专题04 代数式 3大高频考点（期末真题汇编，北京专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 代数式 3大高频考点概览 考点01 列代数式 考点02 求代数式的值 考点03 规律探索 地 城 考点01 列代数式 1、 单选题 1．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)如图所示，以下数量中能用表示的是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．长方形的周长 D．长方形的面积 2．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)下面①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高；③购买直尺和圆规的总费用一定，直尺的费用与圆规的费用．各题中的两个量成反比例关系的是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)x与y成反比例关系，当时，；当时，x的值是 ． 2．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&amp;D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为 亿元． 3．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)由若干个边长为1的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为S，边上的格点个数记为x，内部的格点个数记为y．例如，图1中的格点多边形ABCDE边上的格点个数，内部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了S，x，y三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． (1)由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① ② ③ ④ ⑤ 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的：S，，y三者之间的数量关系； (2)利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； (3)在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 4．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． (1)______（填“>”，“<”或“=”）； (2)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 5．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是一个长方形，宽为a，长是宽的2倍． （1）窗户的外框的总长为 （用含a的代数式表示）； （2）当时，这个窗户的外框的总长约为 m（取，结果精确到）． 6．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是 （用含a，b，c的代数式表示）． 7．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)如果用表示一个三位数，那么这个数百位，十位，个位上的数字分别为x，y，z．已知三位数能被9整除． (1)写出一组满足条件的a，b，c的值； (2)说明三位数能被9整除． 8．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)已知正方形的边长为． （1）如图1，正方形各边的中点分别为，，，，依次连接四个中点，得到阴影部分．该阴影部分的面积为 ； （2）如图2，点在边上，且．在正方形的四条边上截取．连接，，，，得到阴影部分．设，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示） 地 城 考点02 求代数式的值 1、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)已知，则代数式的值为 ． 地 城 考点03 规律探索 一、选择题 1．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 2、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市西城区·期末)如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为 （用含n的式子表示）．    2．(24-25七年级上·北京市西城区·期末)如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可），从上往下依次为 ， ， ． 3．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有 ． （1）若，则 ； （2）若均是3位本原数，设，且，则3位本原数 ． 4．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，过程如下： （ⅰ）如图1，在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O； （ⅱ）如图2①，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的距离为线段的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段的长； （ⅲ）如图2②，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长； （ⅳ）如图2③，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长； …… （ⅴ）继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长． 依据实验过程和实验数据，解答问题： 上述实验相关数据的记录如下表： 次数 右端挂小物体数 支点与右端挂小物体处的距离（单位：cm） 左边挂小物体数 支点与左边挂小物体处的距离（单位：cm） 1 1 30 1 2 1 30 2 3 1 30 3 …… … … … … n 1 30 n (1)__________； (2)小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变．设木杆长为，支点在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为，把m，l作为已知数，可以列出关于x的一元一次方程为__________； (3)生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系．现有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为，水面高度为，2号底面积为，水面高度为，已知． ①当这两个容器中水的体积相同时，的值为__________； ②这两个容器中都有的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，求1号倒入2号中的水的体积． 5．(24-25七年级上·北京市怀柔区·期末)当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为 ；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是 ． 6．(24-25七年级上·北京市海淀区·期末)对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a，b，与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． (1)2，3，5______“好数组”，1，2，3，5______“好数组”；（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，是“好数组”，求出的所有可能值； (3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”．（此问为选作题，共3分，可计入总分，但全卷不超过100分） 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 代数式 3大高频考点概览 考点01 列代数式 考点02 求代数式的值 考点03 规律探索 地 城 考点01 列代数式 1、 单选题 1．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)如图所示，以下数量中能用表示的是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．长方形的周长 D．长方形的面积 【答案】C 【知识点】线段的和与差、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握线段的长度和图形的周长、面积计算方法．分别计算各选项的结果，化简即可判断． 【详解】解：A、线段的长度为，故该选项不符合题意； B、线段的长度为，故该选项不符合题意； C、长方形的周长为，故该选项符合题意； D、长方形的面积为，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)下面①汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高；③购买直尺和圆规的总费用一定，直尺的费用与圆规的费用．各题中的两个量成反比例关系的是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了成反比例的关系， 根据成反比例的两个量的乘积一定逐项判断即可． 【详解】因为汽车行驶的路程一定时，汽车行驶的平均速度与时间的乘积一定，所以平均速度与时间成反比例，则①符合题意； 因为长方体的体积一定时，长方体的底面积与高的乘积一定，所以底面积与高成反比例，则②符合题意； 因为购买直尺和圆规的总费用一定时，直尺的费用与圆规的费用的和一定，所以直尺的费用与圆规的费用不成反比例，则③不符合题意． 所以①②中的两个量成反比例关系． 故选：A． 2、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)x与y成反比例关系，当时，；当时，x的值是 ． 【答案】3 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了反比例，根据x与y成反比例关系得到值固定，再代入求值即可． 【详解】解：∵x与y成反比例关系， ∴设， ∵当时，； ∴， 当时，，解得， 故答案为：3． 2．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&amp;D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为 亿元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，明确题意，列出相应的代数式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可知2023年投入该项经费为亿元，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 2023年投入该项经费为， 故答案为：． 3．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)由若干个边长为1的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为S，边上的格点个数记为x，内部的格点个数记为y．例如，图1中的格点多边形ABCDE边上的格点个数，内部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了S，x，y三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． (1)由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① ② ③ ④ ⑤ 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的：S，，y三者之间的数量关系； (2)利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； (3)在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 【答案】(1) (2) (3)见解析，答案不唯一 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了规律探究，代数式求值，解一元一次方程； （1）根据表格数据得到规律，即可求解； （2）根据“皮克定理”进行计算即可求解； （3）根据“皮克定理”得出为，为，则，根据与画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴S，，y三者之间的数量关系： （2）解：∵图3中格点多边形的中， ∴ ∴图3中格点多边形的面积为 （3）∵， ∴，则 如图所示， 4．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． (1)______（填“>”，“<”或“=”）； (2)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)代数式的值是定值，其定值为 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后即可解决问题． 【详解】（1）解：设（为正整数），则，，， 则：，， ， 故答案为：； （2）代数式的值是定值，理由如下： 设（为正整数），则，，， 为定值， 的值为定值，其定值为． 5．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是一个长方形，宽为a，长是宽的2倍． （1）窗户的外框的总长为 （用含a的代数式表示）； （2）当时，这个窗户的外框的总长约为 m（取，结果精确到）． 【答案】 / 14.3 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了几何图形问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题需注意：窗框用料的总长度指的是所有实线的长度． （1）根据窗外框的总长度为长方形的长两条宽半个圆的长列式计算即可； （2）将代入（1）中式子计算即可． 【详解】解：（1）根据题意：长方形的长是， 则窗外框的总长度为：； （2）当时，这个窗户的外框的总长约为：； 故答案为：，． 6．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是 （用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据图中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． （1）用两个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积即可得到重叠部分的面积； （2）同理（1），用三个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积，再减去两个阴影部分的面积的和，然后除以2即可得到三张餐垫共同重叠部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意，两张餐垫重叠部分的面积是：； （2）根据题意，三张餐垫共同重叠部分的面积是：； 故答案为：，． 7．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)如果用表示一个三位数，那么这个数百位，十位，个位上的数字分别为x，y，z．已知三位数能被9整除． (1)写出一组满足条件的a，b，c的值； (2)说明三位数能被9整除． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)见解析 【知识点】列代数式、数的整除 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式变形等知识点，根据题意、正确列出代数式是解题的关键． （1）先用代数式表示出表示的数，然后列举出能被9整除的数，最后确定a，b，c的值即可； （2）由，设（k为正整数），然后进行变形即可说明三位数能被9整除． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，（答案不唯一）． （2）解：由题意可知，． ∵能被9整除，设（k为正整数）． ∴． ∴能被9整除． 由题意可知，． ∵，能被9整除， ∴能被9整除． 8．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)已知正方形的边长为． （1）如图1，正方形各边的中点分别为，，，，依次连接四个中点，得到阴影部分．该阴影部分的面积为 ； （2）如图2，点在边上，且．在正方形的四条边上截取．连接，，，，得到阴影部分．设，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，列代数式等知识点，根据题中的面积关系正确列出算式或代数式是解题的关键． （1）利用正方形的面积减去四个三角形面积即可得到阴影部分的面积； （2）利用正方形的面积减去四个三角形面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意可知： ， 阴影部分的面积为：， 故答案为：； （2）根据题意可知： ， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 地 城 考点02 求代数式的值 1、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，先由得，再将变形得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 地 城 考点03 规律探索 一、选择题 1．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值，结合图形找到各正方形的边长关系是解题关键．根据各个正方形边长的和差关系依次表示出第、、、、正方形的边长，由、、正方形边长得到第个正方形的边长，再代入计算即可． 【详解】解：由图可知，第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第十个正方形的面积， 故选：C． 2．(24-25七年级上·北京市东城区·期末)如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（   ）    A．381 B．356 C．379 D．421 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：当n为奇数时，第n个图形中实心圆点的个数为，据此求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中圆点的个数， 第2个图形中圆点的个数， 第3个图形中圆点的个数， 第4个图形中圆点的个数， 第5个图形中圆点的个数， 第6个图形中圆点的个数， …… ∴第19个图形中圆点的个数为， 故选：C． 2、 非选择题 1．(24-25七年级上·北京市西城区·期末)如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为 （用含n的式子表示）．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 所以第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为个． 故答案为： ． 2．(24-25七年级上·北京市西城区·期末)如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可），从上往下依次为 ， ， ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【详解】解：（1）∵，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴， ∴， 故答案为：， （2）图2中的填写的数字，从上往下依次为3，2，（答案不唯一）． 故答案为：3，2，（答案不唯一）． 3．(24-25七年级上·北京市丰台区·期末)给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有 ． （1）若，则 ； （2）若均是3位本原数，设，且，则3位本原数 ． 【答案】 1 或 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义问题，掌握题目中新定义的含义并正确计算是解题的关键． （1）按照的定义计算即可； （2）设，则易得，从而可得，且可取0或1，从而可得本原数e； 【详解】（1） 故答案为：1； （2）设，则由 得： 即：， ∴，且可取0或1 ∴或； 4．(24-25七年级上·北京市朝阳区·期末)某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，过程如下： （ⅰ）如图1，在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O； （ⅱ）如图2①，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的距离为线段的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段的长； （ⅲ）如图2②，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长； （ⅳ）如图2③，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长； …… （ⅴ）继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长． 依据实验过程和实验数据，解答问题： 上述实验相关数据的记录如下表： 次数 右端挂小物体数 支点与右端挂小物体处的距离（单位：cm） 左边挂小物体数 支点与左边挂小物体处的距离（单位：cm） 1 1 30 1 2 1 30 2 3 1 30 3 …… … … … … n 1 30 n (1)__________； (2)小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变．设木杆长为，支点在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为，把m，l作为已知数，可以列出关于x的一元一次方程为__________； (3)生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系．现有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为，水面高度为，2号底面积为，水面高度为，已知． ①当这两个容器中水的体积相同时，的值为__________； ②这两个容器中都有的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，求1号倒入2号中的水的体积． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，数字规律等． （1）根据题意可知规律为，继而得到本题答案； （2）根据题意得：右端挂小物体数支点与右端挂小物体处的距离左端挂小物体数支点与左端挂小物体处的距离，继而得到； （3）①两个容器中水的体积相同，即得，继而得到；②设1号容器倒入2号容器中的水的体积为，列式，计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，，…… ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得： 右端挂小物体数支点与右端挂小物体处的距离左端挂小物体数支点与左端挂小物体处的距离， ∵支点在靠近木杆右端的三等分点处， ∴支点与右端挂小物体处的距离为， ∴，即：， 故答案为：； （3）解：①∵两个容器中水的体积相同， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； ②设1号容器倒入2号容器中的水的体积为， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， ∴，即：， ∴1号倒入2号中的水的体积为． 5．(24-25七年级上·北京市怀柔区·期末)当今是高度信息化的时代，信息安全至关重要，密码技术已经渗透到我们生活中的各个角落．密码学是研究编制和破译密码的技术科学，它与数学有密切关系．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这个字母依次对应1，2，3，…，，这个正整数（见下表） Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 以下是密文与明文之间的关系： 当明文字母所对应的数字x为奇数时，密文字母所对应的数字为；当明文字母所对应的数字x为偶数时，密文字母所对应的数字为． 例如：将明文Y转换成密文： 按上述方法将明文U转换成密文为 ；若按上述方法将明文转换成的密文是，那么它的明文是 ． 【答案】 R 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给密文与明文之间的对应关系是解题的关键． 根据所给密文与明文之间的关系，进行计算，解一元一次方程即可． 【详解】解∶ 由题知， U对应数字为7． 则． 所以明文U转换成密文为R． C对应的数字为． 由，解得： (舍去)； 由，解得：． 所以它对应的明文是K． 同理可得，W对应的明文是E，H对应的明文是Y． 所以密文是时，那么它的明文是． 故答案为∶R；． 6．(24-25七年级上·北京市海淀区·期末)对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a，b，与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． (1)2，3，5______“好数组”，1，2，3，5______“好数组”；（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，是“好数组”，求出的所有可能值； (3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”．（此问为选作题，共3分，可计入总分，但全卷不超过100分） 【答案】(1)是，不是； (2)的值为； (3)、、、、；、、、、；、、、、；、、、、；、、、、． 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算、数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了新定义下的数字规律，绝对值的意义，有理数的加减法，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“好数组”的定义判断即可； （2）根据“好数组”的定义和一元一次方程求解即可； （3）根据“好数组”的定义，由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成，，，，(是正有理数)，即可求解． 【详解】（1）解：在2，3，5中， 对于2，3，2+3=5，5在这组数中， 对于2，5，，3在这组数中， 对于3，5，，2在这组数中， ∴2，3，5这组有理数是“好数组”， 在1，2，3，5中， 对于1，5，，，6和4都不在这组数中， ∴1，2，3，5不是“好数组”， 故答案为：是，不是； （2）解：在2，4，8，中， ∵，，2和4已经在这组数中， 因此，只需分析、，、以及，， ①或或或或或， 解得：(舍去)或4(舍去)或2(舍去)或6或(舍去)或(舍去)或10或1， ②或或或或或， 解得：(舍去)或(舍去)或2(舍去)或6或0(舍去)或8(舍去)或(舍去)或12或2(舍去)； ③或或或或或， 解得：(舍去)或(舍去)或6或10或4(舍去)或12或0(舍去)或16或4(舍去)， 综上，的值可能为1或6或10或12或16， 经检验， 当时，对于1，4，和均不在这个数组中，与已知矛盾； 当时，对于4，10，和均不在这个数组中，与已知矛盾； 当时，对于2，12，和均不在这个数组中，与已知矛盾； 当时，对于4，16，或均不在这个数组中，与已知矛盾， 当时，任意两个数的和或差的绝对值都在，4，6，8这个数组中， ∴2，4，6，8是“好数组”， ∴的值为； （3）解：由（2）的解析过程，大胆猜想：由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成，，，，(是正有理数)， 如果，这五个正有理数组成的“好数组”为：、、、、； 如果，这五个正有理数组成的“好数组”为、、、、； 如果，这五个正有理数组成的“好数组”为、、、、； 如果，这五个正有理数组成的“好数组”为、、、、； 如果，这五个正有理数组成的“好数组”为、、、、． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $