专题4.4 角的比较与补（余）角（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

本讲义聚焦初中数学“角的比较与补（余）角”核心内容，系统梳理角的度量法与叠合法比较大小，角的和差关系，角平分线及n等分线，补角、余角的定义与性质，以及尺规作角等知识点，形成从操作到性质再到应用的完整学习支架。 资料设计注重数学眼光与思维培养，通过“即学即练”巩固基础，变式题型（如“幸运角”“分余线”探究）提升推理能力，结合几何直观与运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与创新意识。

专题4.4 角的比较与补（余）角 教学目标 1.掌握角的大小比较方法，理解补角、余角的定义及性质，能进行简单角的计算。 2.通过操作、推理培养观察分析能力，体会数形结合思想，提升逻辑推理与语言表达能力。 3.感受数学与生活的联系，激发学习兴趣，培养严谨的思维习惯与合作探究意识。 教学重难点 一、教学重点 1.角的两种比较方法；补角、余角的定义及本质特征；补角、余角的性质及简单应用。 三、教学难点 叠合法比较角大小时 “两重合”的操作与逻辑理解；补角、余角性质的文字表述转化为数学语言的过程；结合补（余）角性质解决含公共角、对顶角的角的计算与推理问题。 知识点01 角的大小的比较方法 1. 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法：把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 【即学即练】如图所示，回答下列问题： (1)比较与的大小； (2)借助三角板比较与的大小； (3)借助量角器比较与的大小． 知识点02 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 【即学即练】观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展)：类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 【即学即练】如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 知识点04 互为补角、互为余角 一、互补和互余 1.互补：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 . 2.互余：如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图. 3.互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 二、补角和余角的性质 1余角的性质  (1)同角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 【即学即练】如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 知识点05 用尺规作一个角 方法一：先用量角器量出已知角的度数， 再画一个等于这个已知角的度数的角 . 方法二： (尺规作图) 已知： ∠ AOB(如图①). 求作： ∠ A′ O′ B′，使∠ A′ O′ B′ = ∠ AOB. 作法： (1) 在 ∠ AOB 上 以 点 O 为 圆 心，任 意 长 为 半 径画弧，分别交 OA， OB 于点 M， N(如图①)； (2) 作射线 O′ M′， 并以点 O′为圆心， OM 长为半径画弧， 交 O′ M′于点 A′； (3) 以点 A′为圆心， MN 长为半径画弧， 与第(2) 步中所画弧交于点 B′； (4) 作射线 O ′ B ′， ∠ A ′ O ′ B ′就 是 所求作的角(如图②) . 【即学即练】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 题型01 角的和、差、倍、分计算 【例1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式1-1】（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线在的内部，且，平分．      【活动一】当时， 若，求的度数； 若，求的度数(用含的代数式表示)； 【活动二】当时，若，则 ．（用含和的代数式表示，直接写出结果，不需要说明理由．） 题型02 互补、互余的概念应用 【例2-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知平分，且的余角比小． (1)求的度数； (2)在所在平面内，作射线，使得，求的度数． 【例2-2】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，已知直线与相交于点O，分别是的平分线． (1)的补角是______ (2)若，求和的度数； 【例2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）如图1，B，O，C在同一条直线上，． (1)若平分，如图2，求与的度数； (2)若平分平分，如图3，求的度数； (3)如图4，与互余，若也与互余，请在图4中画出射线，直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型03 与角平分线有关的探索题 【例3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点O，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 【例3-2】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，， ①若，则______． ②若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转，求第一次时，运动了多少秒？ 【例3-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式3-3】（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 题型04 利用尺规作图作几何图形 【例4-1】如图，已知，是内的一条射线，利用尺规作图法在内作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【例4-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【变式4-1】（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，是内部一条射线． (1)请你用直尺和圆规在内部作，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，且与互补，求的度数． 题型05 以三角板为背景的角的计算 【例5-1】（22-23七年级上·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 【例5-2】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）    (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，求的度数． (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数． 【例5-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，在内部作射线平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．            (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________； 若，则________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2) 如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，是的平分线，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·安徽池州·期末）如图所示，，分别平分，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 4．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）已知平分，若，，则的度数为 ． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 三、解答题 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)当时，求的度数； (2)当，求．（用含的代数式表示） 9．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 10．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 11．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图1，，在内部，射线 绕点顺时针旋转，与此同时，射线绕点逆时针旋转且旋转速度是的倍，， 旋转后的位置分别是，，当到达 位置时两条射线均停止旋转．整个运动过程中始终满足 ． (1)直接写出 的度数∶ ； (2)①如图2，在，旋转的过程中，是的平分线， 是 的平分线，若旋转到某一时刻，恰好，求此时 的度数； ②在①的条件下，如果越过的位置(但满足 )，的度数又是多少？ 在备用图画出图形并计算． 13．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 角的比较与补（余）角 教学目标 1.掌握角的大小比较方法，理解补角、余角的定义及性质，能进行简单角的计算。 2.通过操作、推理培养观察分析能力，体会数形结合思想，提升逻辑推理与语言表达能力。 3.感受数学与生活的联系，激发学习兴趣，培养严谨的思维习惯与合作探究意识。 教学重难点 一、教学重点 1.角的两种比较方法；补角、余角的定义及本质特征；补角、余角的性质及简单应用。 三、教学难点 叠合法比较角大小时 “两重合”的操作与逻辑理解；补角、余角性质的文字表述转化为数学语言的过程；结合补（余）角性质解决含公共角、对顶角的角的计算与推理问题。 知识点01 角的大小的比较方法 1. 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法：把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 【即学即练】如图所示，回答下列问题： (1)比较与的大小； (2)借助三角板比较与的大小； (3)借助量角器比较与的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】此题考查了角的大小比较，掌握角的大小比较方法是解题的关键： （1）根据两个角的边的位置关系可以比较角的大小； （2）用含有角的三角板比较，可得； （3）用量角器度量得 【详解】解：(1)因为在的内部， 所以； (2)用含有角的三角板比较，可得， 则 (3)用量角器度量得， 则 知识点02 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 【即学即练】观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【分析】本题主要考查了角的关系，根据图中各个角之间的关系，进行解答即可． 【详解】解：根据图形可知：； ； ． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展)：类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 【即学即练】如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 知识点04 互为补角、互为余角 一、互补和互余 1.互补：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 . 2.互余：如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图. 3.互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 二、补角和余角的性质 1余角的性质  (1)同角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 【即学即练】如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； （2）解：与互为补角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 知识点05 用尺规作一个角 方法一：先用量角器量出已知角的度数， 再画一个等于这个已知角的度数的角 . 方法二： (尺规作图) 已知： ∠ AOB(如图①). 求作： ∠ A′ O′ B′，使∠ A′ O′ B′ = ∠ AOB. 作法： (1) 在 ∠ AOB 上 以 点 O 为 圆 心，任 意 长 为 半 径画弧，分别交 OA， OB 于点 M， N(如图①)； (2) 作射线 O′ M′， 并以点 O′为圆心， OM 长为半径画弧， 交 O′ M′于点 A′； (3) 以点 A′为圆心， MN 长为半径画弧， 与第(2) 步中所画弧交于点 B′； (4) 作射线 O ′ B ′， ∠ A ′ O ′ B ′就 是 所求作的角(如图②) . 【即学即练】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了利用尺规作角的和差，熟练掌握尺规作图法是解题的关键． （1）延长到，即为所求； （2）在的左侧作，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型01 角的和、差、倍、分计算 【例1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，倍数关系，是解题的关键． （1）根据平角的定义结合，求出的度数，再根据角平分线的定义即可得出结果； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出，再用即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1-1】（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由， ， 则， ∵此方程有无数多个解， ∴，， 解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴； ②在外部， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 或． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线在的内部，且，平分．      【活动一】当时， 若，求的度数； 若，求的度数(用含的代数式表示)； 【活动二】当时，若，则 ．（用含和的代数式表示，直接写出结果，不需要说明理由．） 【答案】[活动一]①； ②；[活动一]． 【分析】[活动一]先根据角度和差得出，，再由角平分线的定义得，最后由角度和差即可求解； 先根据角度和差得出，，再由角平分线的定义得，最后由角度和差即可求解； [活动二]先根据角度和差得出，，再由角平分线的定义得，最后由角度和差即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】[活动一] 解：∵，，     ∴，， ∵平分， ∴， ∴；          ∵ ，，     ∴，， ∵平分， ∴， ∴； [活动二] 解：∵，，     ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 题型02 互补、互余的概念应用 【例2-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知平分，且的余角比小． (1)求的度数； (2)在所在平面内，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与余角有关的计算： （1）设，根据的余角比小，列出方程进行求解即可； （2）分射线在上方和射线在下方，两种情况进行求解即可。 【详解】（1）解：∵平分， ∴设，则 由题意得： 解得： 答：的度数为． （2）由（1）得， 则 当射线在上方时， 当射线在下方时， 综上：的度数为或． 【例2-2】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，已知直线与相交于点O，分别是的平分线． (1)的补角是______ (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查补角，与角平分线有关的计算： （1）根据和为180度的两个角互为补角，结合角平分形平分角，进行判断即可； （2）根据平角的定义，角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ， 又 的补角是或； （2）是的平分线， ， ， 是的平分线， ． 【例2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互补的含义，角的和差运算； （1）由角平分线的性质可得，，结合角的和差运算可得答案； （2）由角平分线的性质可得，，结合与互补，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵平分，平分， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）如图1，B，O，C在同一条直线上，． (1)若平分，如图2，求与的度数； (2)若平分平分，如图3，求的度数； (3)如图4，与互余，若也与互余，请在图4中画出射线，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，掌握余角和补角的概念及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求与； （2）先根据余角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，先根据补角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，根据角的和差关系可求的度数； （3）先作出相应的图，再分2种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵与互余，也与互余， ∴ 如图①，； 如图②，； 故的度数为或． 题型03 与角平分线有关的探索题 【例3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点O，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 【答案】(1)，说明见解析 (2) 【分析】本题考查与余角有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）平角的定义求出的度数，角平分线求出的度数，余角的定义求出的度数，进而求出的度数，即可得出结果； （2）由（1）中求出的的度数，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，说明如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴． 【例3-2】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，， ①若，则______． ②若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转，求第一次时，运动了多少秒？ 【答案】(1)①；② (2)②中的结论仍然成立，理由见解析 (3)第一次时，运动了8秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用；利用数形结合的思想是解决问题的关键． （1）①先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； ②先表示出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； （2）先表示出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； （3）求出，设运动时间为t，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）②中的结论仍然成立； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 设运动时间为t， 由题意得：， 解得：， 即第一次时，运动了8秒． 【例3-3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【答案】(1)和的度数相等，理由见解析 (2)； (3)，此定值为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）分别求出，的度数，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （3）设，分别求出，，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：和的度数相等，理由如下： ，， ， ，， ，     ， （2）解：如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 即的度数是； （3）解：设， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∵的值为定值， ∴， ∴，此定值为． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算． （1）由的度数可以求得的度数，由平分，可以求得的度数，又由可以求得的度数； （2）根据直角和角平分线的定义可得，再利用平角的定义和角的和差即可求得； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：； 理由：∵是直角，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 理由：∵平分，是直角， ∴， ∴， ∴； 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，理由见解析 (3)射线不能平分，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，以及角平分线定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差，以及角平分线定义，结合图形计算求解即可； （2）利用角平分线定义得到，再结合角的和差与等角的代换推出，即可解题； （3）根据题意得到，再结合角平分线定义推出大于平角，此时就不在的上方，即可说明射线不能平分． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：射线不能平分，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴，即为钝角， 若平分，则大于平角，此时就不在的上方， 所以在图2中，射线不能平分． 题型04 利用尺规作图作几何图形 【例4-1】如图，已知，是内的一条射线，利用尺规作图法在内作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角．根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可作答． 【详解】解：如图所示，即为所求． ． 【例4-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 【变式4-1】（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先作射线，然后截取线段，，则即为所求； （2）首先作射线，然后利用尺规作，，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，线段即为所求的线段．   ； （2）解：如图所示，即为所求作的角．    【点睛】此题主要考查根据已知线段作另外一条线段，作一个角等于已知角．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行作图． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，是内部一条射线． (1)请你用直尺和圆规在内部作，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，且与互补，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角，与补角有关的计算： （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）互补，求出的度数，根据，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 以三角板为背景的角的计算 【例5-1】（22-23七年级上·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 【答案】 【分析】（1）利用角平分线的定义求出，的度数，最后利用平角是 进行计算即可解答； （2）利用角平分线的定义求出，的度数进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，是的平分线． ∴ ， ∵， 是的平分线 ∴， ∵是平角 ∴； 故答案为： （2）∵，是的平分线． ∴， ∵， 是的平分线 ∴， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线及角的和差计算，掌握角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是关键． 【例5-2】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）    (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，求的度数． (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，结合图形进行求解是解决问题的关键． （1）由求解即可； （2）因为恰好平分，所以，由求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例5-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，在内部作射线平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平角的定义，角的和差等； （1）由平角的定义得，由角平分线的定义，即可求解； （2）由角平分线的定义得，由角的和差得，即可求解； （3）设，角平分线的定义得，可得，即可求解； 能熟练利用角平分线的定义及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 射线平分， ； 故答案为：； （2）解：， ， 射线平分， ， ， ， 的度数为； （3）解：设， ， ， ， ， 射线平分， ， ， 解得：， ， ． 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意可得，从而得出，代入数值求解即可． （2）依据题意，，结合，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：∵和互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 【答案】 30 105 【分析】本题考查了角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． （1）根据角平分线的定义得出，然后结合已知和角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线定义求出，然后结合已知和角的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）当在左边且平分时，如图2，此时， ，， ， 故答案为∶30； （2）当在右边且平分时，如图， ， ， ， ， ， 故答案为∶105． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．            (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________； 若，则________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①142，45；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练运用角之间的关系是解题的关键． （1）①已知，根据角的和差即可求出和的度数； ②根据前两个小问的结论猜想与之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明； （2）根据（1）的解题思路确定与之间的数量关系并证明． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 故答案为：142，45； ②猜想：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，是的平分线，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的几等分线，根据几等分线正确推导角是解题的关键． 【详解】解：， ∵是的平分线 故选：． 2．（22-23七年级上·安徽池州·期末）如图所示，，分别平分，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分别平分，，，可得，，，从而得到，，继而得到，，故①②正确；再由，，可得与不互补，故③错误，再由，可得．故④正确，即可． 【详解】解：∵分别平分，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故①②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故③错误， ∵， ∴．故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角的和差倍分关系，属于中考常考题型． 二、填空题 3．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平角定义，角度的折叠问题，根据平角定义计算出，再根据折叠的性质得，即可求出结果．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 长方形纸片沿折叠后，点分别落在、的位置， ， ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）已知平分，若，，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】分射线在的内部和射线在的内部两种情况进行分析，先根据角平分线的定义求出，再进行角的加减运算即可求解． 【详解】解：（1）如图1，若射线在的内部时， ∵平分， ∴， ∴； （2）如图2，若射线在的内部时，， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角的计算问题，理解题意，根据题意分类画出图形是解题关键． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】 102 20或50/50或20 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的数量关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．①由题意可知，旋转8秒时，，从而求出，即可求出的度数；②分两种情况讨论：当的延长线平分角时；当的延长线平分角时，利用角度的和差关系分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旋转8秒时，， , ， ； 若第秒时，所在直线恰好平分， ①如图，当平分角时， ， ， ， ， ， ； ②如图，当的延长线平分角时， ， ， ， , ， ， ； 综上可知，第秒或秒时，所在直线恰好平分， 故答案为：102；20或50． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 三、解答题 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)当时，求的度数； (2)当，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据平角的定义可求解，再利用角平分线的定义可得，结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 9．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴∵， ∴． 10．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，进而求解即可； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角的和差可求解． 【详解】（1） 又平分， 所以， 因为， 所以． （2）由（1）可知， 又与互余， 所以， 又因为， 所以， 所以． 11．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）方法同（1）即可得出结果； （3）根据（2）中结果及比例求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：；； （2），理由如下， ，， ； （3），， ． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图1，，在内部，射线 绕点顺时针旋转，与此同时，射线绕点逆时针旋转且旋转速度是的倍，， 旋转后的位置分别是，，当到达 位置时两条射线均停止旋转．整个运动过程中始终满足 ． (1)直接写出 的度数∶ ； (2)①如图2，在，旋转的过程中，是的平分线， 是 的平分线，若旋转到某一时刻，恰好，求此时 的度数； ②在①的条件下，如果越过的位置(但满足 )，的度数又是多少？ 在备用图画出图形并计算． 【答案】(1) (2)①，②图见解析， 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，一元一次方程的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键． （1）由题意得，，得到，计算即可得到答案； （2）①由（1）知，得到，，根据角平分线定义得到， ，得到，再由已知，计算即可得到答案； ②根据题意画出图形，根据题意可得，，得到，，根据角平分线定义得到，，从而得到，再由已知，即可求出的度数． 【详解】（1）解：射线 绕点顺时针旋转，与此同时，射线绕点逆时针旋转且旋转速度是的倍， ， 整个运动过程中始终满足 ， ， ， ， 故答案为： （2）解：①由（1）知，， ， ， 是的平分线， 是 的平分线， ， ， ， 旋转到某一时刻，恰好， ， ， 此时的度数为； ②在①的条件下，如果越过的位置(但满足 )，则也越过的位置，如图， ，， ， ， ， 是的平分线， 是 的平分线， ， ， ， 旋转到某一时刻，恰好， ， ． 13．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，涉及角度的和差计算，角平分线的定义，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）由于，那么，基即可证明； （2）由平分，得到，因为为的“割补线”，则，即可求解； （3）设，则，由于为的“割补线”，那么或，则或，①当时，由于为的“割补线”，那么或，当时，得到，当时，得到，②当时，则，那么当时，得到，当时，得到，分别解方程即可． 【详解】（1）解：是的“割补线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“割补线”； （2）解：∵平分， ∴， ∴ ∵为的“割补线” ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为的平分线， ∴设， ∴， ∵为的“割补线”， ∴或， ∴或， ①当时， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：， 此时（不符合题意，舍）； 当时， ， 解得：， ∴； ②当时， 则， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当时， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $