第二十二章二次函数专项训练：利润问题、动态几何问题、特殊四边形存在性问题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：利润问题、动态几何问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：利润问题、动态几何问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 二次函数与利润问题 二次函数与动态几何问题 二次函数与特殊四边形存在性问题 考点一 二次函数与利润问题 例1．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； (3)该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 例2．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿．已知某商店一种剪纸的成本价为每幅8元，市场调查发现，当售价为10元时，一天能卖30幅，每涨价1元，少卖1幅．设这种剪纸每天的销售利润为元．每幅剪纸的销售单价上涨元．规定该剪纸的销售单价不低于8元，不高于20元． (1)每天这种剪纸的销售量为______幅；（用含的代数式表示） (2)①求销售利润与之间的函数解析式； ②该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 例3．（25-26九年级上·广西防城港·期中）直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果．已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几个周的销售他发现这种水果每周的销售量（千克）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数关系：． (1)如果小刚本周将这种水果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？ (2)直接写出这种水果每周销售利润w（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出销售单价为多少时，周利润最大？ 例4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 变式1．（25-26九年级上·山东德州·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． (1)若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，经调查，售价每降低1元，每天可多售出100千克．已知该水果的成本价为12元/千克，求这种水果每千克定价多少元时可获得最大利润，最大利润是多少元？ 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩． (1)第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，请计算某地投入资金的年平均增长率． (2)年某地计划再安装A，B两种型号的充电桩共200个，已知安装A型充电桩的总成本（单位：万元）与充电桩的数量（单位：个）之间的关系式是；已知安装一个B型充电桩的成本为万元．当A型充电桩的安装数量为多少时，A，B充电桩的成本之和最小？ 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）“秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 变式4．（25-26九年级上·河南安阳·月考）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 考点二 二次函数与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 例2．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 例3．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 例4．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 变式1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 变式2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， (1)求与的函数关系． (2)求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 变式3．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 变式4．（25-26九年级上·四川·阶段练习）如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． (1)_____（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 考点三 二次函数与特殊四边形存在性问题 例1．（24-25九年级上·重庆永川·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 例3．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 变式1．（25-26八年级上·重庆云阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标． (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若P为抛物线上位于直线上方的一点，求面积S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (4)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：利润问题、动态几何问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：利润问题、动态几何问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 二次函数与利润问题 二次函数与动态几何问题 二次函数与特殊四边形存在性问题 考点一 二次函数与利润问题 例1．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； (3)该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】(1)每件衬衫应降价30元 (2)商场平均每天盈利不能达到3300元，理由见解析 (3)商场平均每天最多盈利3200元，达到最大值时应降价20元 【详解】（1）解：设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：， 解得，， ∵要扩大销售，减少库存， ∴每件衬衫应降价30元； （2）解：不能，理由如下： 设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：，即， ∵， ∴此方程无解， ∴该商场平均每天盈利不能达到3300元； （3）解：设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， ， 当时，该函数取得最大值为3200元， 所以，商场平均每天盈利最多3200元，达到最大值时应降价20元． 例2．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿．已知某商店一种剪纸的成本价为每幅8元，市场调查发现，当售价为10元时，一天能卖30幅，每涨价1元，少卖1幅．设这种剪纸每天的销售利润为元．每幅剪纸的销售单价上涨元．规定该剪纸的销售单价不低于8元，不高于20元． (1)每天这种剪纸的销售量为______幅；（用含的代数式表示） (2)①求销售利润与之间的函数解析式； ②该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)①；②该种剪纸的销售单价上涨10元时，每天销售利润最大，最大利润是240元 【详解】（1）解：由题意，每天这种剪纸的销售量为幅； （2）①， 销售利润与之间的函数解析式为． ②由①得． ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， 该剪纸的销售单价不低于8元，不高于20元，且单价上涨， ∴， ． 当时，最大，最大值为． 答：该种剪纸的销售单价上涨10元时，每天销售利润最大，最大利润是240元． 例3．（25-26九年级上·广西防城港·期中）直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果．已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几个周的销售他发现这种水果每周的销售量（千克）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数关系：． (1)如果小刚本周将这种水果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？ (2)直接写出这种水果每周销售利润w（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出销售单价为多少时，周利润最大？ 【答案】(1)本周他销售这种水果可获利288元 (2)函数关系式为（），销售单价为25元时，周利润最大 【详解】（1）解：当时，每千克利润为（元），销售量（千克）， 所以获利（元）． 答：本周他销售这种水果可获利288元； （2）解：利润，化简得． ∵是关于的二次函数，且， ∴有最大值．当时，最大． 答：这种水果每周销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为（），销售单价为25元时，周利润最大． 例4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）该零件的实际售价应定为50元； （3）当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 【详解】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， ， 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）结合（2），该零件的实际售价定为y元， 月销售利润为 ， 当时，月利润W最大，最大值为， 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 变式1．（25-26九年级上·山东德州·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． (1)若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，经调查，售价每降低1元，每天可多售出100千克．已知该水果的成本价为12元/千克，求这种水果每千克定价多少元时可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定价元时，元 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元，总利润为元， 根据题意，得 ， 当时，即定价元，元． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩． (1)第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，请计算某地投入资金的年平均增长率． (2)年某地计划再安装A，B两种型号的充电桩共200个，已知安装A型充电桩的总成本（单位：万元）与充电桩的数量（单位：个）之间的关系式是；已知安装一个B型充电桩的成本为万元．当A型充电桩的安装数量为多少时，A，B充电桩的成本之和最小？ 【答案】(1)某地投入资金的年平均增长率为； (2)当A型充电桩的安装数量为130个时，A，B充电桩的成本之和最小． 【详解】（1）解：设某地投入资金的年平均增长率为x， 根据题意，得：， 舍，， 答：某地投入资金的年平均增长率为； （2）解：设A，B充电桩的成本之和为W万元， 根据题意得： ， 当时，W取得最小值，最小值为151， 答：当A型充电桩的安装数量为130个时，A，B充电桩的成本之和最小． 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）“秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 【答案】问题1：获利1750元；问题2：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大 【详解】解：问题1：设每千克螃蟹涨价x元， 则销售量每天为千克， 由题意得：， 解得：， 元）， 答：获利1750元； 问题2：设售价定为m元/千克，该店当日销售螃蟹所获利润为y元， 由题意得： ， ，函数图象开口向下， 当时，y最大，最大值为1800元． 答：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大． 变式4．（25-26九年级上·河南安阳·月考）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与的函数解析式为； (2)销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得：，解得：， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； （2）解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 考点二 二次函数与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； （2）解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，     如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； （3）由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 例2．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 如图1，点M在上，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P与点C重合时，则， ∴， 当时，如图2， ∵， ∴； ∵当时，如图3，作于点F，分别交于点D、点E， ∵，, ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵ ∴， 综上所述，． 例3．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 例4．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【答案】(1)①12；②； (2)， 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． （2）解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 变式1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 【答案】(1)，，； (2)当时，有最大值，最大值为； (3)或． 【详解】（1）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得： ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：当时，即， ∴， ∴， 解得：，经检验均符合题意， ∴当，或． 变式2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， (1)求与的函数关系． (2)求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)经过后，面积最大，最大值是 【详解】（1）解：运动后，，，则， ∴，其中； （2）解：， ∵， ∴， 又∵开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， 故经过后，面积最大，最大值是． 变式3．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    变式4．（25-26九年级上·四川·阶段练习）如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． (1)_____（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵， ∴； 故答案为∶； （2）解∶ 如图1，当点F落在边上， 由题意得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 即， ∴， 则当点F落在边上时，t的值秒； （3）解∶ ①当时，Q在上，如图1，过P作于M，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②当时，Q在上，如图3，过Q作于H， ∵， ∴）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③当时，如图4，Q在上， 同②知：， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 综上，S与t之间的函数关系式为： ． 考点三 二次函数与特殊四边形存在性问题 例1．（24-25九年级上·重庆永川·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 例2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 例3．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点D的坐标为，面积的最大值； (3)或或． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， 且点的坐标为，点的坐标为， ∴将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）作于H，交于E，连接，，作于F，如图1， ∵， 令，， ∴， 设直线的解析式为：， 将和代入， ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴点D的坐标为，面积的最大值； （3）如图2， 当时， ∵， ，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 综上所述：或或． 例4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 变式1．（25-26八年级上·重庆云阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：设抛物线的交点式为， 将点代入上式，得， 解得，， ，即； （2）设直线的解析式为，将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为过点作轴交于点，则点的坐标为， ， ， 当时，的最大值， 此时，点的纵坐标为，即； （3）原抛物线向左平移4个单位后，所得新抛物线，即， 抛物线的对称轴为轴， 设，， 情况1：以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 ，解得， 点的坐标为; 以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 以为对角线，四边形是平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 综上所述，点 的坐标为 或 或  ． 变式2．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标． (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在满足条件的点的坐标有． 【详解】（1）解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； （3）∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ①如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ②当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 变式3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若P为抛物线上位于直线上方的一点，求面积S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (4)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)存在，； (4)，； 【详解】（1）解：把，分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点R，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）存在，； 如图，作交延长线于S，过S作轴于F，作于E，可知E、S、F在一条直线上，且,， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵，, ∴，, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和得： ， 解得：（舍去） 当时，， 即； （4）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 代入可得：， 综上所述的坐标为：，． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $