专题04 相似三角形(期末真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题04 相似三角形 6大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定 考点02 利用三角形相似的性质求解 考点03 证明三角形对应的线段成比例 考点04 相似三角形动点问题 考点05 利用相似求坐标 考点06 相似三角形的综合问题 地 城 考点01 相似三角形的判定 一、选择题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 5．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 7．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 8．（24-25九年级下·广西北海·期末）如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 地 城 考点02 利用三角形相似的性质求解 一、选择题 1．（24-25九年级下·全国·期末）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是（  ） A． B． C． D． 二、非选择题 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，，，，则的长 ． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知，若，则的长为 ． 5．（24-25九年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 6．（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 7．（24-25九年级下·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 8．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 地 城 考点03 证明三角形对应的线段成比例 一、选择题 1．（24-25九年级下·四川眉山·期末）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·专期末）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 二、非选择题 5．（24-25九年级下·广西贵港·期末）已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 6．（24-25九年级下·河南焦作·期末）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 7．（24-25九年级下·江苏·期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（24-25九年级下·江西上饶·期末）(1) 已知抛物线的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． (2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C． 求证：    地 城 考点04 相似三角形的动点问题 1、 非选择题 1．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 3．（24-25九年级下·广东湛江·期末）如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？ 4．（24-25九年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，D、E分别是的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为．若存在，求出此时t的值以及点E到的距离；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级下·江西南昌·期末）如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 7．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 8．（24-25九年级下·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 地 城 考点05 利用相似求坐标 1、 选择题 1．（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 2、 非选择题 2．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    3．（24-25九年级下·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 4．（24-25九年级下·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 5．（24-25九年级下·云南·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 6．（24-25九年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 8．（24-25九年级下·山东德州·期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标． 地 城 考点06 相似三角形的综合问题 一、非选择题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作圆与相切于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，延长到点D，使，延长到点E，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，点E在该抛物线的对称轴上，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，连接，与交于点G，与交于点H，若点G为的中点，求的长； (3)点E在运动过程中，线段的长是否存在最小值？若存在，请直接写出该数值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 8．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）【阅读解】如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，则，因为，可得． 【拓展应用】如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F 是边上一点，连接交于点G，． (1)试说明； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 6大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定 考点02 利用三角形相似的性质求解 考点03 证明三角形对应的线段成比例 考点04 相似三角形动点问题 考点05 利用相似求坐标 考点06 相似三角形的综合问题 地 城 考点01 相似三角形的判定 一、选择题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．（24-25九年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级下·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】解：在中，点、分别在的边、上，， A．，能使与相似，故该选项不符合题意； B．，能使与相似，故该选项不符合题意； C．，能使与相似，故该选项符合题意； D．，不能使与相似，故该选项不符合题意． 故选：D． 二、非选择题 5．（24-25九年级下·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 7．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 8．（24-25九年级下·广西北海·期末）如图，已知，相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】证明：，， ， 又， ． 地 城 考点02 利用三角形相似的性质求解 一、选择题 1．（24-25九年级下·全国·期末）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握其性质的运用是关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形周长的比是， 故选：C ． 二、非选择题 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】三线合一、利用菱形的性质求面积、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．连接，得到，即，证明，得到， 列比例式得证，解答即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，菱形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质求线段的长的计算是关键． 根据相似三角形的性质得到，由此代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 5．（24-25九年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 6．（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【知识点】等边对等角、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 7．（24-25九年级下·北京昌平·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 8．（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 地 城 考点03 证明三角形对应的线段成比例 一、选择题 1．（24-25九年级下·四川眉山·期末）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·专期末）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段、证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用相似三角形的性质求解、证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=CD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴△BEF∽△CDF， ∴ ，故A错误; （2）∵BF∥AD， ∴, 故B正确; （3）∵CD∥BE， ∴，故C错误; ,故D错误; 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、非选择题 5．（24-25九年级下·广西贵港·期末）已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·河南焦作·期末）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【知识点】利用相似三角形的性质求解、证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键． 由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意可证四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 7．（24-25九年级下·江苏·期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据是的中点，得出，得出，又因为即可得出结论． （2）由（1）得出对应线段成比例得出，已知，得出，所以即可得出结论． 【详解】（1）∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 8．（24-25九年级下·江西上饶·期末）(1) 已知抛物线的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． (2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C． 求证：    【答案】（1）；（2）详见解析. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、证明三角形的对应线段成比例 【分析】1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知条件∠ADE=∠C可证∠BDE=∠CAD，根据相似三角形的判定定理即可证△BDE∽△CAD，由相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）证明：∵AB=AC     ∴∠B=∠C ∵∠ADB=∠C+∠DAC    ∠ADE=∠C．   ∠ADB=∠ADE+∠BDE ∴∠DAC=∠BDE ∴△BDE∽△CAD    ∴ ∴. 故答案为（1）；（2）详见解析. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识． 地 城 考点04 相似三角形的动点问题 1、 非选择题 1．（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 【答案】或20 【知识点】等边对等角、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)t的值为或 (3) (4)当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形——动点问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用勾股定理和线段的垂直平分线的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，当时，当时，当时，进而得到关于t的方程，解方程即可； （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小，利用三角形的中位线的性质得到周长的最小值； （4）利用分类讨论的方法和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）∵ ∴ 当点P和点C重合时 ∵，点A关于点P的对称点D， ∴ ∴垂直平分 ∴ （2）当时，如图， ∵ ∴ 由题意得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当时，如图， 由题意得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，此方程无解； ∴不存在； 当时，如图， 由题意得：， ∴ ∵ ∴，解得： 综上，为等腰三角形时，t的值为或 （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴ ∴周长的最小值 过点M作 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴周长的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动， ∴ （4）当点P为的中点时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 如果 ∴，即 由题意得：， ∴ ∴ ∵，解得：（不符合题意得舍去） 综上：当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．（24-25九年级下·广东湛江·期末）如图，在中，，，．点M从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，点N从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．经过几秒，与相似？ 【答案】秒或秒 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出两种情况，再求出即可． 【详解】解：设经过秒，与相似，则，，， ， 可分为以下两种情况： ①当时， ， ∴， 解得； ②当时， ， ∴． 解得． ∴经过秒或秒，与相似． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，D、E分别是的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为．若存在，求出此时t的值以及点E到的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似； (2)t的值为，． 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形——动点问题 【分析】（1）利用勾股定理和三角形中位线定理求得，，，且，再分两种情况讨论，①，②当时，利用相似三角形的判定和性质列式计算即可求解； （2）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到的距离h利用的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图， 在中，，， ∴， ∵D、E分别是的中点， ，，且， 由题意得：，， ①时， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，， 即， 解得； ②如图，当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似； （2）解：假设存在时刻t，使， 则此时， 如图，作于M． 同理，， ∴，即， ∴，， ∴ ， ， ∴， 整理得， 解得，（舍去）． ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴此时t的值为，． 【点睛】本题是相似形综合题．考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程等，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 5．（24-25九年级下·江西南昌·期末）如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在t的值，见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可； （2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； （2）解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 方程无解， ∴不存在t的值使得的面积等于 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 6．（24-25九年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 则同时出发，经过秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 7．（24-25九年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)当为或秒钟，使与相似． 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． （1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案； （2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可； （3）要使与相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， ∴， 当时，，，的面积； （2）解：由题意得， 即， 答：当为或秒，使的面积为． （3） 解：设经过秒钟，使与相似， ， 第一种情况：当时，与相似，即， 解得：， 第二种情况：当时，与相似，即， 解得：． 答：当为或秒钟，使与相似． 8．（24-25九年级下·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 地 城 考点05 利用相似求坐标 1、 选择题 1．（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】利用相似求坐标 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 2、 非选择题 2．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 3．（24-25九年级下·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【知识点】一次函数与几何综合、利用相似求坐标、用勾股定理解三角形 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 4．（24-25九年级下·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用相似求坐标 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（24-25九年级下·云南·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】反比例函数与几何综合、利用相似求坐标、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 6．（24-25九年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】一次函数与几何综合、利用相似求坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得； （3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则双曲线的解析式为． （2）解：如图，连接、， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为． （3）解：， 是等腰直角三角形，， ①如图，过点作轴，交轴于点， ，符合题意， ， ； ②如图，过点作，交轴于点， 则是等腰直角三角形， 在和中，， ，符合题意， 又轴，轴轴， ， ， ，即， 综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 7．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用相似求坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 8．（24-25九年级下·山东德州·期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）N（，0） 【知识点】反比例函数与几何综合、利用相似求坐标、反比例函数与一次函数的综合 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H，得到△BOC∽△BHA，求出OH，进而求出点A坐标，根据根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，设点M坐标为（m，），根据△BOC∽△MNB，得到关于m方程，求出m，舍去不合题意的解，即可求出点M坐标． 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥x轴于H， ∴AH∥OC， ∴△BOC∽△BHA， ∴， ∵AC＝2BC， ∴， ∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∴， ∴BH＝3， ∴OH＝2， ∴点A的横坐标为2， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴点A的纵坐标为6， ∴A（2，6）， ∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A、B， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为y＝2x+2； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x+2， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， 设点M（m，）， ∵MN⊥x轴， ∴N（m，0）， ∴BN＝m+1，MN＝， ∵△BOC∽△MNB， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴N（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，相似等知识，综合性较强 ，根据题意添加辅助线，构造相似图形，掌握相似的判定与性质是解题关键． 地 城 考点06 相似三角形的综合问题 一、非选择题 1．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出． 【详解】解：如图，连接、、， ∵是的中点，点是圆心， ∴，（垂径定理）， ∴， 作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴（等边对等角），（等腰三角形三线合一）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴：：， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作圆与相切于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得长，证明，根据对应边成比例列方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：设的半径为r，则，， 在中， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，即的半径为3． 5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，延长到点D，使，延长到点E，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，再由平角的定义得出，结合即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质计算得出的长，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴．， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，点E在该抛物线的对称轴上，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，连接，与交于点G，与交于点H，若点G为的中点，求的长； (3)点E在运动过程中，线段的长是否存在最小值？若存在，请直接写出该数值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(1)把点A坐标为，点B坐标为分别代入抛物线后利用待定系数法确定解析式即可． (2)过点C作交对称轴于点E，连接交于点G，连接，则四边形是平行四边形，点G为的中点，证明，列式解答即可． （3）设对称轴与x轴的交点为N，将绕点D顺时针旋转得到，设交于点Q，故点F的运动轨迹是直线，根据旋转的性质，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握判定和性质，三角函数，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点 ∴， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：过点C作交对称轴于点E，连接交于点G， ∵， ∴对称轴为直线， ∴，， ∵点，点D的坐标为， ∴， ∴， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴点G为的中点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵点，， ∴， ∴， 设对称轴与x轴的交点为N，将绕点D顺时针旋转得到，设交于点Q， 故点F的运动轨迹是直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点F与点Q重合时，取得最小值，且最小值为线段    的长， ∵对称轴为直线，点D的坐标为，点， ∴，， 过点D作于点M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过三角形内角和为，等量代换即可得； （2）过点作交于，证，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果， （3），点为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理可得结果． 【详解】（1）解：． ． ， 即， 故答案为； （2）过点作交于，如图， ．， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 设，， 则，， 解得， ， ； （3），点为中点， ， ， 由（2）知， 得， ． 8．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）【阅读解】如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，则，因为，可得． 【拓展应用】如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F 是边上一点，连接交于点G，． (1)试说明； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质解答即可． （2）连接，过点作，利用三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质勾股定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $