专题4.2 线段的长短（高效培优讲义，5大题型）数学沪科版2024七年级上册

本初中数学讲义聚焦线段长短比较，系统梳理叠合法、度量法，衔接线段和差、尺规作图（作等长线段）、中点概念及两点之间线段最短原理，构建从操作到应用的完整学习支架。 资料通过即学即练即时巩固，设计中点动态应用、分类讨论线段长度等多样题型，结合小区停靠点设置等生活实例，培养几何直观与抽象能力，提升推理意识和应用意识，课中助教师高效授课，课后方便学生查漏补缺。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2线段的长短 内容概览 ★教学目标、教学重点 0线段长短的比较方法 ②线段的和、差 ★知识清单 目尺规作图—作条线段 ④线段的中点 6线段的基本事实和两点之间的距离 线段的长短 0线段和、差的计算 ©线段中点的应用 ★题型精讲 ③综合应用线段和数轴的知识解决问题 ④运用分类讨论思想求线段的张 6用线段的基本事实解决生活中的最短距离问题 ★强化训练 教学目标、教学重难点 1.根据实际条件，灵活选用叠合与度量等方法比较线段的长短，能说出线段长短比较的结 果，从“数”和“形”两个方面理解线段的长短以及线段的和、差关系 2能用尺规作图：作一条线段等于已知线段. 教学目标 3.理解线段中点的概念和几何语言表示方法， 4掌握“两点之间的所有连线中，线段最短”的基本事实，并能运用它解决-些实际问题， 5.理解两，点之间的距离的意义，能度量和表达两点间的距离， 一、教学重点 1掌握“叠合法”和“度量法”，理解两种方法的操作逻辑。 2明确“把一条线段分成两条相等线段的点叫做中点”，能结合图形用符号表示，并 能根据已知线段长度求中点分线段的长度。 教学重难点 二、教学难点 1学生易在平移线段时出现“未重合一端”或“方向偏移”，难以准确通过图形语 言描述比较结果。 2.己知线段中点相关线段长度，求原线段长度或未知线段长度，需突破“部分与整 体”的逻辑转换，避免混淆“中点分线段为两段相等”的本质。 1/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01线段长短的比较方法 1.叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的 位置进行比较， 2.度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较例如：比较线段AB, CD的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在点A的同 一侧，如图4.3-1. AB>CD AB=CD AB<CD A(C)D B A(C)B(D) A(C)B D 图4.3-1 拓展：在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目 测的方法也可以比较出线段的长短. 【即学即练】如图，用圆规比较两条线段AB和B的长短，可知AB一AB'.(填写“>”，“<”， 知识点02线段的和、差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点C在线段AB的延长线上，如果线段AB=a, s a sb 线段BC=b,那么线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b. A B C 线段的差 如图所示，点D在线段AB上，如果线段AB=a,线段DB= b,那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a一b. A D B 【即学即练】(24-25七年级上安徽合肥期末)如图，点B、C在线段AD上，AC=BD, BC=3AB. 如果CD =5,那么BC的长度为() A B D A. 4 B. 5 c.a D.1 知识点03尺规作图—作一条线段 1.尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图， 2.画一条线段等于已知线段a 2/13 ©命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段。的长度，再画一条等于这个长度的线段· (2)方法二：如图4.3-3②，用直尺画射线AC,以A为圆心，以线段a的长为半径画弧，交射线AC于点 B,线段AB就是所求作的线段· 图4.3-3 【即学即练】如图，已知线段a,b,请用尺规作出一条线段c,使c=a-b.(保留作图痕迹，不写作法) b 知识点04线段的中点 1.线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点.如图4.3-7，若M是线段 AB的中点，则有AM=BM=2AB或AB=2AM=2BM. A M B 图4.3-7 2.线段的等分点（拓展）：把一条线段分成n条相等的线段的点叫作线段的n等分点.如图4.3-8，若M, 1 N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=3AB.如图4.3-9，若M,N,P是线段AB的四等分点， 则有AM=MN=NP=PB=4AB. A M N B A M N P B 图4.3-8 图4.3-9 【即学即练】(24-25七年级上·安徽准南·期末)如图，点P是线段AB上的一点且PB=4,点C是AB的 中点，点Q是AP的中点，则CQ的长为() A OC P B A.1 B.2 C.3 D.无法确定 知识点05线段的基本事实和两点之间的距离 1.线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短· 2.两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离· 3/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 如图，在A,B两点之间的所有线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离， 图4.3-11 【即学即练1】(24-25七年级上·安徽黄山·期末)小唐准备从屯溪老街驾车前往齐云山风景区游玩，查得 两地间的最短距离约为32公里，但导航提供的三条可选路线却分别为33公里，34公里，39公里，能解释 这一现象的数学道理是 车 【即学即练2】(23-24七年级上·安徽蚌埠阶段练习)如图所示，在A,B,C三个小区中分别住有某厂职 工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上(A,B,C三点在同一直线上)，已知AB=200米， BC=500米.若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行 到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在() AB C A.点A B.点B C.AB之间 D.BC之间 题型精讲 题型01线段和、差的计算 【例1】(24-25七年级上安徽安庆期末)如图，点B、C在线段AD上，若AB:BD=2:7, AC:CD=5:1,且BC=11cm,求AD的长度 A B CD 【变式1-1】(24-25七年级上·安徽芜湖·期末)如图，已知线段a,线段AB,点C在线段AB的延长线上， 且BC=AB,点D在线段BC上，且CD=a. a A B (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AC=4,CD=1. 4/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ①点D是线段BC的中点吗？请说明理由 ②点E在线段AD上，若AE:DE=3:2,求BE的长.（写出必要的推理计算的过程） 【变式1-2】(22-23七年级上安徽安庆期末)如图，点C在线段AB上，若BC=4C,则称点C是线段 的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段： A C (1)若AC=2,求AB的长； (2)在(1)的条件下，若点D也是图中线段AB的圆周率点（不同于点C),试求出线段CD的长，并写出 AC与BD的数量关系. 题型02线段中点的应用 【例2-1】(24-25七年级上·安徽合肥期末)线段AB=10,在直线AB上截取线段BC=2,D为线段AB 的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为() A.4 B.6 C.5或7 D.4或6 【例2-2】(24-25七年级上安徽六安·期末)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AD=110cm, AC=80cm,AB=10cm,现在点B,点C同时分别按图示方向运动，点C以每秒l0cm速度向左移动，点 B以每秒20cm速度向右移动.问()秒时，点C是线段AB的中点. A B C D > J 15 A.3 B.2 C.1 D.4 【例2-3】(24-25七年级上·安徽合肥·期末)如图，D是AB的中点，E是BC的中点，AE=10,CD=8, 则线段DE的长为 L A D B E C 【例2-4】(24-25七年级上安徽安庆·月考)如图，点P在线段A0的延长线上，且线段PQ=64,第1次 操作：分别取线段AP和AQ的中点，9，第2次操作：分别取线段AP和AQ的中点？，2，第3次操 作：分别取线段AB和AQ2的中点乃，Q,… A PP P (1)P2=-: (2)连续这样操作4次，则PQ=一· 【变式21】(2425七年级上：安微黄山期末)如图，点g是线段4C上一点：B=12mBC号B。 3 点O是线段AC的中点，则线段OB的长为() 5/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 【变式2-2】(24-25七年级上安徽亳州期末)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2,第一 次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1;第二次操作：分别取线段AM1和AN的中点M2,N2: 第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3,N,;…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所 形成的所有线段之和M,N+M2N2+…+M02sN25=() A NMs N2 M2 N M N M 1 c.2-2m 1 A.22024 B.22025 。22 【变式2-3】(24-25七年级上·安徽合肥·期末)定义：如图，有公共端点B的两条线段BABC组成一条折 线A-B-C,若该折线A-B-C上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线 的“折中点”.已知点Q是折线M-P-N的“折中点”，且点Q在NP上，点K为线段MP的中点，若 PQ=2PK=4,则线段NP的长为一· 夕 【变式2-4】(24-25七年级上·安微合肥期末)如图，线段AB=1,点A是线段AB的中点，点A是线段 AB的中点，点A是线段A,B的中点…以此类推，点A+1是线段AB的中点. A A A2 A3 B (1)线段A,B的长为 (2)线段A,B的长为： (3)求AA+AA,+A,A,+…+A6A,的值 题型03综合应用线段和数轴的知识解决问题 【例3】已知有理数a,b满足：口-2+(2-b)-0,如图，在数轴上，点0是原点，点A所对应的数是 a,线段BC在直线OA上运动（点B在点C的左侧），BC=b, 下列结论： ①a=4,b=2: ②当点B与点0重合时，AC=3: 6/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则PO+PA=2PB; ④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.其中 正确的是() I> 01 A.①③ B.①④ C.①②③④ D.①③④ 【变式3-1】(25-26七年级上江苏无锡·月考)如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别 是-11,3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且AB=2,则C点表示的数 是 A B→CBA→ 【变式3-2】如图，数轴上O,A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到 AO的中点A处，第2次从A点跳动到A,O的中点A处，第3次从4点跳动到A,O的中点A处.按照这样 的规律继续跳动到点A4,A,A6…A,(n≥3，n是整数)处，经过这样2025次跳动后的点A2s与AA的 中点的距离是一， 0⌒ A3 A A 【例33】(25-26七年级上安徽马鞍山期中)已知代数式M=(a-16)x+20r2+10x+5是关于x的二次多 项式，且二次项的系数为b.如图，在数轴上有点A,B,C三个点，且点A,B,C三点所表示的数分别为 a,b,C.已知AC=6AB」 C101 AB→ (1)求a,b,c的值； (2)若动点P,Q分别从C,O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A,点P不超过点B.在运动过程 中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度 BP-AO 为每秒3个单位长度，问代数式EF 是否为一个定值，如果是，求出这个定值.如果不是，请说明理 由. 题型04运用分类讨论思想求线段的长 【例4-1】(24-25七年级上·安徽阜阳·期末)如图，把一根绳子对折成线段AB,点P在线段AB上，从点 P处把绳子剪断，且AP:BP=2:3,若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm,则绳子的原长为() A P B 7/13 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.100cm B.120cm C.120cm或150cmD.100cm或150cm 【例4-2】(24-25七年级上·安徽合肥期末)如果在一条直线上有A、B、C三点，且AB=3,BC=5,则 AC= 【例4-3】(22-23七年级上·安徽合肥期末)如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AC、BC和AB, 若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”， L A C (1)线段的中点这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若AB=18,点C是线AB段的“2倍点”，则AC的长为一 【变式4-1】(24-25七年级上安徽六安期末)如图，有公共端点P的两条线段PM,PN组成一条折线 M-P-N.若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中 点”，己知点D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=4,CE=6,则线段BC的 长是() M N A.4 B.20或10 C.10 D.20或4 【变式4-2】(24-25七年级上·安徽安庆·期末)如图，线段AB表示一条绳子，现从点P处将绳子剪成两段， 其中一段长为30cm AP (1)若P为AB的中点，则剪断前的绳长为cm; （2)若AP=BP,则剪断前的绳长为一cm 51 【变式4-3】(24-25七年级上·安徽淮南期末)如图，已知点C在线段AB上，AB=40cm,AC=16cm, 点M,N分别是AB,BC的中点. A CM N B (1)求CN的长： (2)求MN的长： (3)若点P在直线AB上，且PA=4cm,点K为BP的中点，求KN的长， 题型05用线段的基本事实解决生活中的最短距离问题 【例5】如图A,B两城镇在河流的异侧，架一座桥EF连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短， 架桥点选在何处，请在图中画出： 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ●A ●B 【变式5-1】如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为60km,A、C间的路程为 4Okm、现要在A、B之间建一个车站P,若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在一. A CB公路 【变式5-2】如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看 它们正好在正方形网格的格点上.公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下 班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息.P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？ 请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线. B 【变式5-3】如图，A,B,C是一条公路上的3个村庄，A,B间的路程为100km,A,C间的路程为40km,要 在A,B之间设一个车站P,设P,C之间的路程为xkm. A C B (1)用含x的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为102km,问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级上：安徽合肥期末)已知线段4B,在线段4的延长线上取一点C,使4B=BC,点M 是线段AC的中点，若AB=20则线段BM的长为() A.5 B.10 C.15 D.30 2.(22-23七年级上安徽滁州阶段练习)如图，A,B,C依次为直线L上三点.M为AB的中点，N为 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MC的中点，且AB=6cm,NC=8cm,则BC的长为() AM B N C A.10cm B.13cm C.14cm D.16cm 3.(24-25七年级上·安徽滁州期末)如图，点C为线段AB上一点，点E是线段AC的中点，BC=3cm, 若AC=BE,则AB的长为() AEC B 13 27 A.cm B.6cm C.9cm D.cm 4.(24-25七年级上·安徽阜阳期末)如图，点D是线段AC的中点，点B是线段AC的三等分点，若 AB=6,则线段BD的长为() A BD C A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.(23-24七年级上·安徽毫州期末)已知，线段AB=10cm,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的 中点，那么，线段AD的长度为() A.Icm B.2.5cm C.5cm D.7.5cm 6.(24-25七年级上·安徽安庆期末)如图，已知AB=24cm,CD=10cm,E、F分别为AC,BD的中点， 则EF的长为() 11 AE C DFB A.17cm B.15cm C.14cm D.12cm 7在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G,其中A、B、C、D、E、F离城市的距 离分别为4,10,15,17,19,20km,而村庄G正好是APF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使 各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在() A.A处 B.C处 C.G处 D.E处 8.(24-25七年级上安徽合肥期末)线段AB=10,在直线AB上截取线段BC=2,D为线段AB的中点， E为线段BC的中点，那么线段DE的长为() A.4 B.6 C.5或7 D.4或6 二、填空题 9如图，点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=2,OA=OB,若点C表示的数为 -4,则点B表示的数为一 C O B 10.(24-25七年级上·安徽宿州期末)如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点， 10/13 专题4.2 线段的长短 教学目标 1.根据实际条件,灵活选用叠合与度量等方法比较线段的长短,能说出线段长短比较的结果,从“数”和“形”两个方面理解线段的长短以及线段的和、差关系. 2.能用尺规作图:作一条线段等于已知线段. 3.理解线段中点的概念和几何语言表示方法. 4.掌握“两点之间的所有连线中,线段最短”的基本事实,并能运用它解决-些实际问题. 5.理解两,点之间的距离的意义,能度量和表达两点间的距离. 教学重难点 一、教学重点 1.掌握 “叠合法”和 “度量法”，理解两种方法的操作逻辑。 2.明确 “把一条线段分成两条相等线段的点叫做中点”，能结合图形用符号表示，并能根据已知线段长度求中点分线段的长度。 二、教学难点 1.学生易在平移线段时出现 “未重合一端” 或 “方向偏移”，难以准确通过图形语言描述比较结果。 2.已知线段中点相关线段长度，求原线段长度或未知线段长度，需突破 “部分与整体” 的逻辑转换，避免混淆 “中点分线段为两段相等” 的本质。 知识点01 线段长短的比较方法 1. 叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 2. 度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 .例如：比较线段 AB， CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在点 A 的同一侧，如图 4.3-1. 拓展： 在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短 . 【即学即练】如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 知识点02 线段的和、差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点 C 在线段 AB 的延长线上，如果线段 AB=a，线段 BC=b，那么线段AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. 线段的差 如图所示，点 D 在线段 AB 上，如果线段AB=a，线段 DB = b，那么线段 AD 就是 a与 b 的差，记作 AD=a－b. 【即学即练】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 知识点03 尺规作图——作一条线段 1. 尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图 . 2. 画一条线段等于已知线段 a (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 . (2)方法二： 如图4.3-3②，用直尺画射线AC，以A为圆心，以线段 a 的长为半径画弧， 交射线 AC 于点 B， 线段 AB就是所求作的线段 . 【即学即练】如图，已知线段，，请用尺规作出一条线段，使．(保留作图痕迹，不写作法)      【详解】解：如图所示：线段，即为所求．      知识点04 线段的中点 1. 线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点 . 如图 4.3-7，若 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB 或 AB=2AM=2BM. 2. 线段的等分点(拓展)：把一条线段分成 n 条相等的线段的点叫作线段的 n 等分点 . 如图 4.3-8，若 M， N 是线段 AB 的三等分点，则 有 AM=MN=NB=  AB. 如 图 4.3-9，若 M， N，P 是线段 AB 的四等分点，则有 AM=MN=NP=PB= AB . 【即学即练】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 知识点05 线段的基本事实和两点之间的距离 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短 . 2. 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 . 如图 ，在 A， B 两点之间的所有线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点A 与点 B 之间的距离 . 【即学即练1】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）小唐准备从屯溪老街驾车前往齐云山风景区游玩，查得两地间的最短距离约为32公里，但导航提供的三条可选路线却分别为33公里，34公里，39公里，能解释这一现象的数学道理是 ； 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点A B．点B C．之间 D．之间 【答案】A 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则，则所有人的路程的和是：， ④当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则，则所有人的总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 题型01 线段和、差的计算 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 【答案】 【详解】解：设长为． ， ； 又， ； ∵，， ， 解得：； 长为． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，． ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长．（写出必要的推理计算的过程） 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：①因为，． 所以． 又因为，所以为的中点． ②因为， 所以， 所以． 【变式1-2】（22-23七年级上·安徽安庆·期末）如图，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，若点D也是图中线段的圆周率点（不同于点C），试求出线段的长，并写出与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵点D也是线段的圆周率点（不同于点C）， ， ，即， ， ∵， ， ∵， ． 题型02 线段中点的应用 【例2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 【答案】D 【详解】解：如图所示，点在之间时， ∵，为线段的中点， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，点在延长线上时， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故选：D ． 【例2-2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得， 解得， 即秒时，点是线段的中点， 故选：D 【例2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，是的中点，是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：是的中点，是的中点， ，， ，， ，， ，， ， ， ． 故答案为： ． 【例2-4】（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【详解】解：如图所示： ∵，点K为线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是折线的“折中点”， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段的中点． (1)线段的长为_______； (2)线段的长为_______； (3)求的值． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点 ∴，，， 故答案为：； （2）∵，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点 ∴， ， ， ……以此类推，可得： 故答案为：； （3）解：， ， …… ， ∴ ． 题型03 综合应用线段和数轴的知识解决问题 【例3】已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知， 点B表示的数为3，点A在点B的右边，且， 折叠后的点A表示的数为． 折叠前点A表示的数为， 则， 即点C表示的数为． 故答案为：． 【变式3-2】如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 【例3-3】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 题型04 运用分类讨论思想求线段的长 【例4-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，把一根绳子对折成线段，点在线段上，从点处把绳子剪断，且，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长． 故选：D． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如果在一条直线上有A、B、C三点，且，，则 ． 【答案】2或8 【详解】解：当点C在点B的左侧时，； 当点C在点B的右侧时，； 故答案为：2或8． 【例4-3】（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段的“2倍点”． （1）线段的中点 这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若，点C是线AB段的“2倍点”，则的长为 ． 【答案】 是 6或12或9 【详解】（1）∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“2倍点”； （2）∵，点C是线段的“2倍点”， 若C在中点的左边，则； 若C在中点的右边，则； 若点C在中点，则． 故的长度为6或12或9． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，线段表示一条绳子，现从点处将绳子剪成两段，其中一段长为． （1）若为的中点，则剪断前的绳长为 ； （2）若，则剪断前的绳长为 ． 【答案】 60 48或80 【详解】解：（1）∵若为的中点，其中一段长为 ∴ 故答案为∶60． （2）①当是，， ∴ ∴； ②当， ∴， ∴ 综上所述∶原来绳长为或． 故答案为∶48或80． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点． ∴； （2）解：∵，点是的中点． ∴， 由（1）得出， ∴． （3）解：依题意，当点在线段的外部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 当点在线段的内部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 综上：的长为或． 题型05 用线段的基本事实解决生活中的最短距离问题 【例5】如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【详解】解：如图所示，即为所作． 【变式5-1】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 【变式5-2】如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【变式5-3】如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【详解】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知线段，在线段的延长线上取一点C，使，点M是线段的中点，若则线段的长为（    ） A．5 B．10 C．15 D．30 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． 故选：B． 2．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，A，，依次为直线上三点．为的中点，为的中点，且，，则的长为（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：为的中点， 为的中点， 8， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，点为线段上一点，点是线段的中点，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则线段的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的三等分点，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，那么，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵线段，点是线段的中点， ∴cm， ∵点是线段的中点， ∴cm， ∵， ∴cm， 故选：D． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，，E、F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7.在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，D为线段的中点，E为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 【答案】D 【详解】解：①当点在线段上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 9.如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】6 【详解】解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点B所表示的数为6． 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴， 则，且， 即， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知线段，延长至点 ，使．点是的中点，点是的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 故答案为： ． 12．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 【答案】9或15 【详解】解：∵C是线段中点，， ∴， ∴， 当点D在点C的左侧时，则； 当点D在点C的右侧时，则； 综上，长为9或， 故答案为：9或15． 13．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知线段，点P是射线上的一个动点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．当时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：点P是射线上的一个动点， ①点P在直线AB之内，如图1， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ； ②点P在直线AB之外，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 14．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知点在线段上，点，分别在线段和线段上，且，． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 【详解】（1）解：设的长为， ， ， ， 点E是线段的中点， ， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 为线段的中点， ， ． 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点C，E是线段上两点，点D为线段的中点，． (1)图中共有 条线段； (2)求的长． 【详解】（1）解：由图可得：第一个端点可以画3条线段，第二个端点可以画2条线段，第三个端点可以画1条线段， ∴（条）， 即一共有10条线段， 故答案为：10； （2）解：∵点D为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点，点是的中点． ，， ； （2）线段的长度不发生变化． 理由如下： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 18.线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒． (1)当t＝6时，AC＝　 　． (2)用含t的式子表示线段AC的长； 当0≤t≤5时，AC＝　 　； 当5＜t≤10时，AC＝　 　． (3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长， 【详解】（1）当时，动点运动了个单位， ， ． ． 故答案为：8； （2）当时，； 当时， ． 故答案为：，； （3）当时， ； 当时， ； 故的长度不变，长度为5． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 20．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知M是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），即或． (1)若，求的长． (2)若点在线段上，，，求线段的长． (3)若是延长线上的点，，，求线段的长． 【详解】（1）分为两种情况： ①当时，如图，   ， ； ②当时，如图，   ， ； 所以的长为2或4； （2）分为两种情况： 当时，   ，， ， ， ， ； 当时，   ， ， ， （不符合题意，舍去）； 所以的长是3； （3）分为两种情况： ①当时，   ，， ， ， ， ； ②当时，   ，， ， ， ， ， 所以的长是或． 21．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 22.如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【详解】解：（1）∵满足， ∴a+2＝0， b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5； 故答案为：﹣2，5； （2）AB＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度； （3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t， ∵AP的中点为M，BQ的中点为N， ∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t， 如图1，当点P、M都在点B的左侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝； ③如图3，当点P、M都在点B的右侧时， BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝（舍去）； 综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB． 23．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或或或12，理由如下： ①当是、的“巧点”， （ⅰ）如图，   ， ，， ， ， 解得：， （ⅱ）如图，   ， ，， ， ， 解得：； （iii）当，即时， ∴， 解得：； ②当是、的“巧点”， （ⅰ）图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； （ⅱ）如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； （iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上所示：当t为或或或或12时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 9 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $