精品解析：安徽省阜阳市太和县2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

八年级数学（人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．下列软件图标除文字和背景外是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别是3和9，则第三边长可能是（ ） A 8 B. 5 C. 12 D. 14 3. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C D. 4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点重合，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 9. 如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，在中，过点C作，点D是上一点，连接交于点E，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 12. 如图，在中，点在边上，若，，则的度数为_____． 13. 若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为________． 14. 如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为_____； （2）若，，则的长为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图， 已知 E、F在线段BC上， DE与AF交于点O， 且 求证： 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D． 18. 如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，且． 根据上述规律，回答下列问题： （1）求的边长； （2）的边长为_____； （3）的边长为_____．（用含的式子表示，为正整数） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A． B． C． D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 20. 如图，在中，点在边上，，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）若点是的中点，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． （1）直接写出的值为_____； （2）请你利用海伦公式，求出的面积； （3）若是边上的高线，平分交于点，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 八、（本题满分14分） 23. 如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）求证：； （3）猜想线段的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．下列软件图标除文字和背景外是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形．根据轴对称图形的概念求解即可得到答案．熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； B、如图所示： 选项中的图形是轴对称图形，符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若一个三角形的两边长分别是3和9，则第三边长可能是（ ） A. 8 B. 5 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系，计算第三边的取值范围，再判断选项是否符合． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系： 两边之和大于第三边：，即； 两边之差小于第三边：，即． 因此，第三边的取值范围是． 逐一分析选项： A、8满足，符合条件； B、5不满足，不符合； C、12不满足，不符合； D、14不满足，不符合． 故选：A． 3. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称点的坐标是． 故选：D． 4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可知利用判定，继而选出答案． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， 故选：B． 5. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 6. 如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点重合，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理、三角形的内角和定理，先根据角平分线的判定定理得到平分，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴平分， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 7. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由作法得：垂直平分，平分，可得， 【详解】解：由作法得：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 8. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 9. 如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，三角形内角和定理．根据题意证明，继而得到，后得到． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵为上的动点， ∴当时，最小， 此时：， ∵ ∴， ∴的最小值为8； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，在中，过点C作，点D是上一点，连接交于点E，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由平行线的性质可得，则可添加，利用可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，点在边上，若，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查外角和定理，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而利用三角形内角和定理即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分底角为和顶角为两种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：当底角时，则顶角为， 当顶角为时，则顶角为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为_____； （2）若，，则的长为_____． 【答案】 ①. ##65度 ②. 10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并设出未知数建立等式． （1）由已知与平角为，可得，由此可得，再结合角平分线的性质即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，再由角平分线的性质可得，由此可证明，即可得，再证明，由此可得，设出未知数即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， ； （2）为的中点，， 垂直平分， ， 由（1）知， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，即． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图， 已知 E、F在线段BC上， DE与AF交于点O， 且 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，根据，得到，利用直角三角形全等的判定定理L得到，再根据全等三角形的性质，对应角相等即可得到． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵ ∴ ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 分析】本题考查点坐标平移，画出平移后图形，画出轴对称图形，关于轴对称点坐标特点等． （1）根据题意可知，后根据平移写出，后找出点，依次连接即可画出； （2）先求出，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 解：∵， ∵把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， ∴，画图如下： 【小问2详解】 解：∵， ∴关于轴对称的中，顺次连接画图如下： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D． 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D． 试题解析：∵AB=AC=AD， ∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD. ∴∠ABC=∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D. 又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D. 18. 如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，且． 根据上述规律，回答下列问题： （1）求的边长； （2）的边长为_____； （3）的边长为_____．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】（1）2 （2）16 （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定及性质，用代数式表示图形规律 （1）根据等边三角形性质可得，，继而得到； （2）由（1）中思路可知为等腰三角形，继而得到，即，后得到本题答案； （3）由（2）中规律即可得到的边长：． 【小问1详解】 解：∵，，，均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的边长为2， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵同理为等腰三角形， ∴，即， ∵， ∴的边长为：， 故答案：16； 【小问3详解】 解：由（2）问可知规律： 的边长：， 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A． B． C． D． （2）请用所学知识说明乙方案的合理性； 【答案】（1）B （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，结合全等三角形的判定方法可得答案； （2）乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 【小问1详解】 解：甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， 故选：B 【小问2详解】 解：乙方案： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在中，点在边上，，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）若点是的中点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等． （1）根据题意可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）连接，利用等腰三角形性质得到，然后得到，然后得到，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：证明：如图，连接． ，点是的中点， ，， ． ， ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． （1）直接写出的值为_____； （2）请你利用海伦公式，求出的面积； （3）若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【答案】（1）25 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方非负性，绝对值非负性，二次根式非负性，有理数运算，等腰三角形性质等． （1）由题意得，再代入代数式即可得到本题答案； （2）由题意可知，，，，，再代入代数式即可得到本题答案； （3）过点作于点，得到，继而得到，然后得到，再代入数值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：25； 【小问2详解】 解：由题意可知，，，，， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ， ， 为等腰三角形， 是边上的高线， ， ． 平分，，， ． ， ， 解得． 七、（本题满分12分） 22 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 当时，； 如图， 当时，， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 八、（本题满分14分） 23. 如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）求证：； （3）猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【小问1详解】 解：， ， 是的角平分线， ， ， 【小问2详解】 证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $