6.1.4诱导公式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

【原卷版】 第6章 三角 6.1.4诱导公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟。 【附录】本节相关考点 考点一 诱导公式 诱导公式可概括为的各三角比的化简公式； 记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”. 第1步：为奇数时，三角比名称发生变化， 为偶数时，三角比名称不变； 第2步：不管是什么角，先将其当做锐角，再看在第几象限，及其对应的原三角比名称在该象限是正还是负，进而将符号放到第一步的结果前面； 组数 一 二 三 四 五 六 七 八 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα －cosα －cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα －sinα sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα cot α －cot α cot α －cot α 例1、已知，则的值是 ( ) A. B. C. D. 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、已知α∈，sinα＝，则＝________. 例3、已知tan＝2，则tan＝________. 例4、化简，得（ ） A．1 B． C． D． 例5、已知，化简： （ ） A． B． C． D．随k的变化而变化 例6、已知A，B，C为的三个内角，求证： （1）； （2）． 例7、已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O顺时针旋转至，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例8、已知为第三象限角，且f(α)＝ ． （1）化简f(α)； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 诱导公式是三角函数中用于将任意角转化为锐角计算的核心工具，核心特点可概括为 “化繁为简、规律统一”。其本质是利用三角函数的周期性、奇偶性及单位圆对称性，将终边相同、关于坐标轴或原点对称的角的三角函数值相互转化，最终归为锐角三角函数求解。规律上呈现 “奇变偶不变，符号看象限” 的统一法则：“奇、偶” 指 k・π/2（k∈Z）中 k 的奇偶性，奇数时函数名互变（正弦与余弦、正切与余切），偶数时函数名不变；“符号看象限” 即始终将原角视为锐角，判断其所在象限对应三角函数的正负。 诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查 的重点、热点，一般解题步骤如下： （1）定关系：确定已知角与所求角之间的关系； （2）定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式； （3）得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果； 诱导公式的三个基本应用 （1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； （2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了； （3）证明：恒等式； 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数值符号的影响。 一组重要公式 （1）(n∈Z)； ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z)； ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z)； （2）(n∈Z)； ①当n=2k(k∈Z)时， 由诱导公式有(k∈Z)； ②当n=2k+1(k∈Z)时， 由诱导公式有 (k∈Z)； 类似地，有： （3）(n∈Z).(4)(n∈Z). 1、已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2、若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、已知，则 4、若角的终边经过点，则 5、若，则 6、已知＝2，则2tan＋________. 7、化简：___________. 8、已知，则 9、已知、、为的三个内角，求证： 10、已知角终边上的一点，（）. （1）求的值； （2）求的值. 【解析版】 第6章 三角 6.1.4诱导公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟。 【附录】本节相关考点 考点一 诱导公式 诱导公式可概括为的各三角比的化简公式； 记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”. 第1步：为奇数时，三角比名称发生变化， 为偶数时，三角比名称不变； 第2步：不管是什么角，先将其当做锐角，再看在第几象限，及其对应的原三角比名称在该象限是正还是负，进而将符号放到第一步的结果前面； 组数 一 二 三 四 五 六 七 八 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα －cosα －cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα －sinα sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα cot α －cot α cot α －cot α 例1、已知，则的值是 ( ) A. B. C. D. 【提示】注意：角； 【答案】B； 【解析】； 【说明】利用诱导公式的求值； 例2、已知α∈，sinα＝，则＝________. 【答案】7； 【解析】因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝＝， 所以tanα＝＝. 所以 ＝＝＝＝7. 【说明】利用诱导公式求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． 例3、已知tan＝2，则tan＝________. 【答案】 【解析】　＋＝，故tan＝tan＝＝. 【说明】正切函数的诱导公式：tan＝＝＝∓cotx(cotx为x余切)． 例4、化简，得（ ） A．1 B． C． D． 【提示】注意：利用诱导公式进行化简； 【答案】B； 【解析】依题意，原式；故选：B 【说明】诱导公式的综合应用；解决化简求值问题的策略：1、能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值；2、不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系，观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系，再利用诱导公式转化求值； 例5、已知，化简： （ ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【提示】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算； 【答案】B 【解析】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 【说明】本题考查了利用诱导公式；与分类讨论进行了简单整合； 例6、已知A，B，C为的三个内角，求证： （1）； （2）． 【提示】（1）利用和诱导公式，即可证明； （2）利用和诱导公式，即可证明. 【解析】（1）在中，，则 . 又因为， 所以， （2）在中，，则. 所以， ， 所以，． 【说明】本题综合考查了诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 例7、已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O顺时针旋转至，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据三角函数的定义，求出的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可； 【答案】C； 【解析】因为，点的坐标为， 所以，设，则，， 将绕坐标原点顺时针旋转至， 则的倾斜角为，则， 则点的纵坐标为， 点的横坐标为， 即 故选：C． 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、用和、差角的余弦公式化简、求值； 例8、已知为第三象限角，且f(α)＝ ． （1）化简f(α)； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【提示】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f（α）的解析式． （2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案． （3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可 【答案】（1）f（α）＝﹣cosα；（2）f（α）；（3）f（α）＝ 【解析】（1）f（α）= cosα （2）因为，cos（a），所以，sinα， 因为，a是第三象限角， 所以，cosα， 所以，f（α）＝﹣cosα （3）f（α）＝﹣cos 【说明】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负． 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 诱导公式是三角函数中用于将任意角转化为锐角计算的核心工具，核心特点可概括为 “化繁为简、规律统一”。其本质是利用三角函数的周期性、奇偶性及单位圆对称性，将终边相同、关于坐标轴或原点对称的角的三角函数值相互转化，最终归为锐角三角函数求解。规律上呈现 “奇变偶不变，符号看象限” 的统一法则：“奇、偶” 指 k・π/2（k∈Z）中 k 的奇偶性，奇数时函数名互变（正弦与余弦、正切与余切），偶数时函数名不变；“符号看象限” 即始终将原角视为锐角，判断其所在象限对应三角函数的正负。 诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查 的重点、热点，一般解题步骤如下： （1）定关系：确定已知角与所求角之间的关系； （2）定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式； （3）得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果； 诱导公式的三个基本应用 （1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； （2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了； （3）证明：恒等式； 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数值符号的影响。 一组重要公式 （1）(n∈Z)； ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z)； ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z)； （2）(n∈Z)； ①当n=2k(k∈Z)时， 由诱导公式有(k∈Z)； ②当n=2k+1(k∈Z)时， 由诱导公式有 (k∈Z)； 类似地，有： （3）(n∈Z).(4)(n∈Z). 1、已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 2、若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“”可以推出“”， 当，满足，不能推出, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3、已知，则 【答案】6 【解析】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 4、若角的终边经过点，则 【答案】 【解析】由题意可知， . 5、若，则 【答案】 【解析】因为 ， 又，所以， 6、已知＝2，则2tan＋________. 【答案】－ 【解析】由＝2，得tanα＝5，则2tan＋＝－tanα＝－. 7、化简：___________. 【答案】1； 【解析】原式；； 8、已知，则 【答案】2 【解析】，， ， 设，则， 原方程组可表示为，即， 由①得，由②得， 两式联立得，， 将的值代入中得，， 则. 9、已知、、为的三个内角，求证： 【提示】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立； 【解析】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 10、已知角终边上的一点，（）. （1）求的值； （2）求的值. 【提示】（1）先求，把所求式子化简，转化为含有的式子求解； （2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）依题意有，原式. （2）原式 【说明】本题主要考查同角基本关系及诱导公式，已知正切值求解时，注意齐次式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养. 第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $