A选项不正确，符合题意；B选项正确，不符合题意； ， C选项正确，不符合题意； ， D选项的结论正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11. 《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，然后求解即可． 【详解】设正方形城池的边长为步 则 即 或（不符实际，舍去） 即正方形城池的边长为360步 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，依据题意，找出两个相似三角形是解题关键． 12. 如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB， ∴△OA′B′∽△OAB， ∴， ∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）． 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．由已知比例，可将b用a表示，代入所求分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 图中的两个三角形是否相似，______（填“是”或“否”）. 【答案】是 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 15. 若把方程化成的形式，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解： ， 得 ，， ∴ ． 故答案为：8． 16. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均环数都为8.9，方差分别为：，，则两人中成绩比较稳定的是_______ 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解可得． 【详解】解：∵，，， ∴甲的成绩更加稳定， 故答案为：甲． 三、解答题（本大题有8个小题，共64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减法，即可求解； （）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 19. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【小问1详解】 解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ． 21. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 22. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米 （2）墙的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 23. 是由中国自主研发的人工智能大模型，自2025年1月15日正式上线以来，全社会不断加深对的了解，不断深化与的合作．某校组织七年级学生进行“与对话”知识竞赛，老师随机抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分100分），整理后绘制成如图所示的不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 频数分布表 组别 分组 频数 频率 A组 2 0.05 B组 10 C组 D组 12 0.3 合计 1 请根据上述图表提供的信息，完成下列问题： （1）补全成绩频数分布直方图； （2）_____，_____； （3）计算扇形统计图中“D”所占的圆心角度数； （4）若该校七年级共有1500名学生，请估计竞赛成绩不低于80分的学生有多少人？ 【答案】（1） 补全成绩频数分布直方图如下： （2）0.25，40 （3） （4）1050人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键． （1）根据A组的频数和频率，可以求得总数，再求的人数后补全统计图； （2）根据频率频数除以总数求m的值，用C组人数除以总人数即可求出n的值； （3）用乘以D组的频率即可求圆心角的度数； （4）利用1500乘以C和D组的频率之和即可． 【小问1详解】 解：抽取学生总数：， 的人数：． 【小问2详解】 解：， ∴； 【小问3详解】 解：扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：人 答：估计竞赛成绩不低于80分的学生约有1050人． 24. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． （1）如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； （2）如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是关键． （1）过点A作，，由可求解； （2）过点A作，由可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作，， 在中， ∵， ∴， 解得 拉杆箱把手A点距离地面； 【小问2详解】 解：如图，过点A作， ，， 在中， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $