精品解析：江苏省南京市秦淮区2025-2026学年上学期八年级数学期中试题

2025—2026学年度第一学期第一阶段学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列选项中，无理数是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是分数，分子和分母均为整数，故是有理数，不符合题意； B、4是整数，故是有理数，不符合题意； C、3是整数，故是有理数，不符合题意； D、中5不是完全平方数，且开方后为无限不循环小数，故是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 已知三角形三条边的长分别为2，5，x，则x的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键，利用三角形三边关系列出不等式，求x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长为2、5、x， ∴ 解得：， ∴， 故选B． 3. 如图，，，，则为（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找到对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等可得，然后根据，代入数据计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4. 若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 5. 如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的面积法求比的问题，记住在三角形的三种重要的线段中，中线起到了平分面积的作用． 根据三角形的中线将三角形的面积等分，再利用，得出与的长度之比为． 【详解】解： ，， ， 在中，是边上的中线， 与的面积相等． ． ， ． ． ． ． 故选：C． 6. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、， ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，，， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． ①证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得是等腰直角三角形，则，继而得，然后根据三角形外角性质得，据此可对该结论进行判断； ②根据，，可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； ③过点作于点，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； ④根据点在上，不一定是的中点，得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ． ， 是等腰直角三角形． ． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 又， ． ，． 是等腰直角三角形． ． ． 是的外角， ． ． 故结论①不正确． ②， ． ， ． 又， ． ． 故结论②正确． ③过点作于点，如图， ． ， ． 点是的中点， ． 又， ． ，． 是等腰直角三角形， ． ． 故结论③正确． ④点在上，不一定是的中点， 与不一定相等． ，． 与不一定相等． 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是②③，共2个． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是______． 【答案】31416000 【解析】 【分析】本题考查了求近似数，精确到千位，需看百位数字，百位数字为9，大于等于5，故向千位进位，由此即可得解． 【详解】解：31415926精确到千位，千位是5，百位是9，， 因此千位加1变为6，百位及以后各位均变为0，故近似数为31416000， 故答案为：31416000． 11. 的相反数是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义和立方根的求法，先算出，再求出相反数即可． 【详解】， ∴的相反数是2， 故答案为：2． 12. 已知等腰三角形的两条边长为和，则它的周长为_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 本题应分为两种情况：为底，为腰；为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两条边长为和， 为底，为腰时，，无法构成三角形，故舍去； 为底，为腰时，周长为：． 综上，它的周长为． 故答案为：10． 13. 如图，在中，，，交于点，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得长，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形的内角和为即可求出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得AB边长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可知：， ∴正方形面积为：，三角形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为16． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 16. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 18. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时线段的最小，再根据三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，延长至点F，使， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上， 当时线段的最小， ∵，，， ∴ ∴, ∵， ∴, 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）利用平方根的性质计算即可求出解． （2）利用立方根的性质计算即可求出解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 解得：． 20. 如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2 【答案】见详解． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可． 【详解】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵AF⊥AD， ∴AF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键． 21. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：在中，， ， ． 在中，，， ，， ， 是直角三角形，即． ． 22. 已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF． 试题解析： 连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD， ∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF， 在RT△BDE和RT△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE=CF． 23. 已知，，，求证：． （1）证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）请用另一种方法证明． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了实数大小比较，能准确地理解和应用算术平方根和作差法是解题的关键． （1）结合题意应用不等式的性质进行求解； （2）运用算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解． 【小问1详解】 解：，， ，． ， ，． ． ． 故答案为：，． 【小问2详解】 ，，． ，，，． ，，即． 24. 如图，已知线段m，n．用直尺和圆规作一个，满足，，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作垂线，线段的垂直平分线，以及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤以及线段的垂直平分线的性质． 先截取，然后过点作直线的垂线，在垂线上截取，连接，作线段垂直平分线交直线于点B，则即为所求，由垂直平分线可得，则，即． 【详解】解：即为所求． 25. 已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由； （3）当时，求的度数． 【答案】（1）理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1），，可知，进而可说明； （2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理， ，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果； （3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果． 【小问1详解】 证明： 又 在和中 ． 【小问2详解】 解：． 理由如下：如图1所示，连接并延长至点K 分别平分 则设 为的外角 同理可得 即 ． 又由（1）中证明可知 由三角形内角和公式可得 即 ． 【小问3详解】 解：当时，如图2所示，过点C作，则 ，即 由（1）中证明可得 在中，根据三角形内角和定理有 即 即 即，解得： 故． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键． 26. 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【翻折一下】 （2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【旋转一下】 （3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：． 【平移一下】 （4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）证明见解析 （4） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键． （1）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论； （2）在中，，在中，， 在中，，在中，，即可得结论； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，于点，易证，设，，，，根据，，，，，即可得到结论； （4）将沿着向上平移，使得与重合，连接，，由结论可求的值，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：（1），． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，． ． 故答案：＝． （2），． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，． ． （3）如图4，过点作，交的延长线于点，过点作，于点， ，，， 是等腰直角三角形，． ，, 是等腰直角三角形，． ，，． ． ，． ． 又，． ，． 设，，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，，即， ， ． ． （4）如图6，将沿着向上平移，使得与重合，连接，， ，． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． 由结论可得，， ． ． ， 的最大值为， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一阶段学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列选项中，无理数的是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2. 已知三角形三条边的长分别为2，5，x，则x的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 11 3. 如图，，，，则为（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 4. 若，则的值为（ ） A B. 或 C. D. 或 5. 如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 6. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是______． 11. 的相反数是_______． 12. 已知等腰三角形的两条边长为和，则它的周长为_____cm． 13. 如图，在中，，，交于点，，则___________． 14. 如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 16. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 17. 如图，在中，垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 18. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 20. 如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2 21. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 22. 已知：如图∠BAC角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 23. 已知，，，求证：． （1）证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）请用另一种方法证明． 24. 如图，已知线段m，n．用直尺和圆规作一个，满足，，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25. 已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由； （3）当时，求的度数． 26. 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【翻折一下】 （2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【旋转一下】 （3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：． 【平移一下】 （4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $