6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“已知正弦、余弦或正切值求角”核心知识点，系统梳理确定角的象限、求解步骤及简单三角方程解集等内容，衔接三角函数性质与三角方程应用，构建三角知识体系的关键学习支架。 该资料以“四基”为框架，通过条件判断（如例1）、范围限定求角（如例2）等例题及同步练习，渗透数形结合与逻辑推理思想，培养数学思维与应用意识。课中辅助教师落实核心素养教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

【原卷版】第6章 三角 6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟 【附录】本节相关考点。 考点一 简单三角方程 若，则解集为：； 若，则解集为：； 若，则解集为：； 例1、是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、若，且，则x等于 例3、使得等式成立的x的集合 例4、方程在区间上的解集为 例5、已知，且，则 ． 例6、若是方程的解，其中，则 ． 例7、若，使等式成立的的解集是 例8、求：方程的解集 例9、求：方程的解集。 例10、已知不等式cos α＜，求α的取值范围． 例11、已知不等式－≤sin θ＜，求α的取值范围． 例12已知集合，. （1）当时，求x的值；（2）当时，求x和y的值. 例13知关于x的方程. （1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用 1、已知三角函数值求角时应注意的问题 在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只有一个，可分为以下几步求解． 第一步：确定角可能在第几象限； 第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1； 第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0，2π)内对应的角； 第四步：如果要求出(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果； 2、已知正弦、余弦或正切值求角的相关结论 ，Z； ，Z； ，Z。 1、”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2、设，；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、已知，且，则 ． 4、已知，，则 . 5、已知，，则 . 6、方程的解集为 ． 7、方程在区间内的解是 . 8、满足，的角的集合为 . 9、求方程的解集． 10、已知. （1）当时，求x的取值集合； （2）当时，求x的取值集合； （3）当时，求x的取值集合. 【解析版】第6章 三角 6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟 【附录】本节相关考点。 考点一 简单三角方程 若，则解集为：； 若，则解集为：； 若，则解集为：； 例1、是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据，由可得或，即可得到答案； 【答案】A； 【解析】当时，，所以是的充分条件， 当时，或，所以不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【说明】本题综合考查了判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角； 例2、若，且，则x等于 【提示】根据给定条件，利用正弦函数的定义求出； 【答案】或； 【解析】所对锐角，由，得是第三或第四象限角， 而，所以或. 【说明】本题考查了已知三角函数值求角；特别注意关注已知角的范围； 例3、使得等式成立的x的集合 【提示】利用简单三角方程的解集可得结果； 【答案】； 【解析】由题意，所以，，所以，. 【说明】本题考查了特殊角的三角比、已知三角函数值求角 例4、方程在区间上的解集为 【提示】求出相位的范围，再由给定值求出角即可得解； 【答案】 【解析】当时，， 由，得或或， 解得或或， 所以方程在区间上的解为. 【说明】本题考查了特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角； 例5、已知，且，则 ． 【提示】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案； 【答案】 【解析】因为，所以， ，所以． 故答案为：. 【说明】本题主要考查了已知三角函数值求角； 例6、若是方程的解，其中，则 ． 【提示】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解； 【答案】； 【解析】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 【说明】本题综合考查了特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 例7、若，使等式成立的的解集是 【提示】结合特殊角的正弦值利用终边相同的角求解即可； 【答案】 【解析】由得，所以， 又，所以，所以或， 因为，所以的值是或. 例8、求：方程的解集 【提示】注意：结合诱导公式，转化为最简单的三角方程； 【答案】； 【解析】由已知，结合诱导公式，化简为， 则或， 得，所以方程的解集为. 故答案为： 【说明】本题考查了简单三角方程；与等价转化思想； 例9、求：方程的解集。 【提示】将方程转化为，利用反三角函数即可表示出. 【答案】 【解析】由，得，解得， 即方程的解为.故答案为： 例10、已知不等式cos α＜，求α的取值范围． 【解析】如图，由余弦线知角α的取值范围是 . 例11、已知不等式－≤sin θ＜，求α的取值范围． 【解析】由三角函数线可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin θ＜， 故θ的取值集合是∪(k∈Z)． 例12已知集合，. （1）当时，求x的值；（2）当时，求x和y的值. 【提示】（1），，解得，； 【解析】（2）因为，所以y可能取值为； 当时，解得；当时，解得； 当时，则有，即，解得，经检验知符合题意. 综上可得：若，则；若，则； 若，则 例13知关于x的方程. （1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. 【解析】（1），所以， 当时，方程为：，所以或， 又，所以，所以，故方程的解集为； （2）由（1）得：有解，即有解， 又，又，所以， 即，即 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用 1、已知三角函数值求角时应注意的问题 在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只有一个，可分为以下几步求解． 第一步：确定角可能在第几象限； 第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1； 第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0，2π)内对应的角； 第四步：如果要求出(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果； 2、已知正弦、余弦或正切值求角的相关结论 ，Z； ，Z； ，Z。 1、”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【解析】因为，所以或. 对，当时，与对应； 当时，与对应. 所以 “”是“”的充要条件. 故选：C. 2、设，；，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，，所以， 但，是的充分不必要条件． 故选：A． 3、已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由可得，结合，故， 故答案为： 4、已知，，则 . 【答案】或 【解析】根据余弦函数的性质，当时，在第一象限和第四象限. 因为，所以第一象限的解为，第四象限的解为. 故答案为：或. 5、已知，，则 . 【答案】或 【解析】由，，所以或. 故答案为：或 6、方程的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以, 又因为，所以或者, 解得或, 所以该方程的解集为. 故答案为： 7、方程在区间内的解是 . 【答案】或 【解析】，得， 所以，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在区间内的解是或. 故答案为：或. 8、满足，的角的集合为 . 【答案】 【解析】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 9、求方程的解集． 【答案】 【解析】由，易得， 结合在上的图象可得， 考虑的周期为，故得，， 所以，方程的解集为． 10、已知. （1）当时，求x的取值集合； （2）当时，求x的取值集合； （3）当时，求x的取值集合. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】（1）因为在上是增函数，且，所以.所以x的取值集合为. （2）因为，所以x为第一、二象限的角，且 所以在上符合条件的角有或.所以x的取值集合为. （3）当时，x的取值集合为或. 第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $