专题01 勾股定理（10大题型）（期末真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题01 勾股定理 10大高频考点概览 考点01 勾股定理解直角三角形（常考题型） 考点06勾股定理综合求解（解答题） 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点07勾股定理中网格问题 考点03勾股定理的证明方法 考点08勾股定理与折叠问题（重点题型） 考点04勾股数问题 考点09勾股定理的实际应用（重点题型） 考点05判断三边能否构成直角三角形 考点10勾股定理的应用之最短路程问题 地 城 考点01 勾股定理解直角三角形 1．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)如图，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 3．(24-25八·四川广安武胜县·期末)如图，在中，．若，，则的长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．13 4．(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ． 5．(24-25八上·四川宜宾·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，且，，则的长等于 ． 6．(24-25八·四川自贡富顺县代寺学区八年级联考·期末)如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E，若，求的长． 7．(23-24八上·四川达州渠县第二中学·期末)如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 地 城 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．(24-25八·四川凉山州·期末)如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 地 城 考点03 勾股定理的证明方法 1．(23-24八上·四川内江·期末)著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 2．(24-25八·四川广元·期末)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 地 城 考点04 勾股数问题 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 2．(24-25八·四川广元昭化区·期末)下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2.5，6，6.5 B．3，4， C． D．5，12，13 3．(24-25八上·四川巴中中学·期中)有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．(24-25八·四川南充·期末)一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 ． 地 城 考点05 判断三边能否构成直角三角形 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 2．(23-24八·四川绵阳·期末)下列条件中，不能判定为直角三角形的个数为（    ） ①，，；②；③，，；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25八上·四川成都新都区·期末)下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A．3，4，7 B．5，12，13 C．6，8，9 D．8，13，15 4．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 6．(24-25八上·四川达州·期末)下列条件中能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．(24-25八上·四川乐山沐川县·期末)在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 8．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)下列各组数据中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．，2，1 B．2，3，5 C．，， D． 地 城 考点06 勾股定理综合求解（解答题） 1．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，在中，， (1)用尺规作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，．求的周长． 2．(24-25八·四川巴中·期末)如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 3．(23-24八·四川泸州泸县·期末)如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    4．(24-25八·四川绵阳江油江油外国语学校·期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8． (1)求证：∠BAC＝90°； (2)P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长． 5．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 6．(24-25八·四川南充·期末)如图，在中，，，是上一点，，．求的度数． 地 城 考点07 勾股定理中网格问题 1．(23-24八上·四川眉山洪雅县实验中学校·期末)如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川眉山仁寿县·期末)如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 3．(24-25·四川成都实验外国语学校·期末)如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为 ． 4．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)在网格中作关于直线对称的． (2)结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 5．(24-25八·四川广元·期末)如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． (1)请在指定网格中画出，使 (2)求的面积． 地 城 考点08 勾股定理与折叠问题 1．(23-24八上·四川内江第一中学·期末)如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 2．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 3．(23-24八上·四川成都天府第七中学·期末)如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 地 城 考点09 勾股定理的实际应用 1．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 2．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，求A，C两港之间的距离． 3．(24-25八上·四川遂宁射洪·期末)在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米． (1)求这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 4．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    5．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 6．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 7．(23-24八上·四川遂宁蓬溪县·期末)如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 地 城 考点10 勾股定理的应用之最短路程问题 1．(22-23八上·四川眉山东坡区·期末)如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 2．(22-23八上·四川成都·期末)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 3．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 4．(23-24八上·四川眉山东坡区东坡区苏洵初级中学·期末)如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 10大高频考点概览 考点01 勾股定理解直角三角形（常考题型） 考点06勾股定理综合求解（解答题） 考点02以直角三角形三边为边长的图形面积 考点07勾股定理中网格问题 考点03勾股定理的证明方法 考点08勾股定理与折叠问题（重点题型） 考点04勾股数问题 考点09勾股定理的实际应用（重点题型） 考点05判断三边能否构成直角三角形 考点10勾股定理的应用之最短路程问题 地 城 考点01 勾股定理解直角三角形 1．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)如图，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键．根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即可求出答案． 【详解】解：圆环的面积为： ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．(24-25八·四川南充仪陇县·期末)如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在中， 故选：C 3．(24-25八·四川广安武胜县·期末)如图，在中，．若，，则的长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 4．(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ． 【答案】169 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决正方形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求得，然后求出正方形的面积即可． 【详解】解：在直角中，由勾股定理得， 在直角中，． ∴正方形的面积为． 故答案为：169． 5．(24-25八上·四川宜宾·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，且，，则的长等于 ． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及勾股定理．先根据题意证明得到，，得到，利用勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：14． 6．(24-25八·四川自贡富顺县代寺学区八年级联考·期末)如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，由角平分线的性质得到 ，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，    又∵平分，， ∴， ∵， ∴ ， 在中，． 7．(23-24八上·四川达州渠县第二中学·期末)如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 地 城 考点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．(24-25八·四川凉山州·期末)如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解． 【详解】解：∵中，， 故； ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴， 则， ∴， 故， 同理，， ∵， 则， 即， 故选：A． 2．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 地 城 考点03 勾股定理的证明方法 1．(23-24八上·四川内江·期末)著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 2．(24-25八·四川广元·期末)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 地 城 考点04 勾股数问题 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 2．(24-25八·四川广元昭化区·期末)下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2.5，6，6.5 B．3，4， C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，解答即可． 【详解】解：A、∵2.5，6，6.5不是正整数， ∴2.5，6，6.5不是勾股数，故不符合题意； B、∵不是正整数， ∴3，4，不是勾股数，故不符合题意； C、∵不是正整数， ∴不是勾股数，故不符合题意； D、∵， ∴5，12，13是勾股数，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数，解本题的关键要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 3．(24-25八上·四川巴中中学·期中)有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①32+42=52，三边是整数，同时能构成直角三角形，故为勾股数； ②（62）2+（82）2≠（102）2，不能构成直角三角形，故不为勾股数； ③0.5，1.2，1.3三边不是正整数，故不为勾股数； ④1，，，三边不是正整数，故不为勾股数； 故其中勾股数有1组． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 4．(24-25八·四川南充·期末)一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 ． 【答案】17 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得出①x2＋82＝152，②152＋82＝x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2＋82＝152， 解得：x＝（不合题意，舍去）， ②152＋82＝x2， 解得：x＝17， 故答案为17． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 地 城 考点05 判断三边能否构成直角三角形 1．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； D、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24八·四川绵阳·期末)下列条件中，不能判定为直角三角形的个数为（    ） ①，，；②；③，，；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项即可． 【详解】解：①因为，所以不能构成直角三角形； ②因为，所以能构成直角三角形； ③因为，所以不能构成直角三角形； ④由，可设， 所以，能构成直角三角形； 综上所述：不能判定为直角三角形的个数为2个； 故选B． 3．(24-25八上·四川成都新都区·期末)下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A．3，4，7 B．5，12，13 C．6，8，9 D．8，13，15 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以能组成直角三角形，符合题意； C、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八·四川广安武胜县青岩学校·期末)小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴能组成直角三角形， 故C符合题意； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 6．(24-25八上·四川达州·期末)下列条件中能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可进行逐一判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A．因为，故不能构成直角三角形，故A不符合题意； B．因为，故能构成直角三角形，故B符合题意； C．因为，故不能构成直角三角形，故C不符合题意； D．因为，故不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 7．(24-25八上·四川乐山沐川县·期末)在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴B可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵且， ∴， ∴， ∴C可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴D不可以判定是直角三角形，符合题意． 故选：D． 8．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)下列各组数据中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．，2，1 B．2，3，5 C．，， D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 地 城 考点06 勾股定理综合求解（解答题） 1．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，在中，， (1)用尺规作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图出即可； （2）在中，由勾股定理可得，再由是垂直平分线，得到，可推导出，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 （2）连接，如图 在中，，，， ∴， ∵是垂直平分线， ∴， ∴． 答：的周长为18． 2．(24-25八·四川巴中·期末)如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等； （1）先求解，设，则，再利用勾股定理列方程计算即可； （2）过点作于点，证明，可得，，设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ； （2）解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， . 3．(23-24八·四川泸州泸县·期末)如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等．根据题意可得，继而得到，，再利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 4．(24-25八·四川绵阳江油江油外国语学校·期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8． (1)求证：∠BAC＝90°； (2)P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或4 【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求，而BC=CD+BD=10，易求得=100=，从而可知△ABC是直角三角形． （2）分两种情况：①当BP=AB时；②当AP=AB时；分别求出BP的长即可． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2， ∴＝20， 又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝4， ∴＝80， ∵BC＝CD+BD＝10， ∴BC2＝100， ∴＝100＝， ∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形． （2）解：分两种情况： ①当BP＝AB时， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，则勾股定理，得 AB=， ∴BP＝AB＝2； ②当AP＝AB时， ∵AD⊥BC，即AD⊥BP， ∴BP＝2BD＝4． 综上所述：BP的长为2或4． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5．(24-25八·四川南充南部县第二中学·期末)如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 6．(24-25八·四川南充·期末)如图，在中，，，是上一点，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据得到，再根据勾股定理计算出，再根据 为等腰直角三角形得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知如果三角形的三边长 a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形． 地 城 考点07 勾股定理中网格问题 1．(23-24八上·四川眉山洪雅县实验中学校·期末)如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25八上·四川眉山仁寿县·期末)如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【答案】C 【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，，，，， ∴， ∴最短的线段是AE． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．(24-25·四川成都实验外国语学校·期末)如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为，点、、都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，过点作，连接，可知，，在中，利用勾股定理求出，可知点的坐标为 【详解】解：如下图所示，过点作，连接， 由题意可知，， 故答案为：． 4．(24-25八·四川成都实验外国语学校·期末)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)在网格中作关于直线对称的． (2)结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)图见详解，61 【分析】本题主要考查了网格和三角形的结合，轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理等内容，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用轴对称的性质确定对称点，然后连接对称点即可； （2）利用轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点连成的线段，得出，再根据两点之间线段最短确定此时的值最小，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求， 由勾股定理得， ∴的值为61． 5．(24-25八·四川广元·期末)如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． (1)请在指定网格中画出，使 (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数． （1）根据各边长度结合勾股定理画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：（1）如图所示， 为所作三角形； （2）解： ． 地 城 考点08 勾股定理与折叠问题 1．(23-24八上·四川内江第一中学·期末)如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理求得的长是解决问题的关键． 设，根据题意可得，，由折叠的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可列方程求出x的值，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】∵在长方形的长，宽， ∴，， ∵把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点D和B重合，设， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 3．(23-24八上·四川成都天府第七中学·期末)如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点09 勾股定理的实际应用 1．(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 2．(23-24八上·四川达州渠县渠县中学·期末)一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，求A，C两港之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 根据题意可得： ，从而可得然后利用平角定义可得 从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ， ， ， 在中，， ∴， ∴两港之间的距离为． 3．(24-25八上·四川遂宁射洪·期末)在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米． (1)求这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 【答案】(1)16米 (2)4米 【分析】（1）利用勾股定理可得BE再代入数计算即可； （2）根据题意表示出EA长，再在直角△ABC中利用勾股定理计算出BC长，进而可得CD长． 【详解】（1）解：由题意得：DE＝20米，BD＝12米， 则BE＝＝＝16（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有16米； （2） 解：由题意得：EA＝4米，则AB＝12米，AC＝20米，BC＝＝＝16（米）， ∵BD＝12米， ∴CD＝16﹣12＝4（米）． 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 4．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 5．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【详解】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 6．(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距 处 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：．             答：点应建在距 处． 7．(23-24八上·四川遂宁蓬溪县·期末)如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 地 城 考点10 勾股定理的应用之最短路程问题 1．(22-23八上·四川眉山东坡区·期末)如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，从不同的方向看几何体，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，将木块展开， 由题意得，展开后的长方形的长为，宽为， ∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为， 故选A．    2．(22-23八上·四川成都·期末)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 3．(24-25八上·四川成都武侯区西川中学·期末)一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为2AB，据此分析解答．本题考查了平面展开 - 最短路线问题，关键是能理解题意知道求出哪一条线段长． 【详解】解：展开后图形是： ∵底面周长为12cm，高18cm， ∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（）， 故答案为：30． 4．(23-24八上·四川眉山东坡区东坡区苏洵初级中学·期末)如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $