专题05 一次函数与几何综合12大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题05 一次函数与几何综合 12大高频考点概览 考点01 一次函数的新定义问题 考点02 一次函数与三角形面积 考点03 一次函数与等腰三角形 考点04 一次函数与等腰直角三角形 考点05 一次函数与角度问题 考点06 一次函数与折叠问题 考点07 一次函数与线段长度 考点08 一次函数与全等三角形 考点09 一次函数与最值问题 考点10 一次函数与动点图象问题 考点11 一次函数与图形交点问题 考点12 一次函数与直角三角形 地 城 考点01 一次函数的新定义问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁丹东·期末)定义：如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点位置不同，将点B绕着点A顺时针旋转后得到点C，称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转后得到点D，称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”． 【问题初探】（1）如图2，已知点O坐标为，点E坐标，求出点E关于点O的“垂链点”坐标．小明提出连接，作，使，点F为点E关于点O的逆时针“垂链点”，作轴于点G，作轴于点H，可以证明，则，，则点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为_________，请你求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标为_________； 【方法迁移】（2）如图3，已知直线与x轴，y轴分别交于J，K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标． 【拓展应用】（3）如图4，已知直线与x轴，y轴分别交R，Q两点，点P在第二象限内，P点坐标为，若点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，直接写出点Q关于点P的“垂链点”的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）证明，则，，根据坐标与图形性质可得点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标；同理可求出求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标； （2）画出图形，同（1）求解即可； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，画出图形求解即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，， ∵， ∴． ∵作轴于点G，作轴于点H， ∴， ∴， ∴，， ∴点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为； 当点E关于点O顺时针旋转时，如图， 同理可求：，， ∴点E关于点O的顺时针“垂链点”F坐标为． 故答案为：；； （2）如图， 当时，， ∴． 当时，， ∴． 同（1）可证，， ∴，， ∴， ∴点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为； （3）当时，， ∴． 当时，， ∴． 当顺时针旋转时，如图，点P坐标为所在的竖直直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为， ∴． 同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上， ∴ ∴， ∴； 当逆时针旋转时，如图，点P坐标为所在的直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为， ∴． 同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上， ∴ ∴， ∴； 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为或． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)1，； (2)或； (3)． 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是， ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是， 故答案为：1，； （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或； （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 3．(24-25八上·辽宁本溪·期末)【概念理解】对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的衍生函数． 【理解运用】例如：一次函数的衍生函数为． （1）已知一次函数．若点在这个一次函数的衍生函数图象上，求的值； （2）如图1，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象经过点，交轴于点，若，求该一次函数的表达式． 【拓展提升】 （3）如图2，点，点的坐标为，连接．当线段与一次函数的衍生函数的图象只有1个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或，（2）或，（3）或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是理解题意，理解衍生函数的定义及分类讨论，数形结合思想的应用． （1）直接根据衍生函数的定义及点在直线上的性质求解即可； （2）分两种情况，由图1，点作轴于点，结合，，由勾股定理可知，得到图1中，图2中点，再由待定系数法确定一次函数的解析式； （3）结合图形，分当一次函数经过点，当一次函数经过点和经过线段所作直线与y轴的交点三种情况求解即可； 【详解】（1）解：依题意知：一次函数的衍生函数为 点在衍生函数的图象上 ①当时，有   ②当时，有   综合①②知，或． （2）解：①如图1 点作轴于点H，   ，   在中，         ，在上      ②如图2，点的坐标为 ，在上      综上所述，一次函数的表达式为或 （3）或 ①当一次函数经过点时，    ②当一次函数经过点时，    （3），， 点的坐标为   综合①②③知，或 4．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴交于A，B两点．定义：点先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q，称点Q为点P的对称平移点．当时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q，当时，先关于y轴对称再向下平移1个单位得到点Q． (1)点的对称平移点为________． (2)若点的平移对称点在直线l上，求a的值； (3)点在直线上，E点的对称平移点为点F； ①当时，面积等于，求m的值； ②当时，若F点到直线与x轴距离相等，求E点坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②或 【分析】此题考查一次函数的图象和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据对称平移点的定义进行解答即可； （2）分当时和当时两种情况进行解答即可； （3）求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意得到，当时，点即的对称平移点为点，设交于点，则，则，得到，即可求出答案；②当时，点即的对称平移点为点，则点在直线上，得到F点是直线与x轴的角平分线与直线的交点，求出，分两种情况：点F在的角平分线上和点F在的角平分线上，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，点先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点， ∴点的对称平移点为， 故答案为： （2）当时，点的平移对称点为， ∵在直线l上， ∴， 解得， 当时，点的平移对称点为， ∵在直线l上， ∴， 解得， ∴a的值为或； （3）①对于直线l：， 当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 当时，点即的对称平移点为点， 设交于点，则， ∴， ∴， 解得（负值舍去） ②∵点在直线上， ∴， 当时，点即的对称平移点为点， ∴点在直线上， ∴F点到直线与x轴距离相等， ∴F点是直线与x轴的角平分线与直线的交点， 由①得，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 第一种情况，如图，点F在的角平分线上时，设的角平分线与y轴的交点为H，过点H作于点K， 设则， ∵ ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得，即， 即，则， ∴， ∴， 第二种情况，如图，点F在的角平分线上，此时，在上截取，则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标是， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得，即， 即， 则 ∴， ∴， 综上可知，点E的坐标为或 5．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，逆向证明三垂直即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点． (1)求a的值． (2)点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为． ①当点B与点A重合时，求m的值； ②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）根据“等幂函数”定义设解析式，再将代入即可得解； （2）①先分别写出A和B坐标，再根据题意建立方程求解即可； ②画出图形，将坐标转化为线段长度，进而分类讨论去绝对值求解即可； ③画出的图象，进而找出M、N，然后设出M、N的坐标，然后表示出和，代入求解即可． 【详解】（1）由“等幂函数”定义可设，， ∵经过点， ∴， 解得； （2）由（1）可知， ∵点A的横坐标为m， ∴， ∵点A“关于的等幂点”为点B， ∴， ①∵点A和点B重合， ∴， 解得； ②如图所示， 由题可知， ∴，， ∴； ③的图象如图所示， ∵， ∴点M在直线上， 设，即， ∵， ∴点N在直线上， ∵点N的横坐标是点M的3倍， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的点的坐标特征、新定义内容，解题关键是理解“等幂函数”的定义以及利用数形结合思想． 7．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②24；③存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ； ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， 解得，， ， 将代入，代入得： 解得：， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③设点， ， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立，解得：， ， 联立解得：  ， ． 综上，点的坐标为或． 8．(24-25八上·辽宁大连普兰店·期末)定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的一次函数叫做这个三角形的顶角函数．如图1，平面直角坐标系中，点，点． (1)若点C是的等腰点，一次函数是的顶角函数，直接写出函数的解析式：___________ ； (2)点M是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，是的顶角函数，求M点的坐标； (3)在（2）的条件下，经过点M，与组成的新函数y3． ①填空___________ ； ②当时，，求m的取值范围； ③当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求t的值或取值范围． 【答案】(1)或 ； (2)； (3)①8；②；③ 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为分段函数是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质求出或，再将点C代入求解即可； （2）求出点，过P作轴于H，则，再由等腰三角形的定义求出M的坐标为； （3）①将点M代入中，即可求n的值； ②确定三个临界点：时，；时，；时，，再结合一次函数的图象可确定； ③分三种情况讨论：当时，时，时，，此时不符合题意，舍去；当时，时，时，，可得，符合题意；当时，时，时，，可得，解得． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵点C是的等腰点，即等腰三角形的， ∴是等边三角形， 又点，点， ∴点在轴上， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得 ∴或， ∵一次函数是的顶角函数， ∴， ∴或； 故答案为：或； （2）解：当时，， ∴， 过P作轴于H，则， ∴M的坐标为； （3）解：①将点代入， ∴， 故答案为：8； ②时，， 时，，解得；时，， ∵， ∴； ③当时，即时，时，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，时，时，， ∴，符合题意； 当时，时，时，， ∴， 解得； 综上所述：． 9．(24-25八上·辽宁大连长海县·期末)已知一次函数叫做一次函数的“倍关联函数”，两函数图象的交点称作的“倍关联点”，与其“倍关联函数”的图象分别与轴交于点、两点． (1)已知是的“倍关联函数”，则________，________； (2)若一次函数的“倍关联点”为，求的解析式； (3)在（）的条件下， 以为边的正方形与的“关联函数”的图象交于点，求的面积？ 的“关联函数”的图象与轴交于点，在的“关联函数”的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 的面积为； 或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂新定义是解题的关键． （）根据定义直接求解即可； （）根据题意得到，，求出即可求解析式； （）求出，，设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于，则 可求，求出直线的解析式为，再由，求出点，即可求的面积； 过点作交于，过点作轴交于点，过点作， 交于点，则，设，则，再由 ，求出，即可确定，，点关于点对称点为，且． 【详解】（1）解：∵是的“倍关联函数”， ∴， ∴， ∵的“倍关联函数”为， ∴， ∴； （2）解：由一次函数的“倍关联函数”为， ∵一次函数的“倍关联点”为， ∴，， 解得，， ∴； （3）解： 与轴的交点为， ∵一次函数的“倍关联函数”为， ∴， 设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， ∴的面积； 存在点，使得，理由如下: 由与轴的交点为， 过点作交于，过点作轴交于点，过点作，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵点关于点对称点为，且， ∴点坐标为或． 10．(24-25八上·辽宁葫芦岛连山区·期末)已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”． (1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________． ①   ②   ③   ④ (2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． (3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)① (2)0或 (3)或 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征以及新定义“阶定距点”的应用，正确理解“阶定距点”是解答本题扔关键． （1）根据“阶定距点”定义分别判断所给出的四点是不是一次函数图象上的“2阶定距点”； （2）根据“3阶定距点”的定义求解即可； （3）设点P的坐标为，把点代入得，，求出，得，，求出直线的解析式为，设，求得，，列式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①当时，， 所以，点在函数的图象上， 又， 所以是“2阶定距点”； ②当时，， 所以，点在函数的图象上， 但， 所以不是“2阶定距点”； ③当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； ④当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； 所以，是一次函数图象上的“2阶定距点”的是①， 故答案为：①； （2）解：点是一次函数图象上的“3阶定距点” ， ， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 的值为0或； （3）解：点P是一次函数在第一象限内的“5阶定距点”， 设点P的坐标为， 把点代入得， ， 解得，， ，                          ，         设直线的解析式为，把点代入， 解得， 直线的解析式为，      设， 轴，点E在直线上， ， ，                  ， ， 解得，                   或． 地 城 考点02 一次函数与三角形面积 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)如图：直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且满足，若直线与直线l的交点记作． (1)求直线对应的函数解析式． (2)求四边形的面积． (3)若点为轴上一点，当的面积等于四边形面积的一半时，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)5 (3)当点在点左侧时坐标为，当点在点右侧时坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，非负数的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）由求出，的值，然后利用待定系数法即可得解； （2）分别求出和的面积，然后进行和差计算即可得解； （3）如图，分点在点左侧和点在点右侧两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解： 满足， ，， ，， ，， 设直线对应的函数解析式为， ，解得， 直线对应的函数解析式为； （2）解：由题意知， 解得， ， 令得，，解得，，令得，， ，， ，， ∴； （3）解：如图，当点在点左侧时 ， ， 坐标为， 如图，当点在点右侧时， ， ， 坐标为， 综上所述，的坐标为或． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）把代入求出点坐标，把代入求出值即可； （2）根据两直线解析式分别求出点、、坐标，即可得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案； （3）在点下方轴上取点，使，过点、分别作，，根据平行线间的距离相等得出、到的距离与点到的距离相等，根据两条平行线的值相等分别求出、的解析式，代入求出的值即可； （4）根据与面积相等得出，根据，，，，结合三角形面积公式求出点横坐标，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点在直线上， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴当时，，当时，， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴在点下方轴上取点，使， ∴ 过点、分别作，， ∴、，到的距离与点到的距离相等， ∴与面积相等， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 综上所述：存在点，使与面积相等，的值为或． （4）解：∵与面积相等， ∴，即， ∵，，，， ∴，即， ∵点在轴的负半轴上运动， ∴， 把代入得：， ∴． 3．(24-25八上·辽宁盘锦双台子区第三中学·期末)如图，直线经过点，，直线与直线相交于点C．    (1)求直线的表达式和C点坐标； (2)观察图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P为y轴上一动点，连接，当时，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两函数解析式可求出C点坐标； （2）根据C点坐标结合函数图象可直接得出答案； （3）求出点D、E的坐标，可得，根据可得，然后可得P点坐标． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 联立， 解得， ∴C点坐标为； （2）∵C点坐标为， ∴由图象知不等式的解集为； （3）对于直线， 当时，， ∴， 对于直线， 当时，， ∴， ∴， ∵P为y轴上一动点，， ∴， ∴P点坐标为或，即或． 【点睛】本题主要考查的是待定系数法求解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数与几何综合，解题的关键是会用待定系数法求直线的解析式． 地 城 考点03 一次函数与等腰三角形 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点与直线交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点D为直线上的动点，过点D作y轴的平行线，交于点E，交x轴于点F，连接． ①当时，请求出点D的坐标； ②当是等腰三角形时，请直接写出满足条件的等腰三角形的腰长______． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，掌握一次函数的性质，合理设点的坐标是解题关键． （1）根据求出点的坐标即可求解； （2）①由得，设可得，，即可求解；②分类讨论当时、当时、当时：根据两点间的距离公式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为： （2）解：①∵， ∴ 设 ∵过点D作y轴的平行线，交于点E，交x轴于点F， ∴， ∴ ∴ 解得：或 ∴点D的坐标为或 ②由①可得：， 当时：， 解得：或， 此时等腰三角形的腰长为： 或 当时：， 解得：或（舍去）， 此时等腰三角形的腰长为： 当时：， 解得：或（舍去）， 此时等腰三角形的腰长为： 故答案为：或或或 2．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点坐标为，；（2）的面积为；（3）；（4）①点坐标为时，的面积为；②存在一点，使是等腰三角形，满足条件的所有点坐标为或或或，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论． （1）由与轴相交于点，可得，根据，求出，即可求出点坐标，将点坐标代入，即可求出值； （2）求出，根据即可求解； （3）由即可求解； （4）①当时，，求出，再将代入中即可求解；②设，则，，，当时，；当时，；当时，；分别解方程即可求解． 【详解】（1） 与轴相交于点， ， ， ， 点坐标为， 把点坐标代入， 得，； （2）由（1）知， 把代入 得， ， ； （3） ， ； （4）①当时，， 解得，则， 点坐标为时，的面积为； ②存在一点，使是等腰三角形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点坐标为或或或． 地 城 考点04 一次函数与等腰直角三角形 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，根据一次函数的解析式求得的坐标，过点作轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 2．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角形的全等是解题的关键；过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据定理得出，故可得出及的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， ∴， 又， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为， 故答案为：． 3．(23-24八上·辽宁本溪·期末)如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ． 【答案】2或4 【分析】先求出点C坐标，然后分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可. 【详解】∵由，得， ∴C（2，2）； 如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ， ∵C（2，2）， ∴OQ=CQ=2， ∴t=2； 如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ， 过C作CM⊥OA于M， ∵C（2，2）， ∴CM=OM=2， ∴QM=OM=2， ∴t=2+2=4， 即t的值为2或4， 故答案为2或4. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键. 二、解答题 4．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 【答案】(1)①8，6；② (2)不变， (3)点的坐标为或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； （3）解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 5．(24-25八上·辽宁锦州·期末)如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)若点的坐标为，写出此时点的对应点的坐标； (2)随着动点在直线上的运动，点的对应点也在一条确定的直线上运动，求直线对应的函数表达式． 下面是两位同学的思考方法： 小李同学：运用特殊化方法，如图2，令点与点重合，求出此时点的对应点的坐标，再结合（1）得出的点的坐标，即可求解． 小张同学：如图3，设点的坐标为，以，为一组对应边构造全等三角形，通过几何推理的方式求出与满足的关系式，即可求解． ①请你借助小李同学的思路，求直线对应的函数表达式； ②请你借助小张同学的思路，或构造其他的几何图形，求直线对应的函数表达式； ③若直线与直线相交于点，在点运动的过程中，是否存在以点为顶角顶点的等腰？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点点的坐标为 (2)①直线的表达式为；②是点坐标满足的关系式，也是直线对应的函数表达式；③点的坐标为或点的坐标为 【分析】（1）根据，，结合旋转可得：轴，，从而可得答案； （2）①当点与点重合时，过点作于点，过点作于点，如图所示，证明，可得，点的坐标为，进一步求解即可； ②过点作于点，过点作于点，点坐标为．设点的坐标为．由①可知，，当点在直线左侧时，如图所示．可得，，，进一步可得．当点在直线右侧时，如图所示，同理可得：，，，进一步可得； ③过点作于点，过点作于点．由（2）得，．当点位于第一象限时，如图所示，设点的坐标为，在中，由勾股定理得，结合，进一步可得点的坐标为．当点位于第四象限时，如图所示，设点的坐标为，在中，．结合．进一步可得点的坐标为． 【详解】（1）解：∵，，结合旋转可得： ∴轴，， ∴点点的坐标为． （2）解：①当点与点重合时，过点作于点，过点作于点，如图所示． ， ． ， ． ． ，， ． ，． ， 点的坐标为． 设直线的表达式为，将点和点代入， 可得，解得， 直线的表达式为． ②过点作于点，过点作于点，点坐标为． 设点的坐标为． 由①可知，． ，． 当点在直线左侧时，如图所示． ，，， ，整理得． 当点在直线右侧时，如图所示． 同理可得：，，， ，整理得． 综上，是点坐标满足的关系式，也是直线对应的函数表达式． ③点的坐标为或．理由如下： 过点作于点，过点作于点． 由（2）得，． 当点位于第一象限时，如图所示，设点的坐标为， 而， ， ． ． 在中，由勾股定理得， 是以点为顶角顶点的等腰三角形， ． 即，解得． 代入直线的表达式中，点的坐标为． 当点位于第四象限时，如图所示，设点的坐标为， ， ． ． 在中，． 是以点为顶角顶点的等腰三角形， ． 即，解得， 代入直线的表达式中，可得点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，旋转的性质，等腰三角形的定义，二次根式的混合运算，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    【答案】（1）①2，3；②点E的坐标为； （2）是定值，详见解析； （3）点Q的坐标为（）或（4，）． 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，当点在点左边时过点作轴于，过点作于，证明．由全等三角形的性质证明边长相等，表示出点Q的坐标；当点在点右边时，同理用全等三角形的性质证明边长相等，可得点的坐标，将点Q的坐标代入直线解析式，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，y＝3， 令时，， ∴， 即， 故答案为：2，3． ②过点作于点D，    ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M，    ∵ ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）①当点在点左边时，过点P作轴于S，过点Q作于T， 设，，，   （等角的余角相等） ∵ ∴， ∴， ∴点， 将点Q的坐标代入 解得． ∴点Q的坐标为； ②当点在点右边时，同理过点P作轴于S，过点Q作于T，    可证 ∴，， ∴， 则点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入 解得， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 7．(23-24八上·辽宁辽阳·期末)如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标； (3)如图，已知点，点在直线上，点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）根据的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出的表达式； （）分当点位于点的左侧和右侧两种情况，设点，利用三角形面积公式分别把、表示出来，再根据题意列出方程即可求解； （）分点位于点右侧和左侧两种情况，利用全等三角形的性质进行求解即可解答． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，当点位于点的左侧时，设点， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积， ∵的面积， 又∵的面积为面积的， ∴， 整理得，， 解得， 当时，点的坐标为，与点重合，不符，舍去， ∴， ∴点的坐标为； 当点位于点的右侧时，如图， 的面积 ， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：当点位于点右侧时，如图，过点作轴的平行线，与轴相交于点，分别过点作它的垂线，垂足分别为点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 当点位于点左侧时，如图， 同理可得， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的面积； 故的面积或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，利用数形结合分析问题是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁抚顺顺城区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，若，求点的坐标； (3)点为线段上一点，点为轴正半轴上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）设直线函数表达式为，将，代入，即可解答； （2）设点的坐标为，求出点，，则可推导出，，继而得到，求出a的值，即可解答． （3）分类讨论：①当时，，②当时，，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：设直线函数表达式为 将，代入，得 解得， 直线函数表达式为； （2）设点的坐标为 直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时， ， 或 或 答：点的坐标为或； （3）点为线段上一点，点为轴正半轴上一点， 设点的坐标为，点的坐标为 是以为直角边的等腰直角三角形 ①当时，， 如图，过点作轴于点，过点作于点 ， 点的坐标为． ②当时，， 如图，过点作轴， 过点作于点，过点作于点 ， ， ， ， 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数和几何综合，一元一次方程，等腰直角三角形，全等三角形，掌握知识点是解题的关键． 地 城 考点05 一次函数与角度问题 一、填空题 1．(23-24八上·辽宁丹东·期末)如图，直线交x轴，y轴于A，B两点，点在直线上，点C在x轴上，若，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N，证得，表示出点的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：如图，当点C在直线的下方时，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在上， ∴， ∴点， 设点的坐标为， 则，， ∴， ∴点的坐标为， 代入解得， ∴点的坐标为； 如图，当点C在直线的上方时，过点C作交直线于点Q，过Q点作轴于点M，过点P作轴于点N， 则， ∴，， 设点的坐标为， 则，， ∴， ∴点的坐标为， 代入解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 3．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)已知，如图1，直线AB分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（0，6），点C在直线AB上，且点C坐标为（﹣a，a）， (1)求直线AB的表示式和点C的坐标： (2)点D是x轴上的一动点，当S△AOB＝S△ACD时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为（0，﹣1），连接CE，点P为直线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)，或， 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，设，则，即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标为，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求，；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得，，求出直线的解析式为，联立方程组，则可求，． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ，， 则有， ， ， ， ； （2）， ， ， 设， ， 或， 或； （3）①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点， ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ，，即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得， ，； ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立方程组， 解得， ，， 综合上所述，点坐标为，或，． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 5．(23-24八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． (1)求直线的表达式： (2)的面积为 ； (3)连接，， ①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ； ②当时，请直接写出点P的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)3 (3)①或；②或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式： （2）由直线可得，由直线得，即可得的面积； （3）①设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可； ②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线得， ， 点， 设直线的解析式是， 点， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ， 直线与轴相交于点， ， 点， ， ， 故答案为：3； （3）解：①设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； ②设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，过点作轴于， ， ， ， ， 直线，令，则， ， ， ，，， ， ， 设点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 地 城 考点06 一次函数与折叠问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，直线交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，勾股定理．根据解析式可得，，再证明三角形全等及利用勾股定理建立方程可得，掌握求解的方法是关键． 【详解】    如图，连接、、、， 由得，， ，， 点与点关于直线对称， ，且， ， 点在第一象限，且纵坐标为4， 轴， ， 又，， ， ， 设，则， ， ， 在直角中，， ， 解得． ， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，一次函数，与轴交于点A，与轴交于点，点在轴正半轴， ． (1)求点的坐标与直线的表达式； (2)直线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是中边上一动点（不与A、B重合），将沿所在直线折叠，点A的对应点为点，若所在的直线与的一边垂直，则点的坐标为____________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、三角形的面积、图形的翻折等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意可得，易得，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图：设，则，解得：或，进而完成解答． （3）当时，如图，设交x轴于点H，由，则，进而得到即可求得点D的坐标，再说明关于y轴的对称点符合题意；然后再求解两种情况即可． 【详解】（1）解：∵一次函数，与轴交于点A，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 则，解得：． ∴直线的表达式为：． （2）解：如图：设， ∵， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． （3）解：由（1）知，， ∴，，即， 如图：在y轴上截取，则，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，如图，设交x轴于点H，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴，解得：， ∴，， 设，则， ∴，解得：， ∴，故点； 如图：为关于y轴的对称点，即， ∵将沿所在直线折叠，点A的对应点为点， ∴， ∵，即轴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， ∴， ∴轴， ∴符合题意； ②当时，则， ∴， ∵如图：点H为①图中的点H，， ∴，即， ∴，即，解得：（舍弃负值）， ∵，， ∴是等边三角形， ∵轴， ∴点D和①中的H关于y轴对称， ∵， ∴点； ③当时，如图：延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，即点E在y轴的负半轴上， 设，则， ∴，解得：， ∴点； 综上，点D的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 3．(24-25八上·辽宁大连高新园区·期末)如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，点C的横坐标为4，点，连接，点M在线段上，设点M的横坐标为m． (1)求点C的坐标； (2)连接，若的面积为，直接写出m的值； (3)若平分，求点M的坐标； (4)连接，将沿翻折，点C的对应点为N，若点N在x轴上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)m的值为或 (3) (4)或 【分析】（1）首先求出直线的解析式为，然后将代入求解即可； （2）首先求出，设点M到x轴的距离为h，然后根据的面积为列方程求解即可； （3）如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点G，于点H，勾股定理求出，由角平分线的性质定理得到，然后利用代入求出，然后代入求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，勾股定理求出，由翻折得，垂直平分，然后分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴设直线的解析式为 ∴ ∴解得 ∴ ∵点C在直线上，点C的横坐标为4 ∴将代入 ∴点C的坐标为； （2）解：∵ ∴ 设点M到x轴的距离为h ∵的面积为， ∴ ∴ ∴当时， 解得，即； 当时， 解得，即； 综上所述，m的值为或； （3）解：如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点G，于点H ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴将代入 ∴； （4）解：如图所示，当点N在x轴正半轴上时，连接交延长线于F， 由折叠得， ∵ ∴ ∴； 由翻折得，垂直平分 ∵点C和点N的横坐标都为4 ∴轴 ∴轴 ∴ ∴将代入得， ∴ ∴； 如图所示，当点N在x轴负半轴上时，连接， 同理可得，， ∴ ∴ 由翻折得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ 解得 ∴将代入 ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键是掌握以上知识点． 地 城 考点07 一次函数与线段长度 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标． 【答案】(1)； (2)点E的横坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）对点E的位置进行分类讨论，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 则， 解得， 所以直线的函数解析式为； （2）解：令点E的横坐标为m， 则E点坐标可表示为， 因为轴， 所以． 因为点F在直线上， 所以． 当时， ，， 由得， ， 解得（舍去）． 当时， ，， 由得， ， 解得． 当时， ，， 由得， ， 解得， 综上所述，点E的横坐标为或． 地 城 考点08 一次函数与全等三角形 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，． 【基本问题】 （1）求直线的解析式； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，当的面积为时，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在直线上有一点，直线交轴正半轴于点，在射线上有一点，使，请直接写出点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决问题的关键是证明三角形全等． （1）先根据勾股定理求得的长，从而得出点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）由点是线段上一点，，可得，根据列出方程，进一步得出结果； （3）由（2）可知，由可得，，可证得，从而得出，从而得出或，可直线的解析式，可得或，推出或，再求出，即可进一步得出结果． 【详解】解（1），，， ，， ， 将，代入直线中得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）点是线段上一点，， ， ， 的面积为4.5， ， 解得：； （3） ， ，， ，， ， 直线轴， ， ， 又，， ， ， 或， 设直线的解析式为，将或，代入得： 或， 解得：或， 直线的解析式为或， 令，则或， 解得：或， 或， 或， 或， 或， 或． 地 城 考点09 一次函数与最值问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数图象上的一点，点A坐标为，点B的坐标为，当取最大值时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作关于直线对称点，求出点C坐标，连接并延长，交直线于点，判断出，取得最大值，求出直线的表达式，联立可得点P坐标． 【详解】解：作关于直线对称点， ， ， 的坐标为； 连接并延长，交直线于点， 此时，取得最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的方程为， 解得； 点的坐标为，； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得的位置是解题的关键． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁营口·期末)如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于，根据题意就是的最小值，由直线的解析式求得的坐标，进而求得的长，从而求得和，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于， 连接， 根据平移可得，且， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点D于于时， 根据对称可得， ∴，即， ∴的最小值为， 由题可知， 令，解得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、平移的性质，勾股定理的应用，证得是的最小值是本题的关键． 三、解答题 3．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． (1)点的坐标是______；直线的函数表达式______； (2)若点是直线上一动点，且，求点的坐标； (3)点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒），请求出的最小值． 【答案】(1)； (2)P点的坐标为或 (3)t的最小值为 【分析】（1）先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）设点P坐标为，先求出点C坐标，再求出的面积，表示出 的面积，根据，列方程求解即可； （3）根据点M在第二象限，当，可知点M在线段(不含端点)上运动，作点B关于线段的对称点，连接，，，交线段点M，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得t的最小值． 【详解】（1）解：点A在y轴上，直线过点A， 点A坐标为， 将点和点代入直线， 得，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：，； （2）设点P坐标为， 直线过点A，与x轴交于点C， 令，得， 点C坐标为， 点，点， ，，， ， ， ，解得或， P点的坐标为或； （3）点M在第二象限，当时，如图： M在过点且平行于的线段(不含端点)上， 直线的函数表达式为， ， ， ， 作点B关于线段的对称点，连接，，，交线段点M，连接，则的最小值即为的长， ，，， ， ， ， ， 点N的运动速度始终为每秒1个单位长度， 运动的总时间为（秒）， t的最小值为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积，勾股定理等知识，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)将的三个顶点的横坐标分别乘，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作（点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)与（1）所得的位置关系　　； (3)在y轴上找一点P，使得最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)关于y轴对称 (3)见解析， 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查轴对称—最短路径问题，作图—轴对称变换，求一次函数解析式 （1）先写出、、的坐标，再描点得到； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征进行判断； （3）过点B作y的对称点，连接交y轴于点P，即为所求，然后求出所在直线的表达式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：与（1）所得的位置关系是关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； （3）解：如图所示，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P， 则此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 5．(24-25八上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移个单位得到； (3)在轴上求作一点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了坐标系中的点对称，点的平移，动点到两个定点距离之和最小，熟记对称点确定的基本原则，平移的基本规律和线段之和最小原理是解题的关键． （1）保持纵坐标不变，横坐标取相反数，确定对应的对称点，顺次连接三个对称点即得对称图形； （2）按照上加下减原理，在各点的纵坐标上实施这一运算，得到平移变换后的各点，依次连接三个点即得到平移后的三角形； （3）连接，与轴的交点就是点，此时的周长最小． 【详解】（1）解：∵、、， ∴关于轴的对称点分别为，，， 顺次连接，，，得到，如图示； （2）解：∵、、， ∴向下平移个单位后的坐标分别为，，， 顺次连接，，，得到，如图示； （3）解：连接，交轴于点，此时的周长最小，如图； 6．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（）根据“垂直函数”的定义解答即可； （）①根据“垂直函数”的定义求出，再利用待定系数法求出的解析式，分别联立和的解析式，联立和的解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再求出直线经过点时的值，根据图象与线段有两个公共点可求出的取值范围；②根据平行线的性质可得点横坐标为，点横坐标为，即得，，得到，，再利用平行线的性质求出的值即可求解；③，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，利用轴对称的性质可得，可知当点在点位置，即点三点共时，的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入解答即可求解； 本题考查了一次函数的新定义，一次函数的几何应用，平行四边形的性质等，理解一次函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，， ∴函数的“垂直函数”的函数表达式为； （2）解：①∵函数， ∴函数和它的“垂直函数”， 当与线段有交点时， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴的解析式为， 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 把代入，得， ∴， 即直线经过点时， ∵要使图象与线段有两个公共点， ∴， ∴的取值范围为； ②如图，∵，，平行于轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， 把代入，得， ∴点， 把代入，得， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∵的水平距离为， ∴平行四边形的面积为； ③如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，， ∴ 又∵， ∴当点在点位置，即点三点共时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 把代入，得， ∴． 地 城 考点10 一次函数与动点图象问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． (1)当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； (2)当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； (3)在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据函数解析式求值，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是实际运动和函数图象的对应结合． （1）将代入函数的解析式求得结果； （2）①可推出是等边三角形，此时点在处，，代入函数解析式求得结果； ②当是等边三角形时，可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）根据前文得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， 故答案为：； （2）解：①如图1， ，于点， ，即垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， 此时点运动到点处，， ， ， 故答案为：2； ②如图1， 当是等边三角形时， ，， ， ， ， ， ， 当时，, ， ， ； （3）解：当时，， 当，可得， ，， 当时，． 2．(24-25八上·辽宁盘锦双台子区第三中学·期末)如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)①当点在线段上时， ______（用含的式子表示），______； ②当点在线段上时，求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)根据（1）的解答，在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①，3；② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点作于点，则，再根据平行四边形的面积公式求出，当点在上时，则；②当点在上时，求出，即可得解， （2）描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）当图象过和、时，为符合题意的临界点，由此即可得解； 【详解】（1）解：①过点作于点， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则，即， 则， 当点在上时，则， 故答案为：，； 如图，当点在上时， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，，当时，， 根据上述点坐标描点、连线绘制图象如下： （3）解：当图象过和、时，为符合题意的临界点， 当图象过时，则， 直线的表达式为：，即， 当图象过时，则，则， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．(24-25八上·辽宁盘锦双台子区第三中学·期末)如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)①当点在线段上时， ______（用含的式子表示），______； ②当点在线段上时，求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)根据（1）的解答，在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①，3；② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点作于点，则，再根据平行四边形的面积公式求出，当点在上时，则；②当点在上时，求出，即可得解， （2）描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）当图象过和、时，为符合题意的临界点，由此即可得解； 【详解】（1）解：①过点作于点， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则，即， 则， 当点在上时，则， 故答案为：，； 如图，当点在上时， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，，当时，， 根据上述点坐标描点、连线绘制图象如下： （3）解：当图象过和、时，为符合题意的临界点， 当图象过时，则， 直线的表达式为：，即， 当图象过时，则，则， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 地 城 考点11 一次函数与图形交点问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期末)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，那么称点A是点B的“友好点”． 例如，点的“友好点”点B的坐标为 (1)点的“友好点”的坐标是______； (2)点D的“友好点”点E的坐标为，一次函数的图像经过点E，与x轴交于点F，求证：； (3)点的“友好点”H，点K的坐标为，连接，如果线段与直线有公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，线段HK与直线有公共点 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，理解题意是解题的关键． （1）由“友好点”定义可求解； （2）由“友好点”定义可求点D坐标，由两点距离公式可求的长，即可求解； （3）由“友好点”定义可求点H坐标，利用特殊位置求出a的值，即可求解． 【详解】（1）解：点， 点的“友好点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）证明：设点D坐标为， 点D的“友好点”点E的坐标为， ，， ，， ， 一次函数的图像经过点， ， ， 一次函数解析式为， 当时，， 点， ，点，点， ，， ； （3）解：点的“友好点”H， 点， ∵直线，即当时，均有， ∴该直线经过点， 当直线经过点， 可得，解得， 当直线经过点， 可得，解得， 当是，若使线段与直线有公共点，则有， 当是，若线段与直线有公共点，则有， 综上所述，当或时，线段与直线有公共点． 3．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， (1)分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； (2)点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点关于直线的“点线变换点”的坐标为，点关于直线的“点线变换点”的坐标为 (2)①10，②，③或且 【分析】（1）先求出点坐标，再根据“点线变换点”定义分别计算关于直线、的变换点坐标； （2）①先求时、坐标，再求、坐标，最后根据三角形面积公式计算；②利用待定系数法求直线解析式，再求与y轴交点；③排除特殊 m 值​：当或落在一条直线上时，可能导致交点重合或增加；联立方程求交点范围，​根据图形关系分析m取值范围． 【详解】（1）解：，解得， 点的坐标为； 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． （2）设点，点， 则，， ①当时，则，，如图1， ． ， ②设直线对应的函数表达式为， 将点，，代入得， ，解得， ， 当时，， 直线与y轴交点坐标为． ③​若在上​：则， ，解得，， 在上，与有两个交点， ​若 在上​：则， ，解得，，此时重合，故舍去， ​线段：过交点时，与有一个交点， ，解得，， 当且时，线段与直线组成的图形有两个交点； 将代入，得， 解得，，即当在上时，线段与直线组成的图形刚好有两个交点， 当时，线段与直线组成的图形有两个交点； 综上，当线段与直线组成的图形有两个交点时，或且． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义“点线变换点”，通过联立方程求交点，利用坐标变换和直线解析式求解相关问题，关键是理解新定义并准确计算坐标变换． 地 城 考点12 一次函数与直角三角形 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁鞍山海城协作体·期末)已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05一次函数与几何综合 ☆12大高频考点概览 考点01一次函数的新定义问题 考点02一次函数与三角形面积 考点03一次函数与等腰三角形 考点04一次函数与等腰直角三角形 考点05一次函数与角度问题 考点06一次函数与折叠问题 考点07一次函数与线段长度 考点08一次函数与全等三角形 考点09一次函数与最值问题 考点10一次函数与动点图象问题 考点11一次函数与图形交点问题 考点12一次函数与直角三角形 考点01 次函数的新定义问题 、 解答题 1.(24-25八上辽宁丹东期末)定义：如图1，在平面直角坐标系中，A,B两点位置不同，将点B绕着点A 顺时针旋转90°后得到点C,称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转90· 后得到点D,称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”. B H 图1 图2 Ay/y=2x12 Ay y=3x+2 RO 图3 图4 1/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题初探】(1)如图2，已知点O坐标为(0,0)，点E坐标3,1)，求出点E关于点O的垂链点”坐标.小 明提出连接0E,作OF⊥OE,使0F=OE,点F为点E关于点O的逆时针“垂链点”，作FG⊥y轴于点 G,作EH⊥x轴于点H,可以证明△FG0兰△EHO,则OH=G0=3,FG=EH=1,则点E关于 点O的逆时针“垂链点”F坐标为 ,请你求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标为 【方法迁移】(2)如图3，已知直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于J,K两点，求出点J关于点K的顺 时针“垂链点”的坐标. 【拓展应用】(3)如图4，己知直线y=3x+2与x轴，y轴分别交R,Q两点，点P在第二象限内，P点 坐标为(-2，m),若点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2上，直接写出点Q关于点P的垂链 点”的坐标 2.(24-25八上·辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形上 任意一点，P,N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”.特别的，当点P在图形WW上时， 点P与图形W的“近点距离”为零.如图1，点A(3,1),B(3,5) 6 5 4 3 2 2 1 -6-5-4-3-2-11234567x -6-5-4-3-2-101234567x 2 -2 -3 -3 4 -4 -6 -6 图1 图2 (1)点C(4,1)与线段AB的近点距离”是 ；点D(1,0)与线段AB的“近点距离”是 (2)点P在直线y=X十2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 (3)如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF,连接AE,BF,若直线y=x十b上存在点G,使 得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于√5，直接写出b的取值范围. 3.(24-25八上辽宁本溪期末)【概念理解】对于给定的一次函数y=kx十b(k≠0，k、b为常数)，把 kx+b(x≥0) 形如V= (-kx+b(x<0)(k≠0，k、b为常数)的函数称为一次函数y=kx+b的衍生函数. t 2x+3(x20) 【理解运用】例如：一次函数y=2x+3的衔生函数为y={-2x+3(x<0)· (1)已知一次函数y=-2x十1.若点G(n,-3)在这个一次函数的衍生函数图象上，求n的值： 2/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图1，一次函数y=kx+b(k≠0，k、b为常数)的衍生函数图象经过点P(-2,3),交x轴于点 Q,若PQ=V10,求该一次函数的表达式. 【拓展提升】 (3)如图2，点P(-2,3),点C的坐标为(4,1)，连接PC.当线段PC与一次函数y=2x+b的衍生函数 的图象只有1个交点时，直接写出b的取值范围. P。 图1 图2 4.(24-25八上辽宁沈阳沈河区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=3x-8与x轴，y轴交于A, B两点.定义：点P(m,n)先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q,称点Q为点P的对称平 移点.当m>0时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q,当m<0时，先关于y轴对称再向下平 移1个单位得到点Q. (1)点(1,2)的对称平移点为 (2)若点(a,4)的平移对称点在直线1上，求a的值； (3)点E(m,n)在直线y=X十1上，E点的对称平移点为点F; ①当m>0时，△FAB面积等于27，求m的值： 3/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当m<0时，若F点到直线AB与x轴距离相等，求E点坐标. 5.(24-25八上辽宁沈阳于洪区期末)在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义：将图形M上的一点 P(a,b)变为点Q(a-b,a+b)称点Q为点P的关联点.图形M上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图 形记为图形N,称图形N为图形M的关联图形. YA O (图1) (备用图) (1)点(1，-3)的关联点的坐标为 (2)点A在直线y=X+2上，点A的关联点B在直线y=-3x+5,求点A的坐标； (3)如图1，若点Ea,b)在第一象限，且a>b,点E的关联点F,判断△E0F的形状并证明 (4)已知t>0,点At,O),B(t,t),C0,t),若四边形0ABC与其关联图形重合部分的面积为2，直线 y=mx+n(m≠0)经过点(4,5)，且与该关联图形有交点、请直接写出m的最小值 6.(2425八上辽宁沈阳浑南区期末)已知y1是自变量x的函数，当y,=ay1(a为常数，a≠0)时，称 函数y2为函数y1的“等幂函数”.在平面直角坐标系中，对于函数y图象上任意一点A(m,n),称点 B(man)为点A“关于y1的等幂点”，点B在函数y1的“等幂函数y2的图象上.若函数y:=-x+5,函 数y的“等幂函数Y经过点(7,1). 备用图 (1)求a的值. 4/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)点A“关于y1的等幂点”为点B,设点A的横坐标为m(m>0). ①当点B与点A重合时，求m的值： ②当点B与点A不重合时，连接AB,线段AB与x轴交于点C,过点B作y轴垂线交y轴于点D,构造矩 形OCBD,设矩形OCBD的周长为y,求y关于m的函数表达式： ③在②的条件下，设直线y=t1(5<t1<10,t1是常数)与函数y的图象的交点为M,设直线 y=t2(t2>10,t2是常数)与函数y的图象的交点为N,若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出 9t1-t2的值 7.(24-25八上辽宁辽阳期末)我们给出如下定义：对于给定的一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)， kx+b(x≥0) 把形如y= {-kx+b(x<0)(kb为常数且k≠0)的函数称为一次函数y=kx+b的演变函数. (1)已知函数y=2x+1. ①若点E(-1,m)在这个一次函数y=2x+1的演变函数图象上，求m的值： ②若点F(n,3)在这个一次函数y=2x+1的演变函数图象上，求n的值. (2)如图，一次函数y=kx+b(kb为常数且k≠0)的演变函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于 A(-4,p),B(29)两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的演变函数图象与y轴相交于点C,求△ABC的面积： ③在一次函数y=kx十b(k、b为常数且k≠0)的演变函数图象上是否存在点P,使得PA=PB,若存在， 请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8.(24-25八上辽宁大连普兰店期末)定义：如果一个等腰三角形的顶角为a°，则称该等腰三角形为a°等 腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为a·等腰点，过a·等腰点的一次函数叫做这个三角形的顶角函 数.如图1，平面直角坐标系中，点A(-2,0),点B(2,0) 5/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y不 BA B A B 图1 图2 备用图 (1)若点C是△ABC的60·等腰点，一次函数y=X十b是△ABC的顶角函数，直接写出函数的解析式： (2)点M是y轴正半轴上一点，PB平行于y轴，△OPM是°等腰三角形，P是a°等腰点，y1=2x是 △OPM的顶角函数，求M点的坐标： (3)在(2)的条件下，y2=-x+n经过点M,y:=2x(x<2)与y2=-x+n(x≥2)组成的新函数y ①填空n= ②当1≤x≤m时，2≤y3≤6，求m的取值范围： ③当t≤x≤t+2时，函数y3的最大值记为h1,最小值记为h2,当h1h2=2时，求t的值或取值范围.。 9.(24-25八上·辽宁大连长海县·期末)已知一次函数y=mkx-b叫做一次函数y=kx+b的“m倍关联函 数”，两函数图象的交点称作y=kx十b的“m倍关联点”，y=kx十b与其“m倍关联函数”的图象分别与y 轴交于点A、B两点. 图1 备用图 (1)己知y=-x+m是y=nx+2的“2倍关联函数”，则m= ，= (2)若一次函数y=kx+b的4倍关联点”为C(-2,-号)，求y=kx+b的解析式： (3)在(2)的条件下， ①以AC为边的正方形与y=kx十b的“关联函数的图象交于点D,求△ABD的面积？ ②y=kx+b的“关联函数的图象与x轴交于点F,在y=kx+b的“关联函数"的图象上是否存在一点E ,使得∠AEF=45°，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由. 10.(24-25八上辽宁葫芦岛连山区期末)已知y是自变量x的函数，点P(x,y)在函数图象上，若点P到两 坐标轴距离的和等于m(m为常数，m>0)，即x+y=m,则称点P为函数图象上的“m阶定距点”.例 6/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如点(-3，-1)是一次函数y=x+2图象上的4阶定距点”. (1)下列各点中是一次函数y=3x-2图象上的“2阶定距点”的是 ①1,1)②(，0)③0，-1)④(-1,1) (2)点(-2，b)是一次函数y=-x+n图象上的3阶定距点”，求n的值. (3)一次函数y=2x-4的图象交x轴于点A,交y轴于点B,点P是次函数y=2x-4的图象在第一象限内 的5阶定距点，点D在直线OP上，过点D作DEy轴，交直线AB于点么，当DB=票0P时，求点D 的坐标， 目目 考点02 次函数与三角形面积 一、解答题 1.(24-25八上辽宁朝阳建平县期末)如图：直线y=x+4与x轴交于点A,直线1与x轴、y轴分别交于点 B(m0)和点C(0,n),且mn满足|m-2+Vn-1=0,若直线y=x+4与直线1的交点记作D· (1)求直线/对应的函数解析式. (2)求四边形AOCD的面积. (3)若点P为x轴上一点，当△PBD的面积等于四边形AOCD面积的一半时，直接写出P点坐标. 2.(24-25八上辽宁沈阳第四十三中学期末)如图1，已知直线1：y:=kx-2与坐标轴交于A、H两点，直 线l2:y2=2x+4与y轴交于点B,且两直线交于点C,C点坐标为(-4，n: 7/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,=2x+4 个y,=2x+4 /y,=2x+4 B B y=kx-2 y=kx-2 y,-r-2 产 A A H 图1 图2 图3 (1)求出k值. (2)如图2，连接AB,求出△ABC的面积 (3)在(2)的前提下，平面内是否存在一点D(m,-壳m),使得△ACD与△ABC面积相等？若存在，直 接写出m的值；若不存在，请说明理由， (4)如图3，已知点P(0,-5),点Q在x轴的负半轴上运动，连接PQ,与直线BC交于点E,与直线AC交于 点F,当△CEF与△HPF面积相等时，直接写出点E的坐标. 3.(24-25八上辽宁盘锦双台子区第三中学期末)如图，直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4), 直线y=-2x-4与直线AB相交于点C. (1)求直线AB的表达式和C点坐标； (2)观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集； (3)若P为y轴上一动点，连接PC,当S△PD=S△Dc时，请直接写出P点坐标. 目目 考点03 次函数与等腰三角形 一、解答题 1.(24-25八上辽宁沈阳期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y=kx+b(k≠0)经过点 B(05)与直线l2:y=-x交于点A(-2,a),与x轴交于点C. 8/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=kx+b v=kx+b B B 三一X 三一X 图1 图2 y=kx+b /y=kx+b 备用图 (1)求直线1的函数表达式； (2)如图2，点D为直线l2上的动点，过点D作y轴的平行线，交1于点E,交x轴于点F,连接0E. ①当S△FoD=2S△E0D时，请求出点D的坐标； ②当△OED是等腰三角形时，请直接写出满足条件的等腰三角形的腰长 2.(23-24八上辽宁沈阳法库县·期末)如图，直线y=kx-1的图像与x轴、y轴分别交于B,C两点，且 0C=20B. y=kx-1 A (1)求B点坐标和k值. 【问题探究】 9/25 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)点A在直线y=kx-1的图像上，当点A的横坐标是-2时，求△A0B的面积； 【问题发现】 (3)若点A(x,y)是直线y=kx-1图像上在第二象限内的一个动点，求△AOB的面积S与x的函数关系 式； 【问题拓展】 (4)①问题(3)中当A点运动到某位置时，△A0B的面积为芹，求此时A点坐标： ②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P,使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的 所有P点坐标；若不存在，请说明理由. 目目 考点04 次函数与等腰直角三角形 一、填空题 1.(24-25八上辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+6分别与x轴，y轴交于A、B 两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC,过点B作BD⊥AC于点D,则点D的坐标 是 B A 2.(24-25八上辽宁辽阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为3,1)，AB=0B,∠AB0=90· ，则直线AB对应的函数表达式是一 B(3,1) 3.(23-24八上·辽宁本溪期末)如图，直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A、B,与直线yx交于点C,线 段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ.若 △OQC是等腰直角三角形，则t的值为 10/25