高二数学上学期第三次月考（北师大版选择性必修第一册第1～5章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何+计数原理，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知直线，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】由直线，，满足可得， ，可得， 故选：A. 2．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【解析】由题意知，，两圆的半径分别为，， 所以，故两圆外离. 故选：A. 3．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 4．如图，在斜三棱柱中，M、N分别为BC、的中点，设，则用表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由M、N分别为BC、的中点， 可得 故选：A 5．【创新题·数学文化题】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2025行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2025行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A 7．【创新题·社会热点题】某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【解析】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9．已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【解析】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 10．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】如图所示，以为坐标原点，    以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， A：，，则，即，正确； B：，正确； C：若平面，平面，平面平面，则，根据图形及已知显然不成立，错误； D：，，， 设平面的一个法向量为，则，取，， 则点到平面的距离为，正确. 故选：ABD 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】AC 【解析】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【解析】的展开式中常数项是. 13．【创新题·新考法】如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种. 【答案】96 【解析】假设三个不同班级的各两名代表分别为、、， 若号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在号座位， 则号座位需为另一同班级的两名代表， 此时号座位为同一班级的两名代表，不符合题意， 故号座位必须是3个不同班级的代表，有种方法； 则号座位只有种就坐方法，因此所有可能坐法为. 14．在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. （13分） 设直线与. （1）若，求、之间的距离； （2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【解析】（1）由，则，化简得，可得或，（3分） 当时，不成立，（4分） 当时，，，（5分） 此时之间的距离为.（7分） （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则，（9分） 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，（11分） 当时，有最大.（13分） 16．（15分） 已知为原点，直线与圆交于、两点. （1）若，求的值； （2）若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 16．（15分） 【解析】(1) 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离，（3分） 所以，（5分） 解得， 即的值为1.（7分） (2)由（1）可知，（9分） 由勾股定理可得，（11分） 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ，（13分） 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积.(15分) 17. （15分） （1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 17.（15分） 【解析】（1）由题意、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线， 设直线在轴上的截距为，依题意直线的方程为． 又设的中点为，则有，两式相减可得， 所以，所以，所以， 代入直线方程，得．（5分） 因为线段的中点在抛物线（含焦点）的内部， 所以，解得． 即直线在轴上截距的取值范围为．（7分） （2）设存在被点平分的弦，且、， 则 ①、②两式相减，得．⑤ 把③、④代入⑤得，故直线的方程为． 由消去，得， 而．（13分） 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线．（15分） 18．（17分） 【创新题·探究性】如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【解析】（1）矩形沿对角线将折起后，，， 又∵， 在中，，得， 又∵，，面，面， 所以面. 又∵面，∴.(3分) 矩形中，， 又，面，面， ∴平面， 又∵面，所以平面平面.（5分） （2）由（1）知平面平面， 则可过点P作平面的垂线交BC于点O， 得面，且，，. 分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，，可取； 因为平面， 所以可取平面的一个法向量为，（9分） 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为.(11分) （3）由（2）可知点，，，， 可得，，， 设，（，） 则，， 若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等， 则 即 整理得，(15分) 解得，，此时N不在内， 故不存在符合条件的N.（17分） 19．（17分） 【创新题·探究性】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 19．（17分） 【解析】（1）因为的离心率为，所以，即① 因为在椭圆C上，所以②， 又③，（2分） 所以，联立方程①②③解得：， 所以椭圆C的标准方程为.(4分) （2）当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为， 由对称性，不妨令直线l的方程为． 联立，将代入得：， 所以，即，解得：， 所以 此时，即与垂直， 所以． 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为，，． 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得． 联立，消去y得． 则，即． 由韦达定理可得，． 所以 ，（8分） 将代入上式得：， 所以，即． 综上，的大小为定值，该定值为．（10分） （3）直线l的斜率不存在时：，则． 当直线l的斜率存在时：， 将代入上式得： ， 所以三角形的面积．（13分） 当时，；（14分） 当时，． 由基本不等式 （当且仅当，即时取等号）． 则，，， ， ，即． 综上，．（17分） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C A B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．924 13．96 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由，则，化简得，可得或，（3分） 当时，不成立，（4分） 当时，，，（5分） 此时之间的距离为.（7分） （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则，（9分） 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，（11分） 当时，有最大.（13分） 16．（15分） 【解析】(1) 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离，（3分） 所以，（5分） 解得， 即的值为1.（7分） (2)由（1）可知，（9分） 由勾股定理可得，（11分） 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ，（13分） 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积.(15分) 17.（15分） 【解析】（1）由题意、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线， 设直线在轴上的截距为，依题意直线的方程为． 又设的中点为，则有，两式相减可得， 所以，所以，所以， 代入直线方程，得．（5分） 因为线段的中点在抛物线（含焦点）的内部， 所以，解得． 即直线在轴上截距的取值范围为．（7分） （2）设存在被点平分的弦，且、， 则 ①、②两式相减，得．⑤ 把③、④代入⑤得，故直线的方程为． 由消去，得， 而．（13分） 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）矩形沿对角线将折起后，，， 又∵， 在中，，得， 又∵，，面，面， 所以面. 又∵面，∴.(3分) 矩形中，， 又，面，面， ∴平面， 又∵面，所以平面平面.（5分） （2）由（1）知平面平面， 则可过点P作平面的垂线交BC于点O， 得面，且，，. 分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，，可取； 因为平面， 所以可取平面的一个法向量为，（9分） 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为.(11分) （3）由（2）可知点，，，， 可得，，， 设，（，） 则，， 若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等， 则 即 整理得，(15分) 解得，，此时N不在内， 故不存在符合条件的N.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为的离心率为，所以，即① 因为在椭圆C上，所以②， 又③，（2分） 所以，联立方程①②③解得：， 所以椭圆C的标准方程为.(4分) （2）当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为， 由对称性，不妨令直线l的方程为． 联立，将代入得：， 所以，即，解得：， 所以 此时，即与垂直， 所以． 当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为，，． 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得． 联立，消去y得． 则，即． 由韦达定理可得，． 所以 ，（8分） 将代入上式得：， 所以，即． 综上，的大小为定值，该定值为．（10分） （3）直线l的斜率不存在时：，则． 当直线l的斜率存在时：， 将代入上式得： ， 所以三角形的面积．（13分） 当时，；（14分） 当时，． 由基本不等式 （当且仅当，即时取等号）． 则，，， ， ，即． 综上，．（17分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即.（6分） （2）当直线截距不为0时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆方程为 (2) 【详解】（1）设椭圆方程. 因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则. 选①：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选②：由已知可得，则，椭圆方程为；（7分） 选③得，则，椭圆方程为.（7分） （2）由椭圆定义知①，          又因为，所以，②， 由①可得， 解得， 因此，.（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则.（7分） 所以点C到平面的距离.（10分） （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为.（15分） 18．（15分） 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故，    以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故；（6分） （2）由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为；（10分） （3）由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)（坐标原点除外） (2)①；②证明见解析 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）.（4分） （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为.（10分） ②由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点.（17分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考强化卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考 强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知直线，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在斜三棱柱中，M、N分别为BC、的中点，设，则用表示为（    ）    A． B． C． D． 5．【创新题·数学文化题】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2025行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．【创新题·社会热点题】某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9．已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 10．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 13．【创新题·新考法】如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种. 14．在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. （13分） 设直线与. （1）若，求、之间的距离； （2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 16．（15分） 已知为原点，直线与圆交于、两点. （1）若，求的值； （2）若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 17. （15分） （1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 18．（17分） 【创新题·探究题】如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 19．（17分） 【创新题·探究题】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知直线，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在斜三棱柱中，M、N分别为BC、的中点，设，则用表示为（    ）    A． B． C． D． 5．【创新题·数学文化题】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2025行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．【创新题·社会热点题】某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9．已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 10．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 13．【创新题·新考法】如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种. 14．在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. （13分） 设直线与. （1）若，求、之间的距离； （2）当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 16．（15分） 已知为原点，直线与圆交于、两点. （1）若，求的值； （2）若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 17. （15分） （1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 18．（17分） 【创新题·探究题】如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 19．（17分） 【创新题·探究题】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 情在各避目的容题区城内作答，超出黑色矩形边配限定区暖的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考强化卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15,(13分) 姓名： 准考证号： 注意事项 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，井认真检查监考员所粘贴的条形码， 2:选择您必须用2B铅笔埔涂：非选择题必须用 h 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 思：字体工整、笔迹清听。 3,请按题号瓶序在各榴日的答题区域内作答，超出 典 区域节写的答案无效：在草稿纸、试粗卷上容圈 无效。 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清清，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] s [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] T 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 叔 4[A][B][C][D] 8 (A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9【AJB]ICID1 10 [A][B][C][D] 11【AjB1C1IDj 三、填空题（每小题5分，共15分） 13 请在各题目的答题这域内作容。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答避区城内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2项（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题日的答题区域内作容，超出需色速形边框限定区域的容案无效！ 请在各避目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 情在各槛目的答题区域内作容，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题目的答短区域内作答，超出据色矩形边艇限定区域的答案无效： 请在各题日的答题区城内作容。超出黑色矩形边框限定区域的容案无效： 请在各题目的答思区碱内作答，超出儒色矩形边框限定区城的客案无效： 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6项） 数学第6项（共6页）