精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

扬州市新华中学2025-2026学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 命题人､审核人：王梅蓉､王亚璇 满分150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 6. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数满足，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域是的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若且，则 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若函数满足，则 11. 设函数，则（ ） A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时，有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点的坐标为__________； 13. 求值__________. 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步䋈. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点． （1）若，证明：函数必有局部对称点； （2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； （3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2025-2026学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 命题人､审核人：王梅蓉､王亚璇 满分150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由图可知，阴影部分为集合的交集. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知： 命题“，使得”的否定是，有. 故选：D 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：B. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 6. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 7. 已知实数满足，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 8. 定义域是的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由时的解析式，求出的取值范围，根据函数奇偶性，得到在时的最小值，由求解，即可得出结果. 【详解】因为时，， 当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以； 当时，，所以在上单调递减，则， 所以时，； 又定义域是的函数满足，即函数是奇函数，函数图象关于原点对称， 所以当时，， 因为时，恒成立，所以只需，即， 整理得，所以或， 解得或， 即实数取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若函数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】判断两函数的定义域，即可判断A，根据抽象函数的定义域求法判断B，利用换元法及二次函数的性质求出函数的值域，即可判断C，将换成，即可得到与的方程组，求出的解析式，即可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为或， 定义域不同，所以和不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 对于函数，令，解得，即函数的定义域为，故B正确； 对于C，令，则且， 所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，则， 由，解得， 即，则，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数，则（ ） A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 画出的图象如下图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，A错误. 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，B正确. 对于C，对， ， 即总成立，故C正确. 对于D，当时，，则， 此时关于直线对称，故有成立； 当时，，成立； 当时，， 由图知，即成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛： 函数图象的辅助分析：通过画出函数的图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的性质，是解题过程中非常有效的辅助手段； 单调性与对称性结合分析：通过对函数单调性和对称性分析，确保对函数的所有性质有准确全面的理解，这是判断选项的关键步骤. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点的坐标为__________； 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图像必过，即， 当，即时，， 从而图像必过定点. 故答案为：. 13. 求值__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式以及指对数的运算法则计算可得. 【详解】 故答案为： 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设分析易得函数在上单调递减，结合为奇函数可得为偶函数，可得函数在上单调递增，进而求解即可. 【详解】由题意，对任意的两个不相等的正数，都有， 不妨设，则，所以， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 则， 所以为偶函数，图象关于轴对称，则函数在上单调递增， 而， 由，则， 当时，，则； 当时，，则，即. 综上所述，的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步䋈. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，然后由并集的定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【小问1详解】 由，即， 当时，，解得，即； 当时，， 又，所以 【小问2详解】 因为，所以， 因为“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集. 所以，经检验“”满足题意 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合可得，解得即可； （2）（i）由题意、是关于的方程的两根且，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 不等式，整理得， 因为，所以原不等式可化为，解得， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 （i）因为关于的不等式的解集为， 所以、是关于的方程的两根且， 由韦达定理可知，所以，，且， 所以 （ii）由（i）知，，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， ，即， 检验：当时，， 因为，所以是奇函数. 故. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 由（1）得， 设任意，则， ，，， ，， ， 在上单调递减； 【小问3详解】 ，， 是奇函数，， 在上单调递减， ，解得， 即的取值范围为. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2）（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点． （1）若，证明：函数必有局部对称点； （2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； （3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围. 试题解析：(1)由得=,代入得, =,得到关于的方程=). 其中,由于且,所以恒成立, 所以函数=)必有局部对称点. (2)方程=在区间上有解,于是, 设),,, 其中，所以. (3),由于, 所以=. 于是=(*)在上有解. 令),则, 所以方程(*)变为=在区间内有解, 需满足条件:. 即,，化简得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $