专题07代数式 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版数学六升七暑假预习讲义

专题07代数式暑假预习讲义 · 理解代数式的定义，能准确判断代数式，能区分代数式、等式、不等式，熟记代数式六大书写规范，能规范书写代数式。 · 掌握单项式、多项式、整式的概念，能准确识别单项式、多项式、整式；能正确找出单项式的系数、次数；能准确找出多项式的项、常数项，能判断多项式是几次几项式。 · 掌握文字语言转化为代数式的方法，能根据和、差、倍、分、平方、倒数等关键词，以及生活情境、图形问题，准确列出代数式，能区分平方差与差的平方等易混题型。 · 理解代数式求值的意义，掌握代数式求值的完整步骤，知道代入负数、分数必须加括号，能看懂例题并独立完成基础求值计算。 · 能解释简单代数式的文字意义和实际生活意义，初步建立字母表示数的符号思想和数学建模思想。 · 预习时能够圈画重点、标注疑点，自主完成课本基础习题，明白本节课是整式加减、探索规律的前置基础，为后续学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.代数式的定义与判定 2.代数式的分类 3.列代数式 4.代数式求值 5.代数式的实际意义 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.用字母表示数 2.列代数式 3.用代数式表示数，图形的规律 4.代数式的概念 5.代数式书写方法 6.代数式表示的实际意义 7.由字母的值求代数式的值 8.由式子的值求代数式的值 9.程序流程图与代数式求值 10.单项式的判断 11.单项式的系数，次数 12.根据特征写单项式 13.单项式规律题 14.多项式的判断 15.多项式的项，项数，或次数 16.多项式系数指数中字母求值 17.多项式按某个字母升降幂排列 18.整式的判断 强化题型 解答题10题 知识点 1 代数式的定义与判定 项目 详细内容 定义 用加、减、乘、除、乘方运算符号把数和字母连接而成的式子；单独一个数、单独一个字母也属于代数式。 允许出现 数字、字母、括号、分数线、乘方符号 不能含有 等号=、不等号(>、<、≥、≤、)；等式、不等式不属于代数式 是代数式举例 4a、x-2y、、\(m^2\)、8、t 不是代数式举例 2x+1=7、3a-5>1 代数式书写规范（必考细节） 1.数字与字母相乘，数字在前，省略乘号：5×a写作5a，不写a5； 2.1、-1乘字母省略 1：1·x=x，-1·x=-x； 3.带分数乘字母先化成假分数：2x改为x； 4.除法统一写分数形式，不写÷：x÷6=； 5.代数式含加减且带单位，整体加括号：(a+3)千克。 知识点 2 代数式分类：单项式、多项式、整式（核心表格） 名称 完整定义 关键解读 举例 单项式 由数字与字母相乘组成的代数式；单独一个数字、单独一个字母也是单项式 1. 不含加减运算2. 分母不能含字母3. 系数：全部数字因数（包含正负号）4. 次数：所有字母指数之和；常数单项式次数为 0 -3xy2：系数-3，次数3a：系数1，次数19：常数单项式，次数 0 多项式 几个单项式的和叫做多项式 1. 多项式中的每个单项式称为项，自带前面符号2. 不含字母的项叫常数项3. 多项式次数 = 次数最高项的次数 2x2-5x+4三项：2x2、-5x、4，常数项 4，二次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 判定标准：分母中不含字母；分母含字母为分式，不是整式 整式：6ab、x2-3x 非整式：、 补充区分要点 1.单项式只存在乘法、乘方，无加减； 2.多项式一定含有 “+” 或 “-”，由多个单项式相加构成； 3.是单项式（分母为数字），不是整式（分母含字母）。 知识点 3 列代数式（重难点） 核心方法：抓住文字关键词，转化为对应运算 和、共、相加→+；差、少、剩余→-（注意顺序：A 比 B 少 5 列式B-5） 倍、积、乘→省略乘号；商、几分之几→分数形式 a的平方：a2；a、b差的平方：(a-b)2；a、b平方差：a2-b2 典型例题 1 m的 4 倍减 7：4m-7 ② 十位a，个位b的两位数：10a+b ③ 长方形长x、宽 4，周长：2(x+4) 实际应用：价格、路程、图形周长面积、年龄问题，用字母表示未知量列式。 知识点 4 代数式求值 概念：用具体数值代替代数式里的字母，按运算顺序算出结果。 标准解题步骤 ① 写明：当…时；② 抄写原式；③ 代入数字，负数、分数加括号；④ 先乘方，再乘除，后加减。 示范 当x=-3，y=2时，求x2-4y 解：当x=-3，y=2时 原式=(-3)2-4×2=9-8=1 注意：字母取值若使分母为 0，代数式无意义。 知识点 5 代数式的实际意义 文字意义：描述式子运算关系，如5a-2：a的 5 倍减 2； 生活实际意义：结合场景举例，如铅笔每支a元，买 5 支优惠 2 元，总花费5a-2元。 知识点06：高频易错点汇总 易错板块 易错详情 错误示例 正确做法 代数式判断 把等式、不等式看作代数式 3x=9是代数式 含=、>、<都不是代数式 单项式相关 1. 系数漏写负号2. 单独字母次数写 03. 把当作单项式 -2ab系数写 2；x次数 0；是单项式 系数包含符号；单个字母次数 1；分母含字母不是单项式 多项式相关 找项丢掉前面负号，分不清常数项 x2-3x+1的项写x2、3x、1 每一项连带自身符号，不含字母的是常数项 书写规范 数字写字母后、带分数直接相乘、除法用 ÷ a6、1x、x÷3 6a、x、 列代数式 混淆平方差与差的平方、加减顺序颠倒 a、b差的平方写a2-b2 差的平方(a-b)2；平方差a2-b2 代数式求值 负数平方不加括号，代入漏补乘号 x=-2，x2=-22=-4 负数整体加括号(-2)2，数字间补充 × 题型1.用字母表示数 【典例】已知：，． （1）类似地，________________________； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为_______． 【跟踪专练1】一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是______． 【跟踪专练3】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 题型2.列代数式 【典例】甲数是m，乙数是n，用代数式表示甲乙两数的和的平方是__________． 【跟踪专练1】智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练2】小乐和同学在餐厅吃饭，这家餐厅提供3种点餐方案： A餐：一份拉面 B餐：一份拉面、一杯饮料 C餐：一份拉面、一杯饮料、一份沙拉 已知他们所点的餐总共有10份拉面，x杯饮料，y份沙拉．则他们点A餐的数量为___________（用含x的式子表示）． 【跟踪专练3】我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用：来表示，观察其中的规律，则表示的代数式运算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 题型3.用代数式表示数，图形的规律 【典例】如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第n个图案时，黑色小正方形纸片需要______张． 【跟踪专练1】观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 【跟踪专练3】用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 题型4.代数式的概念 【典例】在，，2，m，，，中，代数式有___________个 【跟踪专练1】下列各式，代数式的个数是（    ） ①；②；③；④b；⑤0；⑥；⑦；⑧． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【跟踪专练2】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 题型5.代数式书写方法 【典例】以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【跟踪专练1】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 【跟踪专练2】下列各式中符合代数式书写要求的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6.代数式表示的实际意义 【典例】某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【跟踪专练1】元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【跟踪专练2】代数式用文字语言表示为________________________． 【跟踪专练3】某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 题型7.由字母的值求代数式的值 【典例】当时，代数式的值是_____． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为，当时，这个代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若有理数，满足，，且，．则________． 【跟踪专练3】用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型8.由式子的值求代数式的值 【典例】已知，则的值为________． 【跟踪专练1】已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【跟踪专练2】已知 ， ，则 _____________． 【跟踪专练3】当时，多项式的值为，则当时，该多项式的值为（  ） A． B． C． D． 题型9.程序流程图与代数式求值 【典例】按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【跟踪专练1】按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】如图，按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为72，则满足条件的x的值为________． 【跟踪专练3】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 题型10.单项式的判断 【典例】下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【跟踪专练1】下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 【跟踪专练2】在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型11.单项式的系数，次数 【典例】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【跟踪专练1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】单项式的系数和次数分别为_______． 【跟踪专练3】单项式的系数是（    ） A． B．2 C．1 D． 题型12.根据特征写单项式 【典例】写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 题型13.单项式规律题 【典例】有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______． 【跟踪专练1】观察下列单项式：，按此规律，可以得到第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【跟踪专练3】按一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 题型14.多项式的判断 【典例】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【跟踪专练1】下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【跟踪专练3】下列判断中错误的是（   ） A．中，系数是 B．是单项式 C．是多项式 D．是二次三项式 题型15.多项式的项，项数，或次数 【典例】整式是________次________项式． 【跟踪专练1】下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若多项式是关于的二次多项式，则的值是___________． 【跟踪专练3】张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 题型16.多项式系数指数中字母求值 【典例】若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【跟踪专练1】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【跟踪专练2】已知是关于的二次三项式，则_____． 【跟踪专练3】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 题型17.多项式按某个字母升降幂排列 【典例】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【跟踪专练1】多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将多项式按x的降幂排列____________． 【跟踪专练3】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型18.整式的判断 【典例】下列式子中：，，，，，整式有______个． 【跟踪专练1】有四种说法：①表示负数；②单项式的系数是，次数是4；③多项式是三次三项式；④在中，整式有2个：其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】下列式子中，整式有________（填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（   ） A．有理数0是单项式 B．代数式的系数是 C．单项式的次数是5 D．整式的系数是 解答题 1．中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是 ； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 2．暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 3．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 4．当时，代数式的值为，求代数式的值． 5．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 6．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 7．请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 8．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 9．已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 10．请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07代数式暑假预习讲义 · 理解代数式的定义，能准确判断代数式，能区分代数式、等式、不等式，熟记代数式六大书写规范，能规范书写代数式。 · 掌握单项式、多项式、整式的概念，能准确识别单项式、多项式、整式；能正确找出单项式的系数、次数；能准确找出多项式的项、常数项，能判断多项式是几次几项式。 · 掌握文字语言转化为代数式的方法，能根据和、差、倍、分、平方、倒数等关键词，以及生活情境、图形问题，准确列出代数式，能区分平方差与差的平方等易混题型。 · 理解代数式求值的意义，掌握代数式求值的完整步骤，知道代入负数、分数必须加括号，能看懂例题并独立完成基础求值计算。 · 能解释简单代数式的文字意义和实际生活意义，初步建立字母表示数的符号思想和数学建模思想。 · 预习时能够圈画重点、标注疑点，自主完成课本基础习题，明白本节课是整式加减、探索规律的前置基础，为后续学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.代数式的定义与判定 2.代数式的分类 3.列代数式 4.代数式求值 5.代数式的实际意义 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.用字母表示数 2.列代数式 3.用代数式表示数，图形的规律 4.代数式的概念 5.代数式书写方法 6.代数式表示的实际意义 7.由字母的值求代数式的值 8.由式子的值求代数式的值 9.程序流程图与代数式求值 10.单项式的判断 11.单项式的系数，次数 12.根据特征写单项式 13.单项式规律题 14.多项式的判断 15.多项式的项，项数，或次数 16.多项式系数指数中字母求值 17.多项式按某个字母升降幂排列 18.整式的判断 强化题型 解答题10题 知识点 1 代数式的定义与判定 项目 详细内容 定义 用加、减、乘、除、乘方运算符号把数和字母连接而成的式子；单独一个数、单独一个字母也属于代数式。 允许出现 数字、字母、括号、分数线、乘方符号 不能含有 等号=、不等号(>、<、≥、≤、)；等式、不等式不属于代数式 是代数式举例 4a、x-2y、、\(m^2\)、8、t 不是代数式举例 2x+1=7、3a-5>1 代数式书写规范（必考细节） 1.数字与字母相乘，数字在前，省略乘号：5×a写作5a，不写a5； 2.1、-1乘字母省略 1：1·x=x，-1·x=-x； 3.带分数乘字母先化成假分数：2x改为x； 4.除法统一写分数形式，不写÷：x÷6=； 5.代数式含加减且带单位，整体加括号：(a+3)千克。 知识点 2 代数式分类：单项式、多项式、整式（核心表格） 名称 完整定义 关键解读 举例 单项式 由数字与字母相乘组成的代数式；单独一个数字、单独一个字母也是单项式 1. 不含加减运算2. 分母不能含字母3. 系数：全部数字因数（包含正负号）4. 次数：所有字母指数之和；常数单项式次数为 0 -3xy2：系数-3，次数3a：系数1，次数19：常数单项式，次数 0 多项式 几个单项式的和叫做多项式 1. 多项式中的每个单项式称为项，自带前面符号2. 不含字母的项叫常数项3. 多项式次数 = 次数最高项的次数 2x2-5x+4三项：2x2、-5x、4，常数项 4，二次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 判定标准：分母中不含字母；分母含字母为分式，不是整式 整式：6ab、x2-3x 非整式：、 补充区分要点 1.单项式只存在乘法、乘方，无加减； 2.多项式一定含有 “+” 或 “-”，由多个单项式相加构成； 3.是单项式（分母为数字），不是整式（分母含字母）。 知识点 3 列代数式（重难点） 核心方法：抓住文字关键词，转化为对应运算 和、共、相加→+；差、少、剩余→-（注意顺序：A 比 B 少 5 列式B-5） 倍、积、乘→省略乘号；商、几分之几→分数形式 a的平方：a2；a、b差的平方：(a-b)2；a、b平方差：a2-b2 典型例题 1 m的 4 倍减 7：4m-7 ② 十位a，个位b的两位数：10a+b ③ 长方形长x、宽 4，周长：2(x+4) 实际应用：价格、路程、图形周长面积、年龄问题，用字母表示未知量列式。 知识点 4 代数式求值 概念：用具体数值代替代数式里的字母，按运算顺序算出结果。 标准解题步骤 ① 写明：当…时；② 抄写原式；③ 代入数字，负数、分数加括号；④ 先乘方，再乘除，后加减。 示范 当x=-3，y=2时，求x2-4y 解：当x=-3，y=2时 原式=(-3)2-4×2=9-8=1 注意：字母取值若使分母为 0，代数式无意义。 知识点 5 代数式的实际意义 文字意义：描述式子运算关系，如5a-2：a的 5 倍减 2； 生活实际意义：结合场景举例，如铅笔每支a元，买 5 支优惠 2 元，总花费5a-2元。 知识点06：高频易错点汇总 易错板块 易错详情 错误示例 正确做法 代数式判断 把等式、不等式看作代数式 3x=9是代数式 含=、>、<都不是代数式 单项式相关 1. 系数漏写负号2. 单独字母次数写 03. 把当作单项式 -2ab系数写 2；x次数 0；是单项式 系数包含符号；单个字母次数 1；分母含字母不是单项式 多项式相关 找项丢掉前面负号，分不清常数项 x2-3x+1的项写x2、3x、1 每一项连带自身符号，不含字母的是常数项 书写规范 数字写字母后、带分数直接相乘、除法用 ÷ a6、1x、x÷3 6a、x、 列代数式 混淆平方差与差的平方、加减顺序颠倒 a、b差的平方写a2-b2 差的平方(a-b)2；平方差a2-b2 代数式求值 负数平方不加括号，代入漏补乘号 x=-2，x2=-22=-4 负数整体加括号(-2)2，数字间补充 × 题型1.用字母表示数 【典例】已知：，． （1）类似地，________________________； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为_______． 【答案】 5 9 8 4 【分析】此题考查数字的变化规律，以及用代数式表示三位数，掌握十进制计数法和科学记数法是解决问题的关键． （1）先根据已知数的组成规律确定各数位上的数字按要求表示即可； （2）根据数位的意义，用字母表示三位数． 【详解】解：（1）是四位数，在千位上，表示有个千，即； 在百位上，表示有个百，即； 在十位上，表示有个十，即； 在个位上，表示有个一； ∴； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为． 故答案为：，，，，． 【跟踪专练1】一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 【跟踪专练2】一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是______． 【答案】10a+11 【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小 【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a ∴十位数是1+a ∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11 故答案为：10a+11 【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a 【跟踪专练3】已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了字母表示数，将各选项转化为乘法运算后比较系数大小即可确定结果最大的选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、； 、； 、； 、； ∵是非零自然数， ∴， ∴结果最大的是， 故选：． 题型2.列代数式 【典例】甲数是m，乙数是n，用代数式表示甲乙两数的和的平方是__________． 【答案】 【分析】根据题意，先求出甲乙两数的和，再对和计算平方，即可列出正确的代数式． 【详解】解：甲乙两数的和为， 则甲乙两数的和的平方为． 【跟踪专练1】智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 【跟踪专练2】小乐和同学在餐厅吃饭，这家餐厅提供3种点餐方案： A餐：一份拉面 B餐：一份拉面、一杯饮料 C餐：一份拉面、一杯饮料、一份沙拉 已知他们所点的餐总共有10份拉面，x杯饮料，y份沙拉．则他们点A餐的数量为___________（用含x的式子表示）． 【答案】份 【分析】确定B餐和C餐的拉面总份数，即可计算得到A餐的数量． 【详解】解：由题意可得，只有B餐和C餐包含饮料，且每份B餐和C餐都各含杯饮料和份拉面， 因此杯饮料对应B餐和C餐中共有份拉面， 已知总共有份拉面，因此点A餐的数量为份． 【跟踪专练3】我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用：来表示，观察其中的规律，则表示的代数式运算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意可得“甲，乙，丙”分别表示“”，结合例题分析即可得出答案． 【详解】 解：由题意可得：表示的代数式为，运算所得的结果为， 故选：A． 题型3.用代数式表示数，图形的规律 【典例】如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第n个图案时，黑色小正方形纸片需要______张． 【答案】/ 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．据此即可解答． 【详解】解：第1个图案中黑色小正方形纸片需要4张，而； 第2个图案中黑色小正方形纸片需要7张，而； 第3个图案中黑色小正方形纸片需要10张，而；…… 第n个图案中黑色小正方形纸片需要张， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．列举每个图形中“C”、“”的个数，找到规律即可得出答案． 【详解】解：第①个图中“C”的个数为1，“”的个数为， 第②个图中“C”的个数为2，“”的个数为， 第③个图中“C”的个数为3，“”的个数为， …… 则第个图形中“C”的个数为，字母“”的个数是，即． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查平面镶嵌，规律型：图形的变化类，多边形内角与外角，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．根据题意分析可得：从里向外的第1层含有6个正三角形；第2层含有个正三角形；根据正三角形的规律此后每层都比前一层多个，所以第3层含有个正三角形，第4层含有个正三角形，从而写出第层中含有的正三角形个数． 【详解】解：第1层中含有正三角形个数是个， 第2层中含有正三角形个数是个， 第3层中含有正三角形个数是个， 第4层中含有正三角形个数是个， 第层中含有正三角形个数是个． 故答案为：． 【跟踪专练3】用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律的探索与代数式求值，熟练通过观察每个图形的算式形式总结通项公式是解题的关键． 直接观察每个图形白色棋子数的算式形式，总结出第个图形的通项公式，再代入计算． 【详解】解：第1个图形白色棋子：， 第2个图形白色棋子：， 第3个图形白色棋子：， 第4个图形白色棋子：， ， ∴第个图形白色棋子数为， 当时，， 故选：． 题型4.代数式的概念 【典例】在，，2，m，，，中，代数式有___________个 【答案】5 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是关键．代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，2，m， 是代数式，共5个；和不是代数式． 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列各式，代数式的个数是（    ） ①；②；③；④b；⑤0；⑥；⑦；⑧． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，解题关键是掌握代数式的概念． 代数式是用运算符号连接数和字母的式子，或单独的数或字母，不含等号或不等号． 【详解】解：∵代数式定义要求不含关系符号（如=、>、≠等）； ∴①是代数式； ②含等号，不是代数式； ③含不等号，不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦含不等号，不是代数式； ⑧是代数式； ∴代数式有①、④、⑤、⑥、⑧，共5个． 故选：B． 【跟踪专练2】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 题型5.代数式书写方法 【典例】以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可． 【详解】解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 【跟踪专练1】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】下列各式中符合代数式书写要求的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键．根据代数式书写要求：乘号通常省略或写为“·”，数字与字母相乘时数字应写在字母前面，带分数应写为假分数，除法运算写成分数形式． 【详解】解：①中为真分数形式（非带分数），乘号省略，符合要求； ②中数字在前，乘号省略，符合要求； ③为分数形式，符合要求； ④为分数形式，符合要求； ⑤中乘号“×”不应出现，不符合要求； ⑥中数字2应在字母前，且乘号应省略，不符合要求， ∴符合要求的有①②③④，共4个， 故选：D． 题型6.代数式表示的实际意义 【典例】某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 【跟踪专练1】元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【跟踪专练2】代数式用文字语言表示为________________________． 【答案】的平方与的倒数的差 【分析】本题考查了代数式的文字语言，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据表示的平方和表示的倒数即可解答． 【详解】解：表示的平方，表示的倒数， 代数式用文字语言表示为的平方与的倒数的差， 故答案为：的平方与的倒数的差． 【跟踪专练3】某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义和求值，解题的关键是通过对比计薪规则和给定公式，求出底薪和每单提成，再用代数式求值的方法逐一验证选项． 【详解】解：根据题意，基本单量为300单，当送单量时，总收入：， 收入构成是：收入=底薪+每单提成， A．当时，刚好完成基本单量，此时收入为元，不是1800元，故本选项不符合题意； B．送单量为400时，收入为，不是2380元，故不符合题意； C．从公式中的系数可以直接看出，超过基本单量后，每单提成就是6元，故说法正确，符合题意； D．送单量为200时，没有达到300单的基本量，需要按比例扣底薪，实际收入为元，不是1680，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型7.由字母的值求代数式的值 【典例】当时，代数式的值是_____． 【答案】 【详解】解：当时，． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为，当时，这个代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入求出的值，再将代入代数式并把作为整体代入求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， 则，即， 当时，． 【跟踪专练2】若有理数，满足，，且，．则________． 【答案】 【分析】根据题意求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【跟踪专练3】用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，代数求值． 根据题意求出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得，最多需要的方块为，最少需要的方块为， ∴， 故选：B． 题型8.由式子的值求代数式的值 【典例】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．将已知代数式变形，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：由已知可得，则 ． 【跟踪专练1】已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】已知 ， ，则 _____________． 【答案】 【分析】根据，，可得，，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】当时，多项式的值为，则当时，该多项式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定当时的值，当时，多项式转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，多项式的值为， ∴， ∴， 当时， ∴ ， ∴当时，该多项式的值为． 题型9.程序流程图与代数式求值 【典例】按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 【跟踪专练1】按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，由于，则把代入中，求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的值是1， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为72，则满足条件的x的值为________． 【答案】或或14 【分析】本题主要考查了代数式的求值和解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出72，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 当时，解得，不符合题意，舍去； 所以，满足条件的x的值为或或14， 故答案为：或或14． 【跟踪专练3】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 把选项中的x，y值代入检验，即可求解． 【详解】解：A、当时，，输出结果为，不符合题目要求； B、当时，，输出结果为，不符合题目要求； C、当时，，输出结果为，符合题目要求； D、当时，，输出结果为，不符合题目要求． 故选：C． 题型10.单项式的判断 【典例】下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 【跟踪专练1】下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念．单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：单项式的定义为数字与字母的乘积或单独的数字、字母，且不含加减运算， A、是数字2与字母x的乘积，属于单项式，不符合题意； B、是单独的字母，属于单项式，不符合题意； C、含有加法运算，是多项式，不属于单项式，符合题意； D、3.14是单独的数字，属于单项式，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键； 根据单项式的定义一一判断即可； 【详解】解：在代数式，，，，，，中， 单项式有：，，，共个， 故选：D 题型11.单项式的系数，次数 【典例】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【跟踪专练1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 【跟踪专练2】单项式的系数和次数分别为_______． 【答案】和 【分析】根据单项式的系数和次数概念进行判断即可； 【详解】解： 故系数为，次数为． 【跟踪专练3】单项式的系数是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；熟练掌握定义是解题关键．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可得答案． 【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数（含符号） ∴单项式的数字因数为 ∴该单项式的系数是， 故选A． 题型12.根据特征写单项式 【典例】写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为、次数为的单项式需满足数字部分为，且字母部分的指数总和为即可． 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是，次数是5，故本选项不符合题意； B、系数是2，次数是5，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是5，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查单项式的次数与系数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义． 【跟踪专练2】写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 题型13.单项式规律题 【典例】有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究．观察单项式的系数和指数的规律，系数绝对值与项数相同，符号正负交替，指数与项数相同． 【详解】解：设第项的系数为，指数为，则第项为． 则第10项可以表示成 故答案为：． 【跟踪专练1】观察下列单项式：，按此规律，可以得到第2026个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察单项式序列的系数和指数规律，系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，由此得出第n个单项式的一般形式，再代入计算． 【详解】解：观察可知：系数为平方数且符号交替，指数与序号相同， ∴ 第n个单项式为 ， 当时，， ∴ 第2026个单项式为：． 故选D． 【跟踪专练2】（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：，． 【跟踪专练3】按一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律，观察单项式的符号、分子指数和分母的规律，符号交替变化，分子指数为偶数次幂，分母为奇数，由此即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， …， 故第项为， 故选：D． 题型14.多项式的判断 【典例】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 【跟踪专练1】下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 【跟踪专练2】将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【跟踪专练3】下列判断中错误的是（   ） A．中，系数是 B．是单项式 C．是多项式 D．是二次三项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式、多项式的相关概念，涉及知识点：单项式的系数、单项式的定义、多项式的次数与项数．解题方法是逐一分析选项，根据单项式、多项式的定义判断；解题关键是明确单项式（数或字母的积）、多项式（几个单项式的和）的概念，易错点是混淆单项式的系数、多项式的次数．解题思路：分别判断每个选项中代数式的类型、系数、次数，找出错误选项． 【详解】∵ 单项式的数字因数是，∴ 系数是，而不是，故A错误． 其他选项：B中是单项式，正确；C中是多项式，正确；D中是二次三项式，正确． 故选A． 题型15.多项式的项，项数，或次数 【典例】整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【跟踪专练1】下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 【跟踪专练2】若多项式是关于的二次多项式，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据二次多项式，可得三次项的系数为0，二次项的系数不为0，可得答案． 【详解】解：若多项式是关于x的二次多项式， 则，， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据描述，代数式需满足：是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，逐一验证选项即可； 【详解】解：A. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项正确，符合题意； C. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型16.多项式系数指数中字母求值 【典例】若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【跟踪专练2】已知是关于的二次三项式，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据二次三项式的定义，多项式的最高次数为2，且项数为3，因此三次项系数必须为零，且二次项必须存在． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 题型17.多项式按某个字母升降幂排列 【典例】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 【跟踪专练1】多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式按某一字母降幂排列的定义，即把多项式各项按该字母的指数从大到小的顺序排列，不含该字母的项放在最后． 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 【跟踪专练2】将多项式按x的降幂排列____________． 【答案】 【分析】根据多项式的每项次数降幂排序． 【详解】解：∵是2次， 是1次， 是0次， ∴降幂排列是， 故答案为： 【点睛】此题考查了多项式降幂排序，解题的关键是熟悉多项式的次数概念． 【跟踪专练3】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 题型18.整式的判断 【典例】下列式子中：，，，，，整式有______个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．根据整式的定义，判断所给式子是否为整式，从而确定整式的个数． 【详解】解：：分母含有字母，是分式，不是整式； ：单独的一个字母，是单项式，属于整式； ：字母的乘积，是单项式，属于整式； ：两个单项式的和，是多项式，属于整式； ：三个单项式的和，是多项式，属于整式； 故答案为：． 【跟踪专练1】有四种说法：①表示负数；②单项式的系数是，次数是4；③多项式是三次三项式；④在中，整式有2个：其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，单项式，多项式，本题需根据正负数定义、单项式的系数与次数、多项式的次数与项数、整式的定义，逐一分析每个说法的正误，再统计正确的个数。 【详解】解：①∵当a为负数或0时，不是负数，∴①说法错误． ②∵单项式的系数是，次数是1+2=3，∴②说法错误． ③∵多项式的最高次项是，次数为3，且有三项，∴③说法正确． ④∵是分式，,,是整式，共3个，∴④说法错误． 综上，正确的只有1个， 故选：A． 【跟踪专练2】下列式子中，整式有________（填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【答案】①②③④⑤ 【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【详解】解：①是单项式，也是整式； ②0是单项式，也是整式； ③是多项式，也是整式； ④是单项式，也是整式； ⑤是多项式，也是整式； ⑥分母中有字母，不是整式； 故答案为：①②③④⑤． 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（   ） A．有理数0是单项式 B．代数式的系数是 C．单项式的次数是5 D．整式的系数是 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义、系数和次数的概念． 根据单项式的次数是所有字母指数的和，选项C中单项式的次数应为6，而非5，因此C选项不正确．其他选项均符合定义． 【详解】解：A． 有理数0是单项式，原说法正确； B． 代数式的系数是，原说法正确； C． 单项式的次数是，原说法不正确； D． 整式的系数是，原说法正确； 故选：C． 解答题 1．中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是 ； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 【答案】(1) (2)需付 195 元电话费 【分析】（1）根据超出部分国内拨打元/分即可得； （2）求出当时，超出部分的电话费的值，再加上包月费186元即可得总电话费． 【详解】（1）解：因为超出部分国内拨打元/分， 所以． （2）解：当时，， 则需付的电话费为 （元）， 答：需付195元电话费． 2．暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 【答案】元；（元） 【分析】根据旅游费用等于教师的费用与学生的费用之和列式整理，再将、的值代入计算即可得解． 【详解】旅游费元， 当，时，旅游费用（元）． 3．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 4．当时，代数式的值为，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再整体代入所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ∴， 即， ． 5．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 6．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 7．请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 8．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 9．已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， 解得：， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，即， 解得：； （2）解：由（1）得该多项式为， ∴把这个多项式按的降幂排列为． 10．请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】见详解 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】解：表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $