精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

扬州市新华中学2025-2026学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 命题人､审核人：王梅蓉､王亚璇 满分150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数满足，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域是的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若函数满足，则 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点的坐标为__________； 13. 求值__________. 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步䋈. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点． （1）若，证明：函数必有局部对称点； （2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； （3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2025-2026学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 命题人､审核人：王梅蓉､王亚璇 满分150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由图可知，阴影部分为集合的交集. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知： 命题“，使得”的否定是，有. 故选：D 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：B. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号即可判断. 【详解】依题意，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除B，D选项； 又当时，，所以排除C选项. 故选：A. 6. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 7. 已知实数满足，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 8. 定义域是的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由时的解析式，求出的取值范围，根据函数奇偶性，得到在时的最小值，由求解，即可得出结果. 【详解】因为时，， 当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以； 当时，，所以在上单调递减，则， 所以时，； 又定义域是的函数满足，即函数是奇函数，函数图象关于原点对称， 所以当时，， 因为时，恒成立，所以只需，即， 整理得，所以或， 解得或， 即实数的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若函数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】判断两函数的定义域，即可判断A，根据抽象函数的定义域求法判断B，利用换元法及二次函数的性质求出函数的值域，即可判断C，将换成，即可得到与的方程组，求出的解析式，即可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为或， 定义域不同，所以和不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 对于函数，令，解得，即函数的定义域为，故B正确； 对于C，令，则且， 所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，则， 由，解得， 即，则，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点的坐标为__________； 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图像必过，即， 当，即时，， 从而图像必过定点. 故答案为：. 13. 求值__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式以及指对数的运算法则计算可得. 【详解】 故答案为： 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设分析易得函数在上单调递减，结合为奇函数可得为偶函数，可得函数在上单调递增，进而求解即可. 【详解】由题意，对任意的两个不相等的正数，都有， 不妨设，则，所以， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 则， 所以为偶函数，图象关于轴对称，则函数在上单调递增， 而， 由，则， 当时，，则； 当时，，则，即. 综上所述，的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步䋈. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，然后由并集的定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【小问1详解】 由，即， 当时，，解得，即； 当时，， 又，所以 【小问2详解】 因为，所以， 因为“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集. 所以，经检验“”满足题意. 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合可得，解得即可； （2）（i）由题意、是关于的方程的两根且，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 不等式，整理得， 因为，所以原不等式可化为，解得， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 （i）因为关于的不等式的解集为， 所以、是关于的方程的两根且， 由韦达定理可知，所以，，且， 所以. （ii）由（i）知，，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）得， 设任意，则， ，，， ，， ， 在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出参数即可； （2）根据定义法证明函数的单调性即可； （3）由奇偶性及单调性脱去“”建立不等式求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， ，即， 检验：当时，， 因为，所以是奇函数. 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 是奇函数，， 在上单调递减， ，解得， 即的取值范围为. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2）5. 【解析】 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【小问1详解】 ∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点． （1）若，证明：函数必有局部对称点； （2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； （3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】（1）由得=,代入得, =,得到关于的方程=). 其中,由于且,所以恒成立, 所以函数=)必有局部对称点. （2）； （3） 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围. 试题解析：(1)略 (2)方程=在区间上有解,于是, 设),,, 其中，所以. (3),由于, 所以=. 于是=(*)在上有解. 令),则, 所以方程(*)变为=在区间内有解, 需满足条件:. 即,，化简得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $