专题20 指数函数（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题20 指数函数 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、指数函数定义域、值域问题 类型二、指数函数图像的应用 类型三、比较指数幂的大小 类型四、利用指数型函数的单调性求参数的取值范围 类型五、指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 类型六、指数（型）函数与不等式 类型七、指数（型）函数恒成立（能成立）问题 类型八、指数函数新定义问题 压轴专练 类型一、指数函数定义域、值域问题 【技巧方法】 y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法： (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 例1．（1）设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数，则函数的值域为 ． 变式1-1．函数的定义域是 ． 变式1-2．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-3．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 类型二、指数函数图像的应用 1.指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 2.解决指数函数图象问题的注意点： (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 例2．（1）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . （2）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． （3）已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 变式2-1．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（  ） A．16 B．6 C． D． 变式2-2．函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． 变式2-4．已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 变式2-5．已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 类型三、比较指数幂的大小 【技巧方法】 比较指数幂的大小的方法： 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 例3．已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式3-1．已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．设，则大小关系是 . 类型四、利用指数型函数的单调性求参数的取值范围 【技巧方法】 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 例4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．设函数在上单调递减，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为________ 变式4-3．已知函数且且，，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-4．已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 类型五、指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 利用复合函数的单调性与奇偶性的定义及其性质，通过对指数型函数分析研究其单调性与奇偶性，从而解决求值、求参等问题． 例5．已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 变式5-1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 变式5-4．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 类型六、指数（型）函数与不等式 指数不等式的解法： 将不等式两边化为同底构造对应的指数函数再利用指数函数的单调性求解． 【技巧方法】 指数不等式的常见几种形式： （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 例6．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1．若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 变式6-2．已知，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 变式6-3．不等式的解集是 . 变式6-3．已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 类型七、指数（型）函数恒成立（能成立）问题 【技巧方法】 一般先判断指数型函数的奇偶性，再判断指数型函数在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例7．已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 变式7-1．若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-3．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 变式7-4．函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 类型八、指数函数新定义问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例8．定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 变式8-1．（多选）设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（  ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（  ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 变式8-3．若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. (1)证明：函数是“超加性倾向函数”. (2)若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 1.若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 2.已知函数的值域为R，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 5.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 6.（多选）已知函数，则正确的是（  ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 7.（多选）已知函数，则（  ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 8.（多选） 函数为奇函数，函数（  ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 9.若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 10.已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 11.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 12.已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 13.已知是奇函数． （1）求实数； （2）若，求x的取值范围； （3）若当时恒成立，求实数m的取值范围． 14.定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 指数函数 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、指数函数定义域、值域问题 类型二、指数函数图像的应用 类型三、比较指数幂的大小 类型四、利用指数型函数的单调性求参数的取值范围 类型五、指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 类型六、指数（型）函数与不等式 类型七、指数（型）函数恒成立（能成立）问题 类型八、指数函数新定义问题 压轴专练 类型一、指数函数定义域、值域问题 【技巧方法】 y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法： (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 例1．（1）设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【解析】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. （2）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解． 【解析】设，则，此时， 当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为； 当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为． 故答案为：. 变式1-1．函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【解析】由题知：且. 故答案为：且. 变式1-2．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 变式1-3．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【答案】(1)，其中且；(2)；(3)见解析 【分析】（1）利用换元法即可求解， （2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解， （3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解. 【解析】（1）令，则 故，其中且 （2）当时，，则， 故，则，解得,解得， 故的定义域为 （3）由于，故 当时，故值域为， 当时，故值域为 类型二、指数函数图像的应用 1.指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 2.解决指数函数图象问题的注意点： (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 例2．（1）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【解析】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. （2）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解析】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. （3）已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有个实数根转化为函数，有两个交点，由数形结合即可求解. 【解析】 方程有且仅有个实数根，即函数的图象与直线有且仅有个交点，所以由数形结合可得，的取值范围是. 故答案为：. 变式2-1．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（  ） A．16 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值. 【解析】令 ，得，此时，为， . ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故选：A. 变式2-2．函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【解析】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 变式2-3．函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用其奇偶性，结合的值的情况判断作答. 【解析】函数定义域为R，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 而，排除D，又，排除A，选项C符合题意. 故选：C 变式2-4．已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【解析】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D 变式2-5．已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数图象性质可知至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得. 【解析】由已知可知在上单调递增，已知函数的图象如下图所示： 故若要符合题意需满足，可得 故答案为：. 类型三、比较指数幂的大小 【技巧方法】 比较指数幂的大小的方法： 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 例3．已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】依题意，，，， 所以. 故选：A. 变式3-1．已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 变式3-2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【解析】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 变式3-3．设，则大小关系是 . 【答案】 【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小. 【解析】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 类型四、利用指数型函数的单调性求参数的取值范围 【技巧方法】 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 例4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 变式4-1．设函数在上单调递减，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【解析】设，可得， 因为函数在定义域上为单调递减函数， 要使得 在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 变式4-2．若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【解析】因为是在上的增函数，所以， 故答案为： 变式4-3．已知函数且且，，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先构造函数确定单调性，再由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【解析】因为且， 不妨设，则， 则， 所以， 令函数 则为上的增函数，则 解得. 故选：D. 变式4-4．已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数确定单调性，再由分段函数在上为减函数的性质列式可求得结果. 【解析】由对于任意的都有， 可知函数在R上单调递减. 由函数的图象关于直线对称， 知函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 二次函数的对称轴为. 若函数单调递减，必有，可得， 当时，不等式可化为， 在平面直角坐标系中画出函数的图象， 又由， 由图象可知不等式的解集为， 故实数的取值范围为. 故选：B 类型五、指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 利用复合函数的单调性与奇偶性的定义及其性质，通过对指数型函数分析研究其单调性与奇偶性，从而解决求值、求参等问题． 例5．已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)奇函数，证明见解析；(3) 【分析】（1）设，利用函数单调性的定义，可得函数在上是增函数； （2）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （3）由于为奇函数，不等式可得，再由函数在上是增函数令，即对恒成立进而解得的取值范围． 【解析】（1）任取，且， 则 ， 由，得，所以， 又由，得，所以， 于是，即， 所以在上单调递增； （2）函数的定义域为，关于原点对称， 因为都有， 且 ， 所以为奇函数； （3）因为是上单调递增奇函数， 则由可得， 所以原不等式可转化为：对恒成立， 令，即对恒成立， ，. 变式5-1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分参法及函数的单调性、奇偶性求解 【解析】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 变式5-2．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分参法及函数的单调性求解 【解析】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 变式5-3．已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析；(3) 【分析（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 变式5-4．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1);(2);(3)答案见解析 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【解析】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 类型六、指数（型）函数与不等式 指数不等式的解法： 将不等式两边化为同底构造对应的指数函数再利用指数函数的单调性求解． 【技巧方法】 指数不等式的常见几种形式： （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 例6．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【解析】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 变式6-1．若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【分析】应用指数函数的单调性计算求解. 【解析】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 变式6-2．已知，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出函数的图象，然后根据图象列不等式组，从而求得正确答案. 【解析】画出的图象如下图所示， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 变式6-3．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用换元及指数函数的单调性即可得答案. 【解析】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 变式6-3．已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【解析】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 类型七、指数（型）函数恒成立（能成立）问题 【技巧方法】 一般先判断指数型函数的奇偶性，再判断指数型函数在区间上的单调性，从而将问题转化为在区间上恒成立（或者有解）问题，利用分参法、最值法等进而可求解. 例7．已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，；(2). 【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. （2），，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 变式7-1．若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求【解析】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 变式7-2．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对参量的讨论研究函数的单调性求解。 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 变式7-3．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用分参法及函数的单调性求解。 【解析】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 变式7-4．函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【解析】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 类型八、指数函数新定义问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例8．定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）是“1距”增函数，理由见解析 ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求的最小值. 【解析】（1）对任意,， 因为，， 所以，即， 所以是 “1距”增函数. （2）因为， 又是“距”增函数， 所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以，即， 解得. （3）因为，，其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 因为是增函数， 所以根据复合函数单调性可知对恒成立， 当时，，即恒成立， 只需，即，解得， 当时，，即恒成立， 所以解得， 综上所述， 又， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 综上 变式8-1．（多选）设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由可得，故， 当时，不成立，故A错误， 当时，不成立，故D错误， 当时，由于指数函数与直线至多两个交点，且时，，时，，结合函数图象可知：当时，成立， 而当时，的最大值为2，的最小值为2，故， 综上可知对任意的都有， 故是与的“密接区间”，故BC正确， 故选：BC    变式8-2．（多选）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（  ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 变式8-3．若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. (1)证明：函数是“超加性倾向函数”. (2)若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】(1)(2)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以.     取任意的，， 则.             因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则，             故是“超加性倾向函数”. （2）因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以.             因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立.             因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得.                 故. 1.若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】当时，在上单调递减， 则，解得， 此时. 当时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）， 此时 综上可得：为或. 故选：C 2.已知函数的值域为R，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【解析】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当时，的图象，利用奇函数的性质确定正确答案. 【解析】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称， 作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图， 函数的图象与函数的图象交于点， 观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方， 即当或时，不等式成立， 所以不等式的的取值范围是. 故选：B 4.下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误； 对于选项B: 由在单调递增，所以， 由在单调递减，所以，故，故选项B错误； 对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高， 所以,故选项C错误； 对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确； 故选：D. 5.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域． 【解析】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 6.（多选）已知函数，则正确的是（  ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【解析】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 7.（多选）已知函数，则（  ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【解析】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 8.（多选） 函数为奇函数，函数（  ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解析】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 9.若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【解析】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 10.已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】画出的图象如下：    因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 11.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由分段函数在上为减函数的性质列式可求得结果. 【解析】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 12.已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果. 【解析】当时，， ∴当时，， 当时，为增函数， 所以时，取得最大值， ∵对，使得， ∴， ∴，解得. 故答案为：. 13.已知是奇函数． （1）求实数； （2）若，求x的取值范围； （3）若当时恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由题意可得，由此即可得解； （2）先判断出函数的单调性，再由，，结合函数的单调性即可得解； （3）分离分离参数可得，令，则再分离常数即可得解. 【解析】（1）函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以，即，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）得， 因为函数是减函数，是减函数， 所以函数是减函数， 由，， 得，即为， 所以； （3），即， 即，对任意的恒成立， 分离参数可得， 令，则， 则， 因为函数在上都增函数， 所以函数在上是增函数， 所以，所以， 所以， 所以实数m的取值范围为． 14.定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数；(2)；(3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【解析】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $